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  • Hessian矩阵什么表示各个维度的相关性 Hessain矩阵什么? 给定一个多元标量函数f(x)=f(x1,x2,...,xn)f(\textbf{x})=f(x_1, x_2, ..., x_n)f(x)=f(x1​,x2​,...,xn​),Hessain矩阵的含义是这个函数的二阶导数...

    Hessian矩阵为什么能表示各个维度的相关性

    Hessain矩阵是什么?

    给定一个多元标量函数f(x)=f(x1,x2,...,xn)f(\textbf{x})=f(x_1, x_2, ..., x_n),Hessain矩阵的含义是这个函数的二阶导数d2f(x)dx2\frac{\text{d}^2f(\textbf{x})}{d\textbf{x}^2},展开如下:
    H=[2fx1x12fx1x2...2fx1xn2fx2x12fx2x2...2fx2xn............2fxnx12fxnx2...2fxnxn] H= \left[ \begin{matrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}& ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}& ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ... & ... &... & ...\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}& ... & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{matrix} \right]
    在阅读文献的时候,经常发现作者会说,HH的第ii行第jj列上的元素代表了xix_ixjx_j之间的相关性。

    为什么Hessian矩阵代表了相关性

    直觉上来说,一阶导数fxi\frac{\partial f}{\partial x_i}代表了xix_i的变化对ff的影响,这里通俗地称之为 xix_i的影响力,而二阶偏导数2fxixj\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}可以理解为xjx_j的变化对于 xix_i的影响力的影响。而这里可以看到,如果2fxixj\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}特别接近于0,说明xjx_j发生变化时 xix_i的影响力不会发生变化,换句话来说xjx_jxix_i不相关。

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  • D3D 矩阵变换

    千次阅读 2010-09-27 22:23:00
    Managed DirectX +C# 开发(入门篇)3 Managed DirectX +C# 开发(入门篇)3Managed DirectX +C# 开发(入门篇)3第五章 矩阵变换一:为什么使用4×4矩阵?在3D中进行编程时,使用的是4×4矩阵来进行矩阵...

    Managed DirectX +C# 开发(入门篇)3
    Managed DirectX +C# 开发(入门篇)3 Managed DirectX +C# 开发(入门篇)3

    第五章 矩阵变换
    
    一:为什么使用4×4矩阵?
    
    在3D中进行编程时,使用的是4
    ×
    4
    矩阵来进行矩阵变换。初学者往往认为既然是三维空间,为何不使用3
    ×
    3
    的矩阵来表示呢?
    这是因为3
    × 3 的矩阵不能表示有些变换,比如比如平移、投影、反射,因此,增大到4 × 4 ,这样,就可以描述更多的变换了。
    但是矩阵变成了4
    × 4 ,为了做向量与矩阵的相乘,所以需要把向量增加为1 × 4 ,因为1 × 3 的行矩阵和4 × 4 的矩阵是无法相乘的;
    那么,如何使用第四个成员(用w 来表示)呢?当把一个点放置到一个1×4的行矩阵中时,设置w =1,表示可以对点进行适当的平移,如果w =0,表示不可以对向量进行平移。
    比如:把点p = (1, 2, 3)放置到一个行向量中就象这样[1, 2, 3, 1],同样把向量v = (2 1, 3 2, 3 3) 放置到一个行向量中就象这样[2 1, 3 2, 3 3, 0];
    二、矩阵平移
    
    对图形进行平行移动是最基本的操作:
    
    
    
     
    使用下面的矩阵可以把向量(x, y, z, 1)
    沿x轴移动px个单位,沿y轴移动py
    个单位,沿z轴移动pz
    个单位:
    
    
    
    以下代码为设置一个向量,对它应用一个平移变换后,得到新的向量,完整的代码参见程序:
    
    private
    void
     button1_Click(object
     sender, System.EventArgs e)
    
            {
    
                Clear();
    
                //
    定义一个测试的向量;
    
                         Vector3 myVect=new
     Vector3(3,6,8);
    
    //
    用此向量来保存后来的结果;
    
                         Vector4 resultVect =new
     Vector4();
    
    //
    生成一个平移矩阵,XYZ方向均增加4个单位
    
                Matrix MatrixA=Matrix.Translation(4,4,4);
    
