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  • DFT的移位定理 如果把x(n)的起始采样向右移动k个位置,那么DFT输出的频谱就是把每个X(m)复数项乘以e^(2 pi k...式子中IDFT的表达式与DFT表达式的不同仅仅在于1/N的比例因子和指数符号的改变。 DFT泄露 一个被...

    1、DFT泄露原因

    一个被称之为“”泄露“”的特性使得DFT结果只是数字采样前原始输入信号真实谱的近似。

    我们知道分析频率是 f(analysis)=(mFs)/N (m取整数)
    如果输入信号在分析频率 mFs/N 上存在信号分量,如1.5Fs/N(m非整数的地方) ,那么在某种程度上这个输入信号将会在DFT所有N个输出分析频率样值上出现。

    clear;%清除内存
    close all;%关闭所有图形
    x=sin(2*pi*(0:63)*3/64);%产生某时段的正弦信号;连续信号频率3 采样频率10
    figure;
    plot(x);%画图
    grid on;%并打网格
    title('时域可分信号','FontSize',14);
    ylabel('x(n)','FontSize',14);
    xlabel('n','FontSize',14);%标注X轴,Y轴坐标
    xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT,如果X小于0,就用0填充
    figure;
    plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));
    grid on;%画图
    xlabel('KHZ','FontSize',14);
    ylabel('信号频谱','FontSize',14);%标注XY轴坐标
    title('信号频谱','FontSize',14);
    
    
    
    

    在这里插入图片描述

    下面把连续信号改为3.4,频谱精度为1,这样分辨率就不够了,产生了泄露,从公式上来讲m只能取整数,取不到3.4。

    clear;%清除内存
    close all;%关闭所有图形
    x=sin(2*pi*(0:63)*3.4/64);%产生某时段的正弦信号;连续信号频率3.4  采样频率64
    figure;
    plot(x);%画图
    grid on;%并打网格
    title('时域可分信号','FontSize',14);
    ylabel('x(n)','FontSize',14);
    xlabel('n','FontSize',14);%标注X轴,Y轴坐标
    xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT,如果X小于0,就用0填充
    figure;
    plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));
    grid on;%画图
    xlabel('KHZ','FontSize',14);
    ylabel('信号频谱','FontSize',14);%标注XY轴坐标
    title('信号频谱','FontSize',14);
    

    在这里插入图片描述
    现在我们再来更改输入序列,看是否会导致频谱泄露。
    现在把输入序列的点数改为201个点,大于了做FFT的64个点。分辨率是1hz

    clear;%清除内存
    close all;%关闭所有图形
    x=sin(2*pi*(0:200)*3/64);%产生某时段的正弦信号;连续信号频率3  采样频率64
    figure;
    plot(x);%画图
    grid on;%并打网格
    title('时域可分信号','FontSize',14);
    ylabel('x(n)','FontSize',14);
    xlabel('n','FontSize',14);%标注X轴,Y轴坐标
    xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT,如果X小于0,就用0填充
    figure;
    stem((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));
    grid on;%画图
    xlabel('KHZ','FontSize',14);
    ylabel('信号频谱','FontSize',14);%标注XY轴坐标
    title('信号频谱','FontSize',14);
    

    在这里插入图片描述
    并不产生DFT泄露。
    下面,我们再把输入序列的点数小于做FFT的点数。改为61个输入序列点,发生泄露
    clear;%清除内存
    close all;%关闭所有图形
    x=sin(2pi(0:60)*3/64);%产生某时段的正弦信号;连续信号频率0.5 采样频率10
    figure;
    plot(x);%画图
    grid on;%并打网格
    title(‘时域可分信号’,‘FontSize’,14);
    ylabel(‘x(n)’,‘FontSize’,14);
    xlabel(‘n’,‘FontSize’,14);%标注X轴,Y轴坐标
    xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT,如果X小于0,就用0填充
    figure;
    plot((0:63)*64/64,abs(xf(1:64)));
    grid on;%画图
    xlabel(‘KHZ’,‘FontSize’,14);
    ylabel(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);%标注XY轴坐标
    title(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);

