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  • 拉普拉斯逆变换matlab实现, 可以求取其极值点和零点
  • 传递函数类的逆拉普拉斯变换计算器允许使用传递函数直接进行拉普拉斯变换由 N. Dincer Saygili 编码示例:gt = ilaplacetf(G) 其中G是传递函数类,gt是G的时域等效项
  • 您可以按照代码中给出的示例来构建您的二维二维拉普拉斯变换域中的函数,将其插入我们示例的位置,然后您就可以得到函数的二维拉普拉斯逆变换
  • 通过Gaver-Stehfest算法或任意函数及其参数执行拉普拉斯逆变换。 有关更多详细信息,请参见以下参考。 Villinger, H.,1985,使用 Gaver-Stehfest 拉普拉斯逆变换解决圆柱形地热问题,地球物理学,卷。 50 号10 页 ...
  • rilt 正则化拉普拉斯逆变换[g,yfit,cfg] = rilt(t,y,s,g0,alpha) 数组 g(s) 是数组 y(t) 的拉普拉斯逆变换,通过正则化最小二乘法计算。 该脚本是 S. Provencher CONTIN 程序的仿真,用 Fortran 编写。 请参阅...
  • 这类问题在分数电路设计中经常出现,该函数可以有效地计算形式为 1/(s^u(s^va)) 的函数的拉勒斯变换,其中 u 和 v 可能是分数的。 在此过程中使用了分数积分的“Riemman-Louivelle”定义。
  • 使用MATLAB进行拉普拉斯逆变换

    千次阅读 2020-05-24 22:17:10
    使用MATLAB进行拉普拉斯逆变换

    为什么要进行拉普拉斯逆变换

    • 有些函数中复频域中求解很困难,我们需要把它变换到时域中,或者想看它在时域中有什么特性
    • 为了应付考试中的变态题目

    函数名及使用步骤

    • 使用syms 对变量进行定义
    • 使用ilaplace()进行拉普拉斯逆变换

    示例

    • 简单的幂函数

      
      octave:2> syms s;
      octave:3> ilaplace(1/s^3)
      ans = (sym)
      
         2
        t 
        ──
        2 
      
    • 简单的指数函数

       Octave的显示更=跟MATLAB不太一样
      
      octave:4> syms w;
      octave:5> ilaplace(2/(w+s))
      ans = (sym)
      
           -t⋅re(w) - ⅈ⋅t⋅im(w)
        2⋅ℯ                    
      
    • 三角函数

      octave:7> ilaplace(s/(s^2+4))
      ans = (sym) cos(2⋅t)
      

    复杂函数的拉普拉斯逆变换

    现实中有很多函数通过手算有很大的计算量,或者根本没有原函数,这个时候我们就只能通过MATLAB来求解
    
    • 一个例子:

    1
    我们把它输入到MATLAB中:

    octave:8> F = (5-3*s)/(2+5*s)
    F = (sym)
    
      5 - 3⋅s
      ───────
      5⋅s + 2
    
    octave:9> f = ilaplace(F)
    f = (sym)
    
                                                          -2⋅t 
                                                          ─────
                                 ⎛   s               ⎞      5  
      - 3⋅InverseLaplaceTransform⎜───────, s, t, None⎟ + ℯ     
                                 ⎝5⋅s + 2            ⎠         
    
    

    上述结果也可以表示为:

    ilaplace(F)
    ans = -3/5*dirac(t)+31/25*exp(-2/5*t)
    

    注意:

    其中dirac(t)称为狄拉克函数,在自动控制和信号与系统中也叫单位脉冲函数
    • 一个更复杂的例子:

    2
    与上述步骤类似:

    octave:11> F = (-s^2-9*s+4)/(s^2+s+2)
    F = (sym)
    
         2          
      - s  - 9⋅s + 4
      ──────────────
         2          
        s  + s + 2  
    
    octave:12> f = ilaplace(F)
    Waiting....!!! OUT OF TIME !!!
    

