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    本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 (原书第4版)》一书中的第2章,第2.6节,作者:(美)戴维C. 雷(David C. Lay)马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译,更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

    2.6 列昂惕夫投入产出模型

    在Wassily Leontief获得诺贝尔奖的工作中,线性代数起着重要的作用. 如第1章开始所提到的,本节所叙述的经济模型是现在世界各国广泛使用模型的基础.
    设某国的经济体系分为 n个部门,这些部门生产商品和服务. 设 x为 screenshot中产出向量,它列出了每一部门一年中的产出. 同时,设经济体系的另一部分(称为开放部门)不生产产品或服务,仅仅消费商品或服务,d 为最终需求向量,它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务. 此向量代表消费者需求、政府消费、超额生产、出口或其他外部需求.
    由于各部门生产商品以满足消费者需求,生产者本身创造了中间需求,需要这些产品作为生产部门的投入,部门之间的关系是很复杂的,而生产和最后需求之间的联系也还不清楚. 列昂惕夫思考是否存在某一生产水平x 恰好的满足这一生产水平的总需求(x 称为供给),那么
    {总产出x}={中间需求}+{最终需求d} (1)
    列昂惕夫的投入产出模型的基本假设是,对每个部门,有一个单位消费向量,它列出了该部门的单位产出所需的投入. 所有的投入与产出都以百万美元作为单位,而不用具体的单位如吨等(假设商品和服务的价格为常数).
    作为一个简单的例子,设经济体系由三个部门组成——制造业、农业和服务业. 单位消费向量screenshot 如表2-1所示.
    screenshot
    例1 如果制造业决定生产100单位产品,它将消费多少?
    解 计算
    screenshot
    为生产100单位产品,制造业需要消费制造业其他部门的50单位产品,20单位农业产品,10单位服务业产品.
    若制造业决定生产screenshot 单位产出,则在生产的过程中消费掉的中间需求是screenshot,类似地,若 screenshotscreenshot表示农业和服务业的计划产出,则screenshotscreenshot 为它们的对应中间需求. 三个部门的中间需求为
    screenshot (2)
    这里 C是消耗矩阵screenshot ,即
    screenshot (3)
    方程(1)和(2)产生列昂惕夫模型.
    列昂惕夫投入产出模型或生产方程
    screenshot (4)
    把x 写成 Ix,应用矩阵代数,可把(4)重写为
    screenshot (5)
    例2 考虑消耗矩阵为(3)的经济. 假设最终需求是制造业50单位,农业30单位,服务业20单位,求生产水平x .
    解 (5)中系数矩阵为
    screenshot
    为解方程(5),对增广矩阵作行变换
    screenshot
    最后一列四舍五入到整数,制造业需生产约226单位,农业119单位,服务业78单位.
    若矩阵 I-C可逆,则我们可应用2.2节定理5,用 I-C代替 A,由方程(I-C)x=d 得出 screenshot. 下列定理说明,在大部分的实际情况下,I-C 是可逆的,而且产出向量x 是经济上可行的,亦即 x中的元素是非负的.
    在此定理中,列的和表示矩阵中某一列元素的和. 在通常情况下,某一消耗矩阵的列的和是小于1的,因为一个部门要生产一单位产出所需投入的总价值应该小于1.
    定理11 设 C为某一经济的消耗矩阵,d 为最终需求. 若C 和 d的元素非负,C 的每一列的和小于1,则 screenshot存在,而产出向量
    screenshot
    有非负元素,且是下列方程的唯一解
    screenshot
    下列讨论说明定理成立的理由,且给出一种计算screenshot 的新方法.
    screenshot的公式
    假设由 d表示的需求在年初提供给各种工业,它们制定产业水平为x=d 的计划,它将恰好满足最终需求,由于这些工业准备产出为f ,它们将提出对原料及其他投入的要求. 这就创造出对投入的需求 Cd.
    为满足附加需求 Cd,这些工业又需要进一步的投入为 screenshot,当然,它又创造出第二轮的中间需求,当要满足这些需求时,它们又创造出第三轮需求,即 screenshot,等等.
    理论上,这个过程可无限延续下去,虽然实际上这样一系列事件不可能一直发生下去. 我们可把这一假设的情形表示如表2-2所示.
    screenshot

    为了满足所有这些需求的产出水平 x是
    screenshot (6)
    为了使(6)有意义,我们使用下列代数恒等式:
    screenshot (7)
    可以证明,若 C的列的和都严格小于1,则 I-C是可逆的,当 m趋于无穷时screenshot 趋于0,而screenshot .(这有点类似于当正数 小于1时,随着 m增大,screenshot .)应用(7),我们有
    当C 的列的和小于1时, screenshot (8)
    我们将(8)解释为当 m充分大时,右边可以任意接近于screenshot .
    在实际的投入产出模型中,消耗矩阵的幂迅速趋于0,故(8)实际上给出一种计算 screenshot的方法. 类似地,对任意d ,向量 screenshot迅速地趋于零向量,而(6)给出实际解 screenshot的方法. 若C 和d 中的元素是非负的,则(6)说明 x中的元素也是非负的.
    screenshot中元素的经济重要性
    screenshot中的元素是有意义的,因它们可用来预计当最终需求 改变时,产出向量 如何改变. 事实上,screenshot 的第 j列表示当第 j个部门的最终需求增加1单位时,各部门需要增加产出的数量. 见习题8.
    数值计算的注解 在任何应用问题中(不仅是经济学)方程 screenshot总可以写成screenshot 的形式,其中 screenshot. 若方程组很大而且稀疏(大部分元素为0),可能C 的各列元素绝对值之和小于1,这时 screenshot,若screenshot 趋向于零足够迅速,(6)和(8)可以用来作为解方程screenshot 的实际方法,也可用来求screenshot .