    在这里插入图片描述
    下面我们把采样率也改改,看与FFT的点数有什么关系么?
    clear;%清除内存
    close all;%关闭所有图形
    x=sin(2pi(0:63)*3.5/32);%产生某时段的正弦信号;连续信号频率3.5 采样频率32
    figure;
    plot(x);%画图
    grid on;%并打网格
    title(‘时域可分信号’,‘FontSize’,14);
    ylabel(‘x(n)’,‘FontSize’,14);
    xlabel(‘n’,‘FontSize’,14);%标注X轴,Y轴坐标
    xf=fft(x,64);%FFT(X,N)是N点的FFT,如果X小于0,就用0填充
    figure;
    plot((0:63)*32/64,abs(xf(1:64)));
    grid on;%画图
    xlabel(‘KHZ’,‘FontSize’,14);
    ylabel(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);%标注XY轴坐标
    title(‘信号频谱’,‘FontSize’,14);
    在这里插入图片描述

    通过上面的实际仿真,我们验证了DFT泄露有两种原因,
    第一原因,就是Fs/N分辨率不够。
    第二原因,就是输入序列的点数小于了做FFT的点数。

    特别提醒:与输入序列是不是一个周期没有关系!,这种情况依然能够输出正常的DFT。
    输入序列是一个完整周期或者非完整周期均可。你不信!我们实验数据来看看。
    下面是输入序列N=71个点。肯定不是整的周期吧

    在这里插入图片描述
    **下面是频谱,清晰可见!没有泄露!!!!!**这里只取了一半
    在这里插入图片描述

    所以,我们可以得出造成泄露的两大原因:1,点数小于了FFT点数。2 分辨率不够
    另外,我们再想一下那个公式k代表啥k,就是代表的就是真实模拟频率!模拟频率如果刚好等于频谱数字化的频率m,落在了分辨率上,那么,就不会造成泄露!

    实际信号中,我们的信号频率不可能刚好在一个整数上,说不定是3.11111111hz,不可能刚好精确3hz,所以必然产生分辨力不够的问题,从而必然产生DFT泄露。
    这里,我还要额外补充一点,书中说,周期输入信号和非周期输入信号也会导致DFT泄露,这一点,其实是这样的,如果点数足够大于了FFT点数,且满足了频率分辨率的情况下,确实是存在这样的情况,由周期影响,但是,现实生活中,由于噪声总是存在的,根本就没有理想的周期信号,所以一段看似周期的信号都是不能代表原始信号的,所以必然存在频谱泄露。

    2、DFT的频率轴

    1、以Hz为单位的频率轴

    以HZ为单位,Fs/N,即为分辨率,长度为Fs为一个周期循环。
    

    2、以Fs归一化的DFT频率轴

    以Fs归一化的DFT,需要将信号的频率f /Fs 进行归一化,最大频率为1,以1为一个循环,分辨率是1/N,单位为周期/样值。
    

    3、使用归一化角度的DFT频率轴

    频率变量为w,频率分辨率是2π/N,重复间隔是2π,以2π为一个循环。													
    
    展开全文
  • Winograd DFT算法

    2020-11-13 04:54:48
    我们要讨论的第一种精简必要乘法数量的算法就是Winograd DFT算法。Winograd DFT算法是Rader算法(是将DFT转换成循环卷积)与我们在前面... 在由[5]给出的Rader算法的一个表达式中,用X[0]代替x[0]的形式如下:  如
  • 利用DFT计算DCT

    2020-11-13 04:07:00
    为了简化表达式,这里就省略了刻度操作,因为这一步骤可以包括在DFT或FFT计算的末尾。假定变换长度是偶数,用下面的置换:  这就很容易转换成C或MATLAB程序,借助于DFT或FFT就可以计算DCT。  欢迎转载,信息...
  • 一、离散傅里叶变换回顾与FFT的引出 对于长度为N点的数字信号序列 ,定义其离散傅里叶变换...对序列 按奇偶分成两列,重写DFT表达式: 他们分别是偶相列和奇数项列的DFT:。 那么,对于一个 的序列进行不断分...