    //
    对向量应用平移变换;
    
                resultVect=Vector3.Transform(myVect,MatrixA);
    
    //
    将返回的向量显示出来;
    
                label9.Text =resultVect.ToString();
    
    //
    将矩阵也显示出来;
    
                DisplayMatrix(MatrixA,label1);
    
            }
    
    程序执行结果,执行程序,点击按钮,执行结果如下:
    
    
    
    下面应用一个具体的实例:
    
    1:新建一个工程,生成一个XOZ水平面(代码略):
    
    2:定义二个Mesh对象:Mesh mesh1=null,mesh2=null;
    
    3:在图形的初始化函数中对它进行实例化,在这里是生成两个半径一样大小的小球:
    
    public bool InitializeGraphics()
    
                  {
    
    ……
    
                                mesh1=Mesh.Sphere(device,0.5f,20,20);
    
                                mesh2=Mesh.Sphere(device,0.5f,20,20);
    …….
                  }
    
    4:在渲染场景函数里:一个小球进行平移变换,另一个则不进行任何变换:
    
    private void Render()
    
            {
    
                         if
     (device == null
    )
    
                                return
    ;
    
                
    
                device.Clear(ClearFlags.Target, System.Drawing.Color.Black , 1.0f, 0);
    
                SetupCamera();
    
                device.BeginScene();
    
                displayPlane();
    
     
                device.Transform.World=Matrix.Translation(10,0,0);
    
                mesh1.DrawSubset(0);
    
     
                device.Transform.World=Matrix.Identity;
    
                mesh2.DrawSubset(0);
    
                device.EndScene();
    
                device.Present();
    
                
    
             }
    
    程序执行结果如下:
    
    
    
    三、矩阵旋转
    
    如果对一个图形绕一个固定点或一条线进行旋转,结果示意如下:
    
    
    
    图9
    
           下面的矩阵把一个向量围绕x,y 和z轴旋转一个角度。注意这里应当为弧度值, 当俯视绕轴原点时,角度是指顺时针方向的角度。
    
    
    
    示例一:
    
    下面测试一向量应用旋转变换后的结果:
    
           private
     void
     button2_Click(object
     sender, System.EventArgs e)
    
            {
    
                Clear();
    
                         Vector3 myVect=new
     Vector3(3,6,8);
    
                         Vector4 resultVect =new
     Vector4();
    
                         Matrix MatrixA=Matrix.RotationX((float
    )Math.PI/2);
    
                resultVect=Vector3.Transform(myVect,MatrixA);
    
                label9.Text =resultVect.ToString();
    
                DisplayMatrix(MatrixA,label1);
    
             }
    
    在这里,我们是让此向量绕X轴旋转90度,可以想像成直线OA绕X轴旋转90度,得到直线OB,B点值即为所求向量值;
    
    执行结果如下:
    
    
    
    示例二:
    
    下面应用一个具体的实例:
    
    1:新建一个工程,生成一个XOZ水平面(代码略):
    
    2:定义二个Mesh对象:Mesh mesh1=null,mesh2=null;
    
    3:在图形的初始化函数中对它进行实例化,在这里是生成两个长方体:
    
    public bool InitializeGraphics()
    
                  {
    
    ……
    
                                mesh1=Mesh.Box(device,0.5f,0.5f,16);
    
                                mesh2=Mesh.Box(device,0.5f,0.5f,16);
    
    ……
    
                  }
    
    4:在渲染场景函数里:对一个长方体绕X轴旋转45度,另一个长方体则在原点绘出:
    
    private void Render()
    
            {
    
    ……
    
                         device.Transform.World=Matrix.RotationX((float
    )Math.PI/4);
    
                mesh1.DrawSubset(0);
    
                device.Transform.World=Matrix.Identity;
    
                mesh2.DrawSubset(0);
    
    ……
    
             }
    
    程序执行结果如下:
    
    
    
    以上介绍的是绕X轴旋转,绕Y,Z轴旋转类似,矩阵是:
    
    
    
    
    
    四、矩阵缩放
    
    对物体进行缩放的示意图如下:
    
    
    
    下面的矩阵即为把向量沿x轴缩放qx个单位,沿y轴缩放qy
    个单位,沿z轴缩放qz
    个单位:
    