    练习题
    设某一经济有两个部门,商品和服务部门. 商品部门的单位产出需要0.2单位商品和0.5单位服务的投入,服务部门的单位产出需要0.4单位商品和0.3单位服务的投入. 最终需求是20单位商品和30单位服务,列出列昂惕夫投入产出模型的方程.
    习题2.6
    screenshot
    screenshot
    screenshot
    screenshot
    screenshot

    展开全文
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    主要内容

    本章以列昂惕夫生产消费模型为例,讲解了矩阵在实际生活中的应用。

    列昂惕夫投入产出模型

    列昂惕夫是著名的经济学家,曾经获得诺贝尔奖,其中线性代数为他获得诺奖提供了重要帮助。

    有这么一个复杂的经济命题:

    假设某国的经济体系分为nn个部门,这些部门分别生产不同类型的产品,例如制造业、农业产品、服务业业产品。可以用Rn\mathbb R^n中的向量x\boldsymbol x来代表这个产出向量,x\boldsymbol x中的每一个元素代表一个不同类型的产品。另外,用向量d\boldsymbol d代表需求向量,也就是社会需要消耗多少产品。理想情况下,如果要保持生产和消费的平衡,只要保证x=d\boldsymbol x = \boldsymbol d即可。但实际上,每个部门在生产的同时,也需要进行消费,例如,制造业部门虽然产出工业产品,但要维持它的运转,它在产出时也需要消耗一定的制造业产品、农业产品、服务业产品,这种额外的消费被称作中间需求。这就使得问题变得复杂了起来。

    针对如上问题,为了评估各生产部门的中间需求,计算列昂惕夫提出了一种建模的方法:

    针对每个部门,都有一个Rn\mathbb R^n中的单位消费向量,它列出了该部门的单位产出所需的投入。
    如下图所示,每一列代表了每个部门的单位消费向量,其中制造业、农业、服务业的单位消费向量分别是:c1=[0.500.200.10]\boldsymbol c_1 = \begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}c2=[0.400.300.10]\boldsymbol c_2=\begin{bmatrix}0.40 \\ 0.30 \\ 0.10\end{bmatrix}c3=[0.200.100.30]\boldsymbol c_3 = \begin{bmatrix}0.20 \\ 0.10 \\ 0.30\end{bmatrix},每个向量代表了每生产该1单位(通常以100万美元作为单位)该产品时,需要消耗多少其他产品。
    在这里插入图片描述
    举例:
    如果制造业决定生产100单位产品,它将消费多少?

    解:

    计算:
    100c1=100[0.500.200.10]=[502010]100\boldsymbol c_1 = 100\begin{bmatrix}0.50 \\ 0.20 \\ 0.10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}50 \\ 20 \\ 10\end{bmatrix}
    可知,制造业每生产100单位产品,就要消耗制造业自身产出的50单位产品,并消费掉20单位农业产品,以及10单位服务业产品。

    由上例,可以启发我们如何计算中间需求。假设制造业、农业、服务业分别决定生产x1x_1x2x_2x3x_3单位产出,那么它们造成的总的中间需求为:
    x1c1+x2c2+x3c3=Cxx_1\boldsymbol c_1 + x_2\boldsymbol c_2 + x_3\boldsymbol c_3 = C\boldsymbol x
    其中,CC是消耗矩阵[c1c2c3]\begin{bmatrix}\boldsymbol c_1 & \boldsymbol c_2 & \boldsymbol c_3\end{bmatrix},也就是:C=[0.500.400.200.200.300.100.100.100.30]C = \begin{bmatrix}0.50 & 0.40 & 0.20 \\ 0.20 & 0.30 & 0.10 \\ 0.10 & 0.10 & 0.30\end{bmatrix}

    现在,我们已经能够表达中间需求了,由于总产出=中间需求+社会需求,那么自然可以得出如下表达式:
    x=Cx+d\boldsymbol x = C\boldsymbol x + \boldsymbol d
    上式可以重写为:
    (IC)x=d(\boldsymbol I - C)\boldsymbol x = \boldsymbol d
    现在,只要知道社会需求d\boldsymbol d是多少,我们就能够做出预算,也就是每个部门的生产量x\boldsymbol x
    例:

    假设社会需求是制造业50单位,农业30单位,服务业20单位,求生产水平x\boldsymbol x

    解:

    IC=[100010001][0.50.40.20.20.30.10.10.10.3]=[0.50.40.20.20.70.10.10.10.7]\boldsymbol I - C = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0.5 & 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.3 & 0.1 \\ 0.1 & 0.1 & 0.3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 \\ -0.1 & -0.1 & 0.7\end{bmatrix}
    化简增广矩阵:
    [0.50.40.2500.20.70.1300.10.10.720][10022601011900178]\begin{bmatrix}0.5 & -0.4 & -0.2 & 50 \\ -0.2 & 0.7 & -0.1 & 30 \\-0.1 & -0.1 & 0.7 & 20\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 226 \\0 & 1 & 0 & 119 \\0 & 0 & 1 & 78\end{bmatrix}
    可知,制造业需要226单位,农业119单位,服务业78单位。

    IC\boldsymbol I - C可逆,则可以直接使用逆矩阵定理,得出x=(IC)1d\boldsymbol x = (\boldsymbol I - C)^{-1}\boldsymbol d。可以通过证明得知,在大部分实际情况中(CC中每一列的和小于1,因为每个部门生产一单位产出所需投入的总价值应该小于1),IC\boldsymbol I - C是可逆的,而且产出向量x\boldsymbol x是经济上可行的,也就是说,x\boldsymbol x中的元素是非负的,这里略去不讲。

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