    一、离散傅里叶变换回顾与FFT的引出

    对于长度为N点的数字信号序列 ,定义其离散傅里叶变换为:

     我们知道,利用系数 的性质可以大大减少DFT的计算量,这种算法就是快速离散傅里叶变换FFT。需要说明的是,FFT不是一种新的变换,而是一种求DFT的快速计算机算法。

    对序列 按奇偶分成两列,重写DFT表达式:

    他们分别是偶相列和奇数项列的DFT:

    那么,对于一个 的序列进行不断分解,就可以得出如下所谓的蝶形图:

    二、FFT运算的规律及实现

    • 观察上面的蝶形图,我们发现,一个N点序列(注意N必须是2的幂次,如果原序列不是,可以填上0。如:1000点的x(n)可以在后面天24个0,使之变为1024点),可以进行M=logN次的抽取,对应蝶形图就有M级。如上图中8点序列的蝶形图就有3级;每一级都是N/2个蝶形运算;

    • 每一个蝶形的计算如下图:

    X(k)=X1+X2*WN=X1_r+j(X1_i)+(X2_r+jX2_i)*(WN_r+jWN_i)

    展开得到X(k)的实部和虚步分别为:X_r = X1_r + X2_r * WN_r - X2_i * WN_i,

                                                                X_i = X1_i + X2_i * WN_r + X2_r * WN_i.

    同理得到X2(K)的实部和虚步分别为:X2_r = X1_r - X2_r * WN_r + X2_i * WN_i,

                                                                   X2_i = X1_i - X2_i * WN_r - X2_r * WN_i.

    (一)用迭代法实现

    迭代法利用迭代函数运算实现,每次迭代进行一次抽取,直至抽取出的子序列只剩下一点,函数进行回代,并开始进行蝶形运算。先把我写的源代码贴上供大家参考:

     

    //迭代法求FFT
            private void FFT(ref double[] DataIn_r, ref double[] DataIn_i, ref double[] DataOut_r, ref double[] DataOut_i)
            {
                int len = DataIn_r.Length;
                if (len == 1)//抽取到只有一个点时,将数据返回
                {
                    DataOut_r = DataIn_r;
                    DataOut_i = DataIn_i;
                    return;
                }
                len = len / 2;
                //申请空间,以存储新抽取的子列
                double[] evenData_r = new double[len];
                double[] evenData_i = new double[len];
                double[] oddData_r = new double[len];
                double[] oddData_i = new double[len];
                //用以存储下一级函数返回的计算结果
                double[] evenResult_r = new double[len];
                double[] evenResult_i = new double[len];
                double[] oddResult_r = new double[len];
                double[] oddResult_i = new double[len];
                //按奇偶迭代
                for (int i = 0; i < len ; i++)
                {
                    evenData_r[i] = DataIn_r[i * 2];
                    evenData_i[i] = DataIn_i[i * 2];
                    oddData_r[i] = DataIn_r[i * 2 + 1];
                    oddData_i[i] = DataIn_i[i * 2 + 1];
                }//迭代
                FFT(ref evenData_r, ref evenData_i, ref evenResult_r, ref evenResult_i);
                FFT(ref oddData_r, ref oddData_i, ref oddResult_r, ref oddResult_i);
                //最下一级函数返回后,进行本级的蝶形计算
                double WN_r,WN_i;
                for (int i = 0; i < len; i++)
                {
                    WN_r = Math.Cos(2 * Math.PI / (2 * len) * i);
                    WN_i = -Math.Sin(2 * Math.PI / (2 * len) * i);
                    DataOut_r[i] = evenResult_r[i] + oddResult_r[i] * WN_r - oddResult_i[i] * WN_i;
                    DataOut_i[i] = evenResult_i[i] + oddResult_i[i] * WN_r + oddResult_r[i] * WN_i;
                    DataOut_r[i + len] = evenResult_r[i] - oddResult_r[i] * WN_r + oddResult_i[i] * WN_i;
                    DataOut_i[i + len] = evenResult_i[i] - oddResult_i[i] * WN_r - oddResult_r[i] * WN_i;
    
                }
                evenData_r = evenData_i = evenResult_r = evenResult_i = null;
                oddData_i = oddData_r = oddResult_i = oddResult_r = null;
                GC.Collect();//释放本级函数占用的资源
            }

