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    **

    所用的MATLAB函数:

    **

    
    dirac(t) 冲激函数   heaviside(t)  阶跃函数
    laplace(ft)  单边拉普拉斯变换    ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换
    num=[1 0];den=[1 0 100];  %X=s/(s^2+100)
    sys=tf(num,den);  %建立一个传递函数,分子为num,分母为den
    poles=roots(den)  %求极点
    pzmap(sys);  %零极点分布图显示
    [r,p,k]=residue(num,den)
    num den分子分母多项式的系数向量
    r部分分式的系数
    p为极点
    k为多项式系数,若为真分式,其为0
    roots(den)函数计算H(s)的零极点
    format rat   %使用分数来表示数值
    pretty(Ys);%看起来好看的Ys
    yzit=vpa(yzit0,4);  %vpa 设置精度,0.001111 四位
    t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+;
    ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点,求冲激函数各时点的数值解
    t=0:0.02:15;mpulse(num,den,t);step(num,den,t); 冲激响应 阶跃响应绘图
    [H,w]=freqs(num,den); plot(w,abs(H));plot(w,angle(H))求得幅频相频响应
    

    正文

    **
    **
    1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.双边拉普拉斯变换的收敛域
    在这里插入图片描述
    (1) 因果的。当t<0时,f(t)=0。若因果信号的双边拉普拉斯变换存在,则其收敛域在其极点右边的一个平面。
    (2) 反因果的。当t>0时,f(t)=0。若反因果信号的双边拉普拉斯变换存在,则其收敛域在其极点左边的一个平面。
    (3)非因果的,以上二者的组合。若非因果信号的双边拉普拉斯变换在,则其收敛域是其因果部分的收敛域和其反因果部分的收敛域的交集。

    3.单边拉普拉斯变换
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    利用MATLAB求解laplace求信号的单边拉普拉斯变换
    符号法:

    syms t s;
    d=dirac(t);
    D=laplace(d)
    u=heaviside(t);
    U=laplace(u)
    g=heaviside(t+1)-heaviside(t-1);
    G=laplace(g)
    x=exp(-2*t);
    X=laplace(x)
    

    结果:
    D =1
    U = 1/s
    G =1/s - exp(-s)/s
    X =1/(s + 2)

    3.单边拉普拉斯变换的性质
    在这里插入图片描述
    MATLAB比较cos10t ε(t)和e–tcos10t ε(t)的极点位置,分析s域平移性质对收敛域的影响
    符号计算法

    clear
    syms t s;
    x=cos(10*t);
    y=exp(-t)*cos(10*t);
    X=laplace(x)   %好像laplace函数就是求单边普,不用x=cos(10*t)*heaviside(t)了
    Y=laplace(y)    % plotting of signals and poles/zeros??  
    figure(1) 
    subplot(221)
    ezplot(x,[0,5]);grid
    axis([0 5 -1.1 1.1]);
    title('x(t)=cos(10t)ε(t)')
    num=[1 0];den=[1 0 100];  %X=s/(s^2+100)可知
    sys=tf(num,den);  %建立一个传递函数,分子为num,分母为den
    poles=roots(den)  %求极点
    subplot(222)
     pzmap(sys);  %零极点分布图显示
     axis([-2 1 -20 20]);
     subplot(223)
     ezplot(y,[-1,5]);grid
     axis([0 5 -1.1 1.1]);
     title('y(t)=cos(10t)exp(-t)ε(t)')
     num=[0 1 1];den=[1 2 101];
     sys=tf(num,den);
     poles=roots(den)
     subplot(224)
     pzmap(sys);
     axis([-2 1 -20 20]);
    

    X =
    s/(s^2 + 100)
    Y =
    (s + 1)/((s + 1)^2 + 100)
    poles =
    0.0000 +10.0000i
    0.0000 -10.0000i
    poles =
    -1.0000 +10.0000i
    -1.0000 -10.0000i
    在这里插入图片描述
    4.单边拉普拉斯逆变换
    4.1 部分分式展开法
    1.单极点 实数 2.共轭复极点

    format rat   %使用分数来表示数值
    num=[3 11 15 6];
    den=[1,3,2];
    [r,p,k]=residue(num,den)
    r =
           4       
          -1       
    p =
          -2       
          -1       
    k =
    3              2  
    
    

    在这里插入图片描述

    %F(s)=s^2-4/(s^2+4s+8)(s+3)
    num=[1 0 -4];
    den=conv([1 4 8],[1 3]); %卷积求多项式乘
    [r,p,k]=residue(num,den)
    magr=abs(r)   %求r得模
    angr=angle(r)  %求r得相∩
    