    
    
    注意,如果在每个方向上的值大于1为放大,小于1则为缩小;
    
    示例一:
    
                  private
     void
     button3_Click_1(object
     sender, System.EventArgs e)
    
            {
    
                Clear();
    
                         Vector3 myVect=new
     Vector3(3,6,8);
    
                         Vector4 resultVect =new
     Vector4();
    
                Matrix MatrixA=Matrix.Scaling(2,0.5f,0.5F);
    
                resultVect=Vector3.Transform(myVect,MatrixA);
    
                label9.Text =resultVect.ToString();
    
                DisplayMatrix(MatrixA,label1);
    
             }
    
    代码中,将向量X方向扩大为2倍,Y和Z方向分别缩小为2倍;
    
    得到结果向量值为:
    
    
    
    示例二:
    
    以下代码将前面创建的两个长方体其中一个应用缩放变换,其中在X,Y方向上放大为原来的2倍,Z方向上缩小为原来的2倍,相关代码如下:
    
    ……                     device.Transform.World=Matrix.Scaling(2,2,0.5f)*Matrix.RotationX((float
    )Math.PI/4);
    
                mesh1.DrawSubset(0);
    
                device.Transform.World=Matrix.Identity;
    
                  mesh2.DrawSubset(0);
    
    ……
    
    程序执行结果如下:
    
    
    
     
    五、组合变换
    
           一般情况下,需要对向量进行一系列的变换。比如,前面显示的长方体,为了不使两者叠在一起,先进行了缩放,再进行了旋转,其实还可以再应用其它变换,比如平移;
    
    假设把向量p = [5, 0, 0, 1] 在所有轴上缩小为原来的1/5,然后沿着y轴旋转π/4,最后把它在x轴上移动1个单位,在y轴上移动2个单位,在z轴上移动3个单位。
    
    设缩放、旋转、移动的变换矩阵分别是
    S
    , 
    R
    y, T
    ,如下:
    
    
    
    
    
    
    因此:
    
    
    
    这样就得到了最后的结果,另一种简便的方法是通过使用矩阵相乘把3个变换矩阵合成一个矩阵。注意次序不要颠倒,否则结果会不一样。
    
     
    
    
    那么 pQ = [1.707, 2, –3.707, 1]。
    
    和第一种方法得到的结果是一样的;
    
    六、其它常用变换
    
    有两个矩阵,常常用来设置场影及摄像机:
    
    1:device.Transform.Projection用来获取或者设置投影变换矩阵,它本身也是一个Matrix型的变量。
    
     
    2:Matrix.PerspectiveFovLH方法:
    
    public static Matrix PerspectiveFovLH(
    
        float fieldOfViewY, //Y方向的视觉范围,弧度表示,即Y方向的视域角
    
        float aspectRatio, //视觉范围的长宽比
    
        float znearPlane, //近裁剪平面     
    
        float zfarPlane//远裁剪平面
    
    );
    
    定义长宽比的作用是,如果用户改变了窗口的大小,那么仍然就可以正确的显示物体的大小。最后两个参数是远及近裁剪平面,必须为这两个平面指定2个Z值,一般来说,假设物体将在Z轴的1.0f和1000f之间运动时,就分别把这两个参数设为1.0f,1000.0f。
    
     
    3:Matrix.LookAtLH方法。 在使用观察矩阵来建立一个立体的照相机模型后,需要设置不同的观察点,可以使用这种方法来设置相机。
    
    public static Matrix LookAtLH(
    
        Vector3 cameraPosition,//相机位置
    
        Vector3 cameraTarget,   //相机的方向
    
        Vector3 cameraUpVector //相机的Up向量
    
    );
    
    其中第二个参数为相机的面对方向,假设相机面对的是Z轴的方向,那么就设置为(0,0,1)。
    
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  • 先挂一个\(link\) 1、前置技能 \(In \ \ fact\),矩阵树跟树……严格意义上讲,并没有什么很大的关系,...\(D_{I,j}\)表示为度数矩阵,其中\(D_{i,i}\)记录第\(I\)个节点的度数。 \(A_{I,j}\)表示为邻接矩阵,其中\(A...