    显而易见的,迭代法对内存的消耗是很大的。下面来介绍下利用旋转因子进行的FFT算法。

    (二)用旋转因子法实现

    这个方法早就出现了,名字是我自己给起的,这种算法运用一个三重循环,围绕所谓的旋转因子WN来计算,也是比较流行的主流算法。

    众所周知,在进行FFT运算之前,必须对时域序列重排。以往的重排算法是基于对下标二进制码的比特反转来实现的,但是这种方法用高级语言实现起来很麻烦。我写了一个简单易懂的算法。先来看下下标二进制码的规律:

    我们来看表格第三列,即重排后的下标二进制码。我们竖着看,最高位一列的0、1的反转周期为2,次高位一列的反转周期为4,以此类推。因此我们可以写一个M次的循环,每一个循环对一列比特位进行操作,具体来说就是每隔半周期加上add=Math.Pow(2,M-L)。下面是源码:

    //对原数据组进行重排
            private void DataSort(ref double[] data_r, ref double[] data_i)
            {
                if (data_r.Length == 0 || data_i.Length == 0 || data_r.Length != data_i.Length)
                    return;
                int len = data_r.Length;
                int[] count = new int[len];
                int M = (int)(Math.Log(len) / Math.Log(2));
                double[] temp_r = new double[len];
                double[] temp_i = new double[len];
    
                for (int i = 0; i < len; i++)
                {
                    temp_r[i] = data_r[i];
                    temp_i[i] = data_i[i];
                }
                for (int l = 0; l < M; l++)
                {
                    int space = (int)Math.Pow(2, l);
                    int add = (int)Math.Pow(2, M - l - 1);
                    for (int i = 0; i < len; i++)
                    {
                        if ((i / space) % 2 != 0)
                            count[i] += add;
                    }
                }
                for (int i = 0; i < len; i++)
                {
                    data_r[i] = temp_r[count[i]];
                    data_i[i] = temp_i[count[i]];
                }
            }


    再来研究蝶形运算的规律:

    • 我们发现每个蝶形的两个输入点只对本蝶有用,对其他蝶形的计算不产生影响;

    • 同一级中所有蝶形的输入点在同一竖直线上,意味着我们可以按级来运算,对于M级的蝶形,编个M次循环就好了;

    • 所有数据点在运算后不会窜位,即计算后可以将结果存入原来的地址空间。这就免去了像上面的迭代法那样浪费资源的现象;

    • 每级N/2个蝶都需要用到系数WN,这里称它为旋转因子。我们来观察旋转因子WN的规律。以8点的蝶形图为例:

     可见,第L级的旋转因子为:

     j代表旋转因子的个数,第L级的旋转因数个数为num=Math.Pow(2, L).(2的幂不会打)同时,还可以看到,每个蝶的两个输入点下标跨度是不一样的。比如第一级中是相邻两个数据作蝶运算,第二级中是两个输入点隔开一个点,而第三级隔开三个点。不难找到规律:第L级中,第二个输入点的坐标是第一个点的坐标+space,space=Math.Pow(2, L)=num。

     利用以上性质,FFT的算法是写一个三重循环,

    第一重循环对每一级运算(每级含num=Math.Pow(2, L)个蝶形);

    第二重对每一个旋转因子对应的蝶运算, 那么有几个蝶呢?很简单,每级都应该有N/2个蝶,而每个因子对应N/2 / num个蝶;

    第三重循环对每个蝶进行计算,需要注意的一是循环下标起始点的位置,二是每次计算需要申明临时变量来保存输入数据点。下面奉上C#源码:

     