    ```r=1+0i,1/321685687669322+1i,1/321685687669322-1i
       p=-3+0i,-2+2i,-2-2i
       magr=1,1,1
       angr=0,355/226,-355/226
    
    

    在这里插入图片描述
    5 连续系统的拉普拉斯分析
    在这里插入图片描述完全响应=零输入响应+零状态响应

    已知线性时不变系统的微分方程为
    y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f′(t)+3f(t)
    输入信号f(t)=e–4tε(t),y(0–)=1,y′(0–)=1,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

    %y''+3y'+2y=f'+3f
    syms t s;
    ft=exp(-4*t)*heaviside(t); %输入信号
    a=[1 3 2];b=[1 3];%微分方程系数向量
    y0=[1 1];   %系统初始状态 y0(1)=y(0-) y0(2)=y'(0-)
    Fs=laplace(ft);
    %%计算Cs即C(s)
    n=length(a)-1;Cs=0;
    for k=1:n;
        for r=0:(k-1);
            Cs=Cs+a(n-k+1)*y0(r+1)*s^(k-1-r);
        end
    end
    As=s^2+3*s+2;Bs=s+3;
    Hs=Bs./As;
    ht=ilaplace(Hs);disp('系统冲激响应');ht
    Ys=Cs/As+Bs/As*Fs;disp('Y(s)=');
    pretty(Ys);%看起来好看的Ys
    yt=ilaplace(Ys);disp('全响应');yt
    yzit0=ilaplace(Cs/As);yzit=vpa(yzit0,4);  %vpa 设置精度,0.001111 四位
    disp('零输入响应');yzit
    disp('零输入响应');yzit
    yzst0=ilaplace(Bs/As*Fs);yzst=vpa(yzst0,4);
    disp('零状态响应');yzst
    %%绘图
    t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+;
    ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点,求冲激函数各时点的数值解
    subplot(211);plot(t1,ht1);
    title('冲激响应');grid;
    yt1=subs(yt,t,t1);subplot(212);plot(t1,yt1,'r--');
    yzit1=subs(yzit,t,t1);hold on;plot(t1,yzit1,'k--');
    yzst1=subs(yzst,t,t1);hold on;plot(t1,yzst1,'b--');
    title('系统响应')
    legend('全响应','零输入','零状态');
    
    系统冲激响应
    ht =
    2*exp(-t) - exp(-2*t)
    Y(s)=
        s + 4               s + 3
    ------------ + ---------------------- 
    s ^2 + 3 s + 2   (s + 4) (s^2  + 3 s + 2)
    全响应
    yt =
    (11*exp(-t))/3 - (5*exp(-2*t))/2 - exp(-4*t)/6
    零输入响应
    yzit =
    3.0*exp(-1.0*t) - 2.0*exp(-2.0*t)
    零状态响应
    yzst =
    0.6667*exp(-1.0*t) - 0.5*exp(-2.0*t) - 0.1667*exp(-4.0*t)
    
    

    在这里插入图片描述

    已知线性时不变系统的系统函数H(s)=s+2/s^2+4
    ,输入信号f(t)=ε(t),求系统的零状态响应。
    
    syms t s;
    ft=heaviside(t);
    Fs=laplace(ft);
    As=s^2+4;Bs=s+2;Hs=Bs./As;
    ht=ilaplace(Hs);
    yzst0=ilaplace((Bs*Fs)/As);yzst=vpa(yzst0,4);
    disp('零状态响应'),yzst,
    t1=linspace(eps,5,100);
    ht1=subs(ht,t,t1);
    subplot(2,1,1);plot(t1,ht1),
    xlabel('时间(秒)'),ylabel('幅度') ,grid,title('冲激响应'),
    subplot(2,1,2);
    yzst1=subs(yzst,t,t1);hold on;plot(t1,yzst1,'b-.')   
    xlabel('时间(秒)'),ylabel('幅度') ,grid,title('零状态响应')
    
    

    6.系统函数与系统特性
    (1)若极点位于s平面的坐标原点,即Hs=1/s,则h(t)=ε(t),冲激响应是阶跃信号。
    (2)若极点位于s平面的实轴上,即Hs=1/s+a,则h(t)=e–atε(t),若a>0,冲激响应是指数衰减信号;若a<0,冲激响应是指数增长信号。
    (3)若极点位于s平面的虚轴上,即Hs=w0/s2+w02,则h(t)=sinω0t ε(t),冲激响应是等幅的正弦振荡。
    (4)若极点位于s平面的左半平面,并共轭成对,即Hs=w0/(s+a)2+w02,则h(t)=e–atsinω0t ε(t),此时a>0,冲激响应是衰减振荡;若a<0,极点位于s平面的右半平面,则冲激响应是增幅振荡。
    若系统函数具有重极点,那么重极点对应的部分分式的逆变换可能具有t,t2,…与指数函数相乘的形式
    在这里插入图片描述