    这里Octive已经崩溃了,可见这个原函数实在是太复杂了,我们这里就不展示了,浪费空间。。。。

    配合ezplot()函数绘制逆变换后的图像

    ezplot能够进行符号计算,不需要自变量的数据就能根据函数特性绘制图像,但通常要给自变量指定区间
    

    例1

    4

    • 求解原函数

       syms s;
       F = 1/(s+7).^2;
       f = ilaplace(F);
      
      
      f =
       
      t*exp(-7*t)
      
    • 绘制某个区间的图像

       ezplot(f)
      
    • 图像

      5

    例2

    6

    与上述步骤类似,我们直接放代码及结果:

    • 代码

       syms s;
       F = (2*s+3)/(((s+1).^2)*((s+3).^2));
       f = ilaplace(F)
       ezplot(f,[0 1])
      
      f =
       
      exp(-t)/4 - exp(-3*t)/4 + (t*exp(-t))/4 - (3*t*exp(-3*t))/4
      
    • 图像

      7

    展开全文
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  • 我们新的数值拉普拉斯逆变换过程快速,简单,但仍比最常用的替代过程优越得多。 它没有过冲和下冲,因此非常适合反转概率分布的拉普拉斯变换,因为它永远不会为它们返回负值或一个以上的结果。
  • laplace(ft) 单边拉普拉斯变换 ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换 num=[1 0];den=[1 0 100]; %X=s/(s^2+100) sys=tf(num,den); %建立一个传递函数,分子为num,分母为den poles=roots(den) %求极点 pzmap(sys); %零极点...

    **

    所用的MATLAB函数:

    **

    
    dirac(t) 冲激函数   heaviside(t)  阶跃函数
    laplace(ft)  单边拉普拉斯变换    ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换
    num=[1 0];den=[1 0 100];  %X=s/(s^2+100)
    sys=tf(num,den);  %建立一个传递函数,分子为num,分母为den
    poles=roots(den)  %求极点
    pzmap(sys);  %零极点分布图显示
    [r,p,k]=residue(num,den)
    num den分子分母多项式的系数向量
    r部分分式的系数
    p为极点
    k为多项式系数,若为真分式,其为0
    roots(den)函数计算H(s)的零极点
    format rat   %使用分数来表示数值
    pretty(Ys);%看起来好看的Ys
    yzit=vpa(yzit0,4);  %vpa 设置精度,0.001111 四位
    t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+;
    ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点,求冲激函数各时点的数值解
    t=0:0.02:15;mpulse(num,den,t);step(num,den,t); 冲激响应 阶跃响应绘图
    [H,w]=freqs(num,den); plot(w,abs(H));plot(w,angle(H))求得幅频相频响应
    

    正文

    **
    **
    1.从傅里叶变换到拉普拉斯变换
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    2.双边拉普拉斯变换的收敛域
    在这里插入图片描述
    (1) 因果的。当t<0时,f(t)=0。若因果信号的双边拉普拉斯变换存在,则其收敛域在其极点右边的一个平面。
    (2) 反因果的。当t>0时,f(t)=0。若反因果信号的双边拉普拉斯变换存在,则其收敛域在其极点左边的一个平面。
    (3)非因果的,以上二者的组合。若非因果信号的双边拉普拉斯变换在,则其收敛域是其因果部分的收敛域和其反因果部分的收敛域的交集。

    3.单边拉普拉斯变换
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    利用MATLAB求解laplace求信号的单边拉普拉斯变换
    符号法:

    syms t s;
    d=dirac(t);
    D=laplace(d)
    u=heaviside(t);
    U=laplace(u)
    g=heaviside(t+1)-heaviside(t-1);
    G=laplace(g)
    x=exp(-2*t);
    X=laplace(x)
    

    结果:
    D =1
    U = 1/s
    G =1/s - exp(-s)/s
    X =1/(s + 2)

    3.单边拉普拉斯变换的性质
    在这里插入图片描述
    MATLAB比较cos10t ε(t)和e–tcos10t ε(t)的极点位置,分析s域平移性质对收敛域的影响
    符号计算法

    clear
    syms t s;
    x=cos(10*t);
    y=exp(-t)*cos(10*t);
    X=laplace(x)   %好像laplace函数就是求单边普,不用x=cos(10*t)*heaviside(t)了
    Y=laplace(y)    % plotting of signals and poles/zeros??  
    figure(1) 
    subplot(221)
    ezplot(x,[0,5]);grid
    axis([0 5 -1.1 1.1]);
    title('x(t)=cos(10t)ε(t)')
    num=[1 0];den=[1 0 100];  %X=s/(s^2+100)可知
    sys=tf(num,den);  %建立一个传递函数,分子为num,分母为den
    poles=roots(den)  %求极点
    subplot(222)
     pzmap(sys);  %零极点分布图显示
     axis([-2 1 -20 20]);
     subplot(223)
     ezplot(y,[-1,5]);grid
     axis([0 5 -1.1 1.1]);
     title('y(t)=cos(10t)exp(-t)ε(t)')
     num=[0 1 1];den=[1 2 101];
     sys=tf(num,den);
     poles=roots(den)
     subplot(224)
     pzmap(sys);
     axis([-2 1 -20 20]);
    