    先挂一个\(link\)

    1、前置技能

    \(In \ \ fact\),矩阵树跟树……严格意义上讲,并没有什么很大的关系,因为这个定理是基于图的,而不是基于树的。而对于这个定理,我们需要一系列前置操作:

    一、对于矩阵的一堆定义:

    \(G\)是一张无向图:

    \(D_{I,j}\)表示为度数矩阵,其中\(D_{i,i}\)记录第\(I\)个节点的度数。

    \(A_{I,j}\)表示为邻接矩阵,其中\(A_{i,j}\)记录这两点之间连了多少条边。

    \(K_{I,j}\)称为“基尔霍夫矩阵”\((\color{cyan}{Kirchhoff})\),而基尔霍夫矩阵的定义式为:\[\mathcal{K \ \ = \ \ D \ \ - \ \ A}\]

    以上矩阵显然都会是\(N \times N\)的qwq。

    1337159-20180617180621486-1033171611.png下图是从网上扒翻出来的例子QAQ

    二、对于行列式的一堆知识:

    对于\(N\)阶行列式\(det(A)\)“主子式”,可以理解为是$A_{i,i}   i \in [1,n] $的余子式。

    而对于一个行列式,我们要求它的值,可以根据其定义\(N!\)算出,用到的式子是这个:

    \[\sum\limits_{}^{}{(-1)^k\prod\limits_{1}^{n}{a_{i,b_i}}} \ \ = \ \ det(A) \],

    其中\(b_1\)~\(b_n\)\(1\)~\(n\)的一种排列。

    显然的是,这个算法是\(O(N!)\)的,所我们并不能这么做。那我们可以根据其性质展开类似高斯消元一样的算法,使其成为倒三角,然后对角线相乘\(over\).

    int I,  j,  k, ans ;
    int Gauss_work()
    {
        ans = 1;
        for(i = 1; i < n; i ++)
        {
            for(j = i + 1; j < n; j ++)
                while(f[j][i]){
                   t = f[i][i] / f[j][i];
                    for(k = i; k < n; k ++)
                        f[i][k] = (f[i][k] - t * f[j][k] + mod) % mod;
                    swap(f[i], f[j]);
                    ans = - ans;
                }
            ans = (ans * f[i][i]) % mod;
        }
        return (ans + mod) % mod;
    }

    还是老套路,\(i\)枚举主对角线上的第几个第几个元素,\(j\)枚举剩下的行,然后和每一行辗转相除\(qwq\),在这时\(k\)的枚举用来按位加减。

    这个玄学的代码,为了防止出现double,所以采取辗转相除的方式,具体的辗转相除是这一段代码

    while(f[j][i]){
            t = f[i][i] / f[j][i] ;
            for(k = i; k < n; k ++){
                    f[i[k] = f[i][k] - t * f[j][k] ;
            }
            swap(f[j], f[i]) ;
            ans = -ans ;
        }
    

    这样既保证了会消成\(0\),又可以不出\(double\),而我们需要注意在最后,\(ans = -ans\),因为对换一行或者一列使得其值取反\(qwq\)

    2、那么矩阵树该登场啦!

    根据基尔霍夫矩阵,我们随意取它的任意一个\(n - 1\)阶主子式(可证明对于任意的\(i\)是等价的),然后求出主子式的值,得到的就是在这个图中生成树的数量

    然而证明……我并不会证明……我怎么这么弱啊……

    放心吧,等到今年暑假结束之前,我一定要回来完善这篇博客的!

    扩展定理:

    也叫做“变元矩阵树定理”,如果我们把邻接矩阵变成边权矩阵,即\(A_{i,j}\)表示\(i,j\)两条边之间的边权,\(D_{i,i}\)表示与第\(i\)个节点的相连的边的边权和,那么我们可以得到基尔霍夫矩阵就是所有生成树中的边权之积的和

    也就是\[\mathcal{K \ \ = \ \ D \ \ - \ \ A } \] \[\mathcal{det(K) = \sum\limits_{T}^{}{\prod\limits_{I = 1}^{n-1}{w_i}}}\]