    %求零极点分布图,冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)
    %先定义系统函数的分子分母系数向量,然后求零极点,最后用impulse step函数画出波形
    num=[1 -2];den=[1 1 0];
    sys=tf(num,den);
    %%求极点
    poles=roots(den) 
    figure(1)
    subplot(231)
    pzmap(sys);
    %%求响应画图
    t=0:0.02:15;
    subplot(232);impulse(num,den,t);
    subplot(233);step(num,den,t);
    %第二个
    num=[2 2];den=conv([1 0 1 0],[1 0 1])
    sys=tf(num,den);
    poles=roots(den)
    subplot(234);pzmap(sys);
    t=0:0.02:15;
    subplot(235);impulse(num,den,t);
    subplot(236);step(num,den,t);
    %%另一种方法求冲击阶跃响应的表达式并画图
    figure(2)
    clear
    syms t s;
    ft=dirac(t)
    Fs=laplace(ft)
    Bs=s-2;As=s^2+s;
    Hs=Bs./As;     %Ys(全响应)=Cs/As(零输入)+Hs*Fs(零状态) 然后用ilaplace求t  冲激响应Fs=1 阶跃响应1/s
    ht=ilaplace(Hs*Fs)   %表达式冲激函数
    t1=linspace(eps,5,100);
    ht1=subs(ht,t,t1);
    subplot(211)
    plot(t1,ht1);
     
    ft=heaviside(t);
    Fs=laplace(ft);
    Bs=s-2;As=s^2+s;Hs=Bs./As;
    ht=ilaplace(Hs*Fs)   %表达式冲激函数
    t1=linspace(eps,5,100);
    ht1=subs(ht,t,t1);
    subplot(212)
    plot(t1,ht1);
    
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    零极点分布决定系统的频率特性

    %Hs=s-1/(s+1)^2+4 求系统幅频和相频 用freqs函数产生幅频相频特效
    num=[1 -1];den=[1 2 5];
     sys=tf(num,den);
     poles=roots(den)
     subplot(2,2,1);pzmap(sys);
     axis([-1.5 1.5 -3 3]);
     t=0:0.02:10;
     h=impulse(num,den,t);
     subplot(2,2,2);plot(t,h);
     title('Impulse Response')
     [H,w]=freqs(num,den);
     subplot(2,2,3);plot(w,abs(H))
     xlabel('\omega');
     
     title('M agnitude Response')
     subplot(2,2,4);plot(w,angle(H))
    xlabel('\omega');
     title('Phase Response')
    
    

    在这里插入图片描述

    系统的稳定性
    实际应用中,通常利用H(s)的极点分布来判断系统的稳定性。根据极点的分布状况,系统可分为稳定的、临界稳定的和不稳定的。
    (1)稳定系统:若H(s)的极点全部位于s平面的左半平面,则系统是稳定的。
    (2)临界稳定系统:若H(s)在原点或虚轴上有单阶极点,其余的极点全部位于s平面的左半平面,则系统是临界稳定的。
    (3)不稳定系统:若H(s)的极点不全位于s平面的左半平面,或在原点或虚轴上有高阶重极点,则系统是不稳定的。

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  • 使用MATLAB进行拉普拉斯变换

    千次阅读 2020-05-24 21:01:26
    MATLAB进行拉普拉斯变换

    为什么要使用拉普拉斯变换

    我们通常把f(t)的拉普拉斯变换写成F(s),拉普拉斯变换的优点是能把微分方程写成代数方程,而求解代数方程则要简单的多

    命令以及步骤

    • 先使用syms 定义变量
    • 使用laplace对函数进行拉普拉斯变换

    示例

    • 常数a

      syms a
      laplace(a)
      ans = 
      1/s^2
      
    • 幂函数
      二次方:

      octave:3> syms t;
      octave:4> laplace(t^2)
      ans = (sym)
      
        2 
        ──
         3
        s 
      

      三次方:

      octave:5> laplace(t^3)
      ans = (sym)
      
        6 
        ──
         4
        s 
      

      四次方:

      octave:6> laplace(t^4)
      ans = (sym)
      