    X =
    s/(s^2 + 100)
    Y =
    (s + 1)/((s + 1)^2 + 100)
    poles =
    0.0000 +10.0000i
    0.0000 -10.0000i
    poles =
    -1.0000 +10.0000i
    -1.0000 -10.0000i
    在这里插入图片描述
    4.单边拉普拉斯逆变换
    4.1 部分分式展开法
    1.单极点 实数 2.共轭复极点

    format rat   %使用分数来表示数值
    num=[3 11 15 6];
    den=[1,3,2];
    [r,p,k]=residue(num,den)
    r =
           4       
          -1       
    p =
          -2       
          -1       
    k =
    3              2  
    
    

    在这里插入图片描述

    %F(s)=s^2-4/(s^2+4s+8)(s+3)
    num=[1 0 -4];
    den=conv([1 4 8],[1 3]); %卷积求多项式乘
    [r,p,k]=residue(num,den)
    magr=abs(r)   %求r得模
    angr=angle(r)  %求r得相∩
    
    ```r=1+0i,1/321685687669322+1i,1/321685687669322-1i
       p=-3+0i,-2+2i,-2-2i
       magr=1,1,1
       angr=0,355/226,-355/226
    
    

    在这里插入图片描述
    5 连续系统的拉普拉斯分析
    在这里插入图片描述完全响应=零输入响应+零状态响应

    已知线性时不变系统的微分方程为
    y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f′(t)+3f(t)
    输入信号f(t)=e–4tε(t),y(0–)=1,y′(0–)=1,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。

    %y''+3y'+2y=f'+3f
    syms t s;
    ft=exp(-4*t)*heaviside(t); %输入信号
    a=[1 3 2];b=[1 3];%微分方程系数向量
    y0=[1 1];   %系统初始状态 y0(1)=y(0-) y0(2)=y'(0-)
    Fs=laplace(ft);
    %%计算Cs即C(s)
    n=length(a)-1;Cs=0;
    for k=1:n;
        for r=0:(k-1);
            Cs=Cs+a(n-k+1)*y0(r+1)*s^(k-1-r);
        end
    end
    As=s^2+3*s+2;Bs=s+3;
    Hs=Bs./As;
    ht=ilaplace(Hs);disp('系统冲激响应');ht
    Ys=Cs/As+Bs/As*Fs;disp('Y(s)=');
    pretty(Ys);%看起来好看的Ys
    yt=ilaplace(Ys);disp('全响应');yt
    yzit0=ilaplace(Cs/As);yzit=vpa(yzit0,4);  %vpa 设置精度,0.001111 四位
    disp('零输入响应');yzit
    disp('零输入响应');yzit
    yzst0=ilaplace(Bs/As*Fs);yzst=vpa(yzst0,4);
    disp('零状态响应');yzst
    %%绘图
    t1=linspace(eps,5,100); %eps = 1/4503599627370496=0+;
    ht1=subs(ht,t,t1); %置换函数 syms t->t1数值点,求冲激函数各时点的数值解
    subplot(211);plot(t1,ht1);
    title('冲激响应');grid;
    yt1=subs(yt,t,t1);subplot(212);plot(t1,yt1,'r--');
    yzit1=subs(yzit,t,t1);hold on;plot(t1,yzit1,'k--');
    yzst1=subs(yzst,t,t1);hold on;plot(t1,yzst1,'b--');
    title('系统响应')
    legend('全响应','零输入','零状态');
    
    系统冲激响应
    ht =
    2*exp(-t) - exp(-2*t)
    Y(s)=
        s + 4               s + 3
    ------------ + ---------------------- 
    s ^2 + 3 s + 2   (s + 4) (s^2  + 3 s + 2)
    全响应
    yt =
    (11*exp(-t))/3 - (5*exp(-2*t))/2 - exp(-4*t)/6
    零输入响应
    yzit =
    3.0*exp(-1.0*t) - 2.0*exp(-2.0*t)
    零状态响应
    yzst =
    0.6667*exp(-1.0*t) - 0.5*exp(-2.0*t) - 0.1667*exp(-4.0*t)
    
    

    在这里插入图片描述

    已知线性时不变系统的系统函数H(s)=s+2/s^2+4
    ,输入信号f(t)=ε(t),求系统的零状态响应。
    
    syms t s;
    ft=heaviside(t);
    Fs=laplace(ft);
    As=s^2+4;Bs=s+2;Hs=Bs./As;
    ht=ilaplace(Hs);
    yzst0=ilaplace((Bs*Fs)/As);yzst=vpa(yzst0,4);
    disp('零状态响应'),yzst,
    t1=linspace(eps,5,100);
    ht1=subs(ht,t,t1);
    subplot(2,1,1);plot(t1,ht1),
    xlabel('时间(秒)'),ylabel('幅度') ,grid,title('冲激响应'),
    subplot(2,1,2);
    yzst1=subs(yzst,t,t1);hold on;plot(t1,yzst1,'b-.')   
    xlabel('时间(秒)'),ylabel('幅度') ,grid,title('零状态响应')
    