     //FFT算法
            private void Dit2_FFT(ref double[] data_r, ref double[] data_i,ref double[] result_r,ref double[] result_i)
            {
                if (data_r.Length == 0 || data_i.Length == 0 || data_r.Length != data_i.Length)
                    return;
                int len = data_r.Length;
                double[] X_r = new double[len];
                double[] X_i = new double[len];
                for (int i = 0; i < len; i++)//将源数据复制副本,避免影响源数据的安全性
                {
                    X_r[i] = data_r[i];
                    X_i[i] = data_i[i];
                }
                DataSort(ref X_r, ref X_i);//位置重排
                double WN_r,WN_i;//旋转因子
                int M = (int)(Math.Log(len) / Math.Log(2));//蝶形图级数
                for (int l = 0; l < M; l++)
                {
                    int space = (int)Math.Pow(2, l);
                    int num = space;//旋转因子个数
                    double temp1_r, temp1_i, temp2_r, temp2_i;
                    for (int i = 0; i < num; i++)
                    {
                        int p = (int)Math.Pow(2, M - 1 - l);//同一旋转因子有p个蝶
                        WN_r = Math.Cos(2 * Math.PI / len * p * i);
                        WN_i = -Math.Sin(2 * Math.PI / len * p * i);
                        for (int j = 0, n = i; j < p; j++, n += (int)Math.Pow(2, l + 1))
                        {
                            temp1_r = X_r[n];
                            temp1_i = X_i[n];
                            temp2_r = X_r[n + space];
                            temp2_i = X_i[n + space];//为蝶形的两个输入数据作副本,对副本进行计算,避免数据被修改后参加下一次计算
                            X_r[n] = temp1_r + temp2_r * WN_r - temp2_i * WN_i;
                            X_i[n] = temp1_i + temp2_i * WN_r + temp2_r * WN_i;
                            X_r[n + space] = temp1_r - temp2_r * WN_r + temp2_i * WN_i;
                            X_i[n + space] = temp1_i - temp2_i * WN_r - temp2_r * WN_i;
                        }
                    }
                }
                result_r = X_r;
                result_i = X_i;
            }

    我写了一个简单的测试界面,包含了上述的所有算法,效果如下:

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    金额随意 快来“打”我呀 要买枸杞当归补补~~

    我已将源码上传资源,方便大家学习交流:点击打开链接

    http://lib.csdn.net/article/computernetworks/14327

     

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  • 首先,不难将DFT写成矩阵形式,回忆之前的推导,DFT表达式为: Ff––––=∑n=0N−1f[n]––––ω––−nFf_=∑n=0N−1f[n]_ω_−n\underline{{\scr F}f} = \sum_{n=0}^{N-1} \underline{f[n]} \underline{\...

    本文主要罗列一下DFT的相关公式


    首先,不难将DFT写成矩阵形式,回忆之前的推导,DFT表达式为:

    Ff=n=0N1f[n]ωn\underline{\mathscr{F}f} = \sum_{n=0}^{N-1} \underline{f[n]} \underline{\omega}^{-n}

    写成矩阵形式就是:

    [Ff[0]Ff[1]Ff[N1]]=[1111ω11ω1(N1)1ω(N1)1ω(N1)2][f[0]f[1]f[N1]]\large\begin{bmatrix}\underline{\mathscr{F}f[0]}\\\underline{\mathscr{F}f[1]}\\\vdots\\\underline{\mathscr{F}f[N-1]}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\1 & \underline{\omega}^{-1 \cdot 1} & \cdots & \underline{\omega}^{- 1 \cdot (N-1)} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & \underline{\omega}^{-(N-1) \cdot 1} & \cdots & \underline{\omega}^{-(N-1)^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\underline{f[0] } \\\underline{f[1]} \\\vdots\\\underline{f[N-1]} \end{bmatrix}

    我们发现,DFT其实是一个对称矩阵,即

    FT=F(1)\huge\underline\mathscr{F}^T = \underline\mathscr{F}\tag1

    根据上一章中的运算,还可以知道:

    F1F=FF1=NI(2)\huge\underline\mathscr{F}^{-1} \underline\mathscr{F}= \underline\mathscr{F} \underline\mathscr{F}^{-1} = NI\tag2

    结合(1)(1)(2)(2)两式,有:

    FF=FF=NI\huge\underline\mathscr{F}^* \underline\mathscr{F}= \underline\mathscr{F} \underline\mathscr{F}^* = NI


    DFT的对偶性:

    1. f[n]=f[n]\huge\underline{f}^- [n] = \underline{f}[-n]

    2. F(f)=(Ff)\huge\underline\mathscr{F}\left( \underline{f}^- \right) = \left(\underline{\mathscr{F} f} \right)^-

    3. FFf=Nf\huge\underline{\mathscr{F}\mathscr{F}f} = N f^-

    (3)(3) 也是与连续傅里叶变换情况不同的地方


    类似连续情况,离散情况下的两个常用信号

    a. 1=(1,1,,1)\underline{1} = (1, 1, \dots, 1) 表示各处均为1的离散信号

    b. δk=(0,,0,1,0,,0)\underline{\delta_k} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0) 表示 kk 处为 11,其余均为 00 的离散信号