        24
        ──
         5
        s 
      		
      

      公式:1

    • 指数函数

      
      octave:8> syms t b;
      octave:9> laplace(exp(-b*t))
      ans = (sym)
      
          1  
        ─────
        b + s
      
    • 正弦函数

      octave:10> syms w;
      octave:11> laplace(sin(w*t))
      ans = (sym)
      
           w   
        ───────
         2    2
        s  + w 
      
    • 余弦函数

      octave:12> syms w;
      octave:13> laplace(cos(w*t))
      ans = (sym)
      
           s   
        ───────
         2    2
        s  + w 
      
      
    • 双曲正弦函数

      octave:18> syms w t;
      octave:19> laplace(sinh(w*t))
      ans = (sym)
      
               w       
        ───────────────
        (s - w)(s + w)
      
    • 双曲余弦函数

       双曲余弦函数需要讨论,比较复杂
      
      octave:22> syms w t;
      octave:23> laplace(cosh(w*t))
      ans = (sym)
      
        ⎧              ⅈ⋅π                  │ 2│    
        ⎪          -s⋅ℯ                     │s │    
        ⎪          ────────             for │──│ < 12    22│    
        ⎪          s  - w                   │w │    
        ⎪                                           
        ⎪                                   │ 2│    
        ⎪              s                    │w │    
        ⎪           ───────             for │──│ < 12    22│    
        ⎪           s  - w                  │s │    
        ⎪                                           
        ⎪          ⎛             │  2⎞              
        ⎪  ╭─╮2, 11/2    0, 0 │ s ⎟              
        ⎪π⋅│╶┐     ⎜             │ ──⎟              
        ⎪  ╰─╯3, 30, 1/2   02⎟              
        ⎪          ⎝             │ w ⎠              
        ⎪─────────────────────────────   otherwise  
        ⎩              w                            
      

    拉普拉斯的变换是线性的

    octave:25> f = 5+exp(-2*t);
    octave:26> laplace(f)
    ans = (sym)
    
      2(3⋅s + 5)
      ───────────
       s⋅(s + 2) 
    
    
    展开全文
  • 拉普拉斯变换的求逆是求解复杂线性系统的一个非常重要的过程。 函数 f(t)=INVLAP(F(s)) 提供了一种简单、有效和合理准确的方法来获得结果。 它基于论文: J. Valsa 和 L. Brancik:拉普拉斯变换数值反演的近似公式,...
  • 来自拉普拉斯变换的 INVLAPFUN 时间函数。 FUN = INVLAPFUN(B,A) 返回一个函数句柄,用于评估与拉普拉斯变换 B(s)/A(s) 关联的时间函数 FUN(t),其中 B 和 A 是包含多项式系数的相应行向量。 FUN = INVLAPFUN(TF) ...
  • matlab拉普拉斯变换与反变换

    千次阅读 2020-10-07 15:14:30
    matlab拉普拉斯变换与反变换

    参考资料

    拉普拉斯反变换

    命令:ilaplace

    >> syms s
    >> f=(s-4)/((s-1)*(s-5))
     
    f =
     
    (s - 4)/((s - 1)*(s - 5))
    >> ilaplace(f)
     
    ans =
     
    exp(5*t)/4 + (3*exp(t))/4
    

    拉普拉斯变换

    命令:laplace

    >> syms t
    >> f=exp(5*t)/2 + exp(t)/2
     
    f =
     
    exp(5*t)/2 + exp(t)/2
     
    >> laplace(f)
     
    ans =
     
    1/(2*(s - 1)) + 1/(2*(s - 5))
    

    总结

    学会syms t定义变量就一切ok。

    展开全文
  • 来自拉普拉斯变换的 INVLAPFUN 时间函数。 FUN = INVLAPFUN(B,A) 返回一个函数句柄,用于评估与拉普拉斯变换 B(s)/A(s) 关联的时间函数 FUN(t),其中 B 和 A 是包含多项式系数的相应行向量。 FUN = INVLAPFUN(TF) ...
  • 三课时精通matlab拉普拉斯变换和逆变换 图像和算法等领域有多年研究和项目...

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  • 拉普拉斯变换Matlab求解方法

    千次阅读 2011-09-07 12:05:00
    拉普拉斯(laplace)积分变换在工程、应用数学等方面都有重要的作用。用Matlab求解更加方便。 1、拉普拉斯(laplace)变换 语法:F= laplace(f,t,s)%求时域函数f(t)的laplace变换F F是s的函数,参数s省略,返回...

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