    

    6.系统函数与系统特性
    (1)若极点位于s平面的坐标原点,即Hs=1/s,则h(t)=ε(t),冲激响应是阶跃信号。
    (2)若极点位于s平面的实轴上,即Hs=1/s+a,则h(t)=e–atε(t),若a>0,冲激响应是指数衰减信号;若a<0,冲激响应是指数增长信号。
    (3)若极点位于s平面的虚轴上,即Hs=w0/s2+w02,则h(t)=sinω0t ε(t),冲激响应是等幅的正弦振荡。
    (4)若极点位于s平面的左半平面,并共轭成对,即Hs=w0/(s+a)2+w02,则h(t)=e–atsinω0t ε(t),此时a>0,冲激响应是衰减振荡;若a<0,极点位于s平面的右半平面,则冲激响应是增幅振荡。
    若系统函数具有重极点,那么重极点对应的部分分式的逆变换可能具有t,t2,…与指数函数相乘的形式
    在这里插入图片描述

    %求零极点分布图,冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)
    %先定义系统函数的分子分母系数向量,然后求零极点,最后用impulse step函数画出波形
    num=[1 -2];den=[1 1 0];
    sys=tf(num,den);
    %%求极点
    poles=roots(den) 
    figure(1)
    subplot(231)
    pzmap(sys);
    %%求响应画图
    t=0:0.02:15;
    subplot(232);impulse(num,den,t);
    subplot(233);step(num,den,t);
    %第二个
    num=[2 2];den=conv([1 0 1 0],[1 0 1])
    sys=tf(num,den);
    poles=roots(den)
    subplot(234);pzmap(sys);
    t=0:0.02:15;
    subplot(235);impulse(num,den,t);
    subplot(236);step(num,den,t);
    %%另一种方法求冲击阶跃响应的表达式并画图
    figure(2)
    clear
    syms t s;
    ft=dirac(t)
    Fs=laplace(ft)
    Bs=s-2;As=s^2+s;
    Hs=Bs./As;     %Ys(全响应)=Cs/As(零输入)+Hs*Fs(零状态) 然后用ilaplace求t  冲激响应Fs=1 阶跃响应1/s
    ht=ilaplace(Hs*Fs)   %表达式冲激函数
    t1=linspace(eps,5,100);
    ht1=subs(ht,t,t1);
    subplot(211)
    plot(t1,ht1);
     
    ft=heaviside(t);
    Fs=laplace(ft);
    Bs=s-2;As=s^2+s;Hs=Bs./As;
    ht=ilaplace(Hs*Fs)   %表达式冲激函数
    t1=linspace(eps,5,100);
    ht1=subs(ht,t,t1);
    subplot(212)
    plot(t1,ht1);
    
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    零极点分布决定系统的频率特性

    %Hs=s-1/(s+1)^2+4 求系统幅频和相频 用freqs函数产生幅频相频特效
    num=[1 -1];den=[1 2 5];
     sys=tf(num,den);
     poles=roots(den)
     subplot(2,2,1);pzmap(sys);
     axis([-1.5 1.5 -3 3]);
     t=0:0.02:10;
     h=impulse(num,den,t);
     subplot(2,2,2);plot(t,h);
     title('Impulse Response')
     [H,w]=freqs(num,den);
     subplot(2,2,3);plot(w,abs(H))
     xlabel('\omega');
     
     title('M agnitude Response')
     subplot(2,2,4);plot(w,angle(H))
    xlabel('\omega');
     title('Phase Response')
    
    

    在这里插入图片描述

    系统的稳定性
    实际应用中,通常利用H(s)的极点分布来判断系统的稳定性。根据极点的分布状况,系统可分为稳定的、临界稳定的和不稳定的。
    (1)稳定系统:若H(s)的极点全部位于s平面的左半平面,则系统是稳定的。
    (2)临界稳定系统:若H(s)在原点或虚轴上有单阶极点,其余的极点全部位于s平面的左半平面,则系统是临界稳定的。
    (3)不稳定系统:若H(s)的极点不全位于s平面的左半平面,或在原点或虚轴上有高阶重极点,则系统是不稳定的。

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