    先把朴素矩阵树定理的\(code\)撂这儿吧

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #define il inline
    #define MAXN 2225
    #define ll long long 
    
    using namespace std ;
    ll N, T, M, ans = 1;
    ll K[MAXN][MAXN] ;
    ll a, b, i, j, k, t ;
    
    il ll gauss_work(){
        for( i = 1; i < N ; i ++){
            for(j = i + 1; j < N ; j ++){
                while(K[j][i]){
                    t = K[i][i] / K[j][i] ;
                    for(k = i; k < N; k ++)
                        K[i][k] = K[i][k] - t * K[j][k] ;
                    swap(K[i], K[j]) ;
                    ans = -ans ; 
                }
            }
            ans *= K[i][i] ;
        }
        return ans ;
    }
    int main(){
         cin >> T ;
         while(T --){
            ans = 1 ;
            scanf("%d%d", &N, &M) ;
            memset(K, 0, sizeof(K)) ;
            for(i = 1; i <= M; i ++){
                scanf("%d%d", &a, &b) ;
                K[a][a] ++ ;
                K[b][b] ++ ;
                K[a][b] -- ;
                K[b][a] -- ; 
            } 
            printf("%d\n", gauss_work()) ;
         }
    }

    然后高消的,在spoj上过了上一份代码在SPOJ上WA了…但没有大问题,应该是编译器的锅

    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    
    
    using namespace std ;
    const int MAXN = 3010 ;
    const double eps = 1e-12 ;
    int N, T, M, a, b, i, j, k, t ; double K[MAXN][MAXN] ;
    
    int _back(int x) {if(x <= eps || x >= -eps ) return 0 ;else return x < 0 ? -1 : 1 ;}
    void Gauss_work(){
        N -- ; int big ; double t, ans = 1 ;
        for(i = 1; i <= N; i ++){
            big = i ;
            for(j = i + 1 ; j <= N; j ++)
                if(_back(K[big][i] - K[j][i]) < 0 ) big = j ;
            if(big != i) swap(K[i], K[big]) ; if(!K[i][i]) {printf("0\n") ; return ;}
            for(j = i + 1; j <= N; j ++){
                t = K[j][i] / K[i][i] ;
                for(k = i; k <= N + 1; k ++)
                    K[j][k] -= t * K[i][k] ;
            }
        }
        for(i = 1; i <= N; i ++) ans = ans * K[i][i];
        printf("%.0f\n",abs(ans)) ;
    }
    int main(){
         cin >> T ;
         while(T --){
            scanf("%d%d", &N, &M) ;
            memset(K, 0, sizeof(K)) ;
            for(i = 1; i <= M; i ++){
                scanf("%d%d", &a, &b) ;
                K[a][a] ++ ;
                K[b][b] ++ ;
                K[a][b] -- ;
                K[b][a] -- ; 
            } 
            Gauss_work() ;
         }
         return 0 ;
    }

    转载于:https://www.cnblogs.com/pks-t/p/9187931.html

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  • 矩阵变换总结

    2019-09-17 16:20:44
    1.为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢? https://www.zhihu.com/question/26655998 2.齐次坐标的理解 https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html 3.2D平移矩阵与3D平移矩阵 ...

    1.为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢?
    https://www.zhihu.com/question/26655998
    a齐次坐标可以方便的用矩阵表达空间点的平移,b.仿射变换(线性)可以用一个矩阵来表达。
    2.齐次坐标的理解
    https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
    空间点 (x,y,z,1)
    空间向量(x,y,z,0)
    3.2D平移矩阵与3D平移矩阵
    https://blog.csdn.net/wodownload2/article/details/52069033
    4.矩阵变换推到
    https://blog.csdn.net/wodownload2/article/details/52068662
    5.向量与矩阵的相乘
    https://blog.csdn.net/wodownload2/article/details/52077185
    6.旋转矩阵推导
    https://blog.csdn.net/wodownload2/article/details/72637897
    7.坐标系旋转
    http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0101cc8w.html
    备注:a.空间点在坐标系中的旋转跟
    空间坐标系(轴)的旋转是方向互逆的!
    b.坐标系旋转的方向
    正对(面对)坐标轴,逆时针旋转θ,相当于坐标系不变的条件下,坐标点顺时针旋转θ
    9.三维空间坐标系变换-旋转矩阵
    https://blog.csdn.net/fireflychh/article/details/82352710
    8.图形学学习推荐网址
    https://blog.csdn.net/wodownload2/article/details/82799387

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空空如也

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d表示什么矩阵