    接下来我们来推导几个常用的DFT公式

    1. Fδk\underline{\mathscr{F}\delta_k}

    Fδk=n=0N1δk[n]ωn=1ωk=ωk\begin{aligned} \underline{\mathscr{F}\delta_k} &= \sum_{n=0}^{N-1} \underline{\delta_k [n]} \underline{\omega}^{-n}\\ &= 1\cdot \underline{\omega}^{-k}\\ &= \underline{\omega}^{-k} \end{aligned}

    特别地,Fδ=1\underline{\mathscr{F}\delta}=\underline{1}

    1. Fωk\underline{\mathscr{F}\omega^k}

    Fωk=n=0N1ω[n]kωn\underline{\mathscr{F}\omega^k} = \sum_{n=0}^{N-1} \underline{\omega [n]}^k \underline{\omega}^{-n}

    我们看它的第mm项,

    Fω[m]k=n=0N1ω[n]kω[m]n=n=0N1e2πinkNe2πimnN=n=0N1e2πin(km)N={0kmNk=m\begin{aligned} \underline{\mathscr{F}\omega[m]}^k &= \sum_{n=0}^{N-1} \underline{\omega [n]}^k \underline{\omega[m]}^{-n}\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i\frac{nk}{N}} e^{-2\pi i\frac{mn}{N}}\\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i\frac{n(k-m)}{N}}\\ &= \begin{cases} 0 & k \neq m\\ N & k=m \end{cases} \end{aligned}

    也就是说 Fωk\underline{\mathscr{F}\omega^k} 只有在 m=km=k 的时候值为 NN,其他地方值均为 00,因此

    Fωk=Nδk\underline{\mathscr{F}\omega^k} = N \underline{\delta^k}

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  • DFT的相量理解

    2011-07-29 19:09:00
    但凡对数字信号处理稍有涉猎的朋友都知道DFT,也能很容易地写出其数学表达式: 但数学表达式毕竟比较抽象,不够直观。那么除了数学表达式之外,是否还有什么其它的方法,可以更直观地理解DFT?相量即是其中的...

    DFT的相量理解

    但凡对数字信号处理稍有涉猎的朋友都知道DFT,也能很容易地写出其数学表达式:

    但数学表达式毕竟比较抽象,不够直观。那么除了数学表达式之外,是否还有什么其它的方法,可以更直观地理解DFT?相量即是其中的一种方法。

    相量是表示正弦信号最直观的方法之一。一个单频的正弦信号,对应了一个相量。从上面DFT的数学表达式可以看出,X(k)可以看做是N个相量相加的结果。就相量相加而言,在什么情况下其值最大呢?显然是各个相量具有相同相位的情况下。因此,若x(n)与exp(-j*2*pi/N*k*n)共轭对称时,X(k)必将有一个峰值;如果不共轭对称,而是随着x(n)*exp(-j*2*pi/N*k*n)这个相量相角的增大,X(k)对应的值将相应减小。当x(0)*exp(-j*2*pi/N*k*0)与x(N-1)*exp(-j*2*pi/N*k*(N-1))的相位相差2*pi时,X(k)为0。

    由此就可以很好地理解DFT的峰值位置和幅度的问题。比如一个单频复信号exp(j*2*pi/N*10*n),其峰值必定位于k=10处,并且其幅度值必为N。因为从相量叠加的角度讲,DFT就是N个相量相加的结果,每个相量的幅度均为1,DFT的结果则为N。

    在实际应用中,经常要估计DFT之后的信噪比,也即是说估计DFT的增益。利用相量的观点,也很容易得到结果。比如,一个单频信号,已经被噪声污染,如果进行1024点的DFT,信号的信噪比能增加多少dB?答案是约为30dB。因为信号是同相叠加,其幅度增加N倍;噪声是非同相叠加,其幅度增加N的开根号倍。因此DFT增益为

    20*Log10 [N/(N)0.5]=10* Log101024=30dB

    实际上,在信号处理中,最重要的基础之一是要求系统的线性性。而在线性性的要求中,重要的一条就是叠加性。因此,对信号的线性处理,如DFT、滤波等,都可以从相量叠加这个角度去理解。在工程实践中,这种理解非常直观,往往会有意想不到的收获。

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