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  • 拉格朗日乘子法是寻找函数在一组约束下的极值方法。 1、等式约束 形式:(x是d维向量) min f(x) s.t. h(x) = 0. 写成如下形式: min f(x)+lambda*h(x)(lambda为参数) s.t. h(x) = 0. 发现两者是等价的。 记...

    拉格朗日乘子法是寻找函数在一组约束下的极值方法。

    1、等式约束

    形式:(x是d维向量)

    min f(x)

    s.t. h(x) = 0.

    写成如下形式:

    min f(x)+lambda*h(x)(lambda为参数)

    s.t. h(x) = 0.

    发现两者是等价的。

    记:拉格朗日函数L(x,lambda) = f(x)+lambda*h(x).

    发现约束条件h(x)=0,其实就是对拉格朗日函数L(x,lambda)关于lambda求偏导等于0得到,略去该约束,继而原约束优化问题就转化成了对拉格朗日函数L(x,lambda)的无约束优化问题(即令L关于x和lambda的偏导等于0求解)。

    几何解释:

    原目标函数f(x)取得最小化点x*时,可以得到如下结论:

    a.约束曲面上的任意点x,该点的梯度正交于约束曲面;

    b.在最优点x*,目标函数在该点的梯度正交于约束曲面(可以反正:若目标函数梯度与约束曲面不正交,则总可以在约束曲面上移动该点使目标函数进一步减小)。

    所以,在最优点x*,梯度f(x*)和h(x*)的方向相同或相反,即存在lambda!=0,使:

    ▽f(x*)+lambda*▽h(x*)=0.        (1式)

    定义拉格朗日函数:L(x,lambda) = f(x)+lambda*h(x).

    令L(x,lambda)对x的偏导数等于0,得到1式;令L(x,lambda)对lambda的偏导数等于0,得到约束条件h(x)=0。于是,原约束优化问题转化为无约束优化问题。

     

    2、不等式约束

    形式:

    min f(x)

    s.t. g(x) <= 0.

    同样定义拉格朗日函数L(x,lambda) = f(x)+lambda*g(x).

    此时,首先看目标函数f(x)在无约束条件下的最优点,显然要么在g(x)<=0的区域内,要么在g(x)>0的区域内。

    f(x)在无约束条件下的最优点g(x)<=0区域内,则约束条件g(x)<=0不起作用(即可直接求min f(x),得到的结果必然满足g(x)<=0),相当于lambda=0;

    f(x)在无约束条件下的最优点不g(x)<=0区域内,则f(x)在约束条件下的最优点必然在g(x)<=0区域边界,即在边界g(x)=0上。此类情形类似于等式约束,但此时梯度f(x*)▽g(x*)的方向相反(梯度方向是函数值增大最快的方向),即存在lambda>0,使▽f(x*)+lambda*▽g(x*)=0

    整合上述两种情形,必有lambda*g(x) = 0。所以原不等式约束问题就转化为:

    min L(x,lambda)

    s.t. g(x)<=0,

    lambda>=0,

    lambda*g(x)=0.

    上面的约束条件即为KKT条件。

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    参考资料:周志华《机器学习》

    参考博文:拉格朗日乘子法及KKT条件证明

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  • 增广拉格朗日乘子法

    2014-09-18 10:39:20
    这是一个描述增广拉格朗日乘子法原理及Java算法的文档,很值得大家学习!
  • 拉格朗日乘子法实现非线性规划拉格朗日乘子法原理介绍拉格朗日乘子法python代码用KKT条件验证解的有效性 拉格朗日乘子法原理介绍 对于二元函数,设目标函数为f(x1,x2x_1,x_2x1​,x2​),极值存在的必要条件为: 等式...

    拉格朗日乘子法原理介绍

    对于二元函数,设目标函数为f(x1,x2x_1,x_2),极值存在的必要条件为:
    等式约束为:g(x1,x2)=0g(x_1,x_2)=0
    在无约束时,fx1=fx1=0df=(fx1)dx1+(fx2)dx2=0\frac{\partial f^*}{\partial x_1}=\frac{\partial f^*}{\partial x_1}=0,即df=(\frac{\partial f^*}{\partial x_1})dx_1+(\frac{\partial f^*}{\partial x_2})dx_2=0
    在有等式约束时,除了以上关系式还要满足:
    dg=(gx1)dx1+(gx2)dx2=0 dg=(\frac{\partial g^*}{\partial x_1})dx_1+(\frac{\partial g^*}{\partial x_2})dx_2=0
    由以上两个式子可以得出
    dx2dx1=(f/x1f/x2)dx2dx1=(g/x1g/x2) \frac {dx_2}{dx_1}=-(\frac{\partial f^*/\partial x_1}{\partial f^*/\partial x_2}) \frac {dx_2}{dx_1}=-(\frac{\partial g^*/\partial x_1}{\partial g^*/\partial x_2})
    即为(fx1)(gx2)=(fx2)(gx1)(\frac{\partial f^*}{\partial x_1})(\frac{\partial g^*}{\partial x_2})=(\frac{\partial f^*}{\partial x_2})(\frac{\partial g^*}{\partial x_1})
    令这个式子等于一个可正可负的常数λ\lambda,这个数为拉格朗日乘子
    λ=(fx1)(gx2)=(fx2)(gx1)\lambda=(\frac{\partial f^*}{\partial x_1})(\frac{\partial g^*}{\partial x_2})=(\frac{\partial f^*}{\partial x_2})(\frac{\partial g^*}{\partial x_1})
    这些就可以得到一个方程组为
    {fx1λgx1=0g(x1,x2)=0fx2λgx2=0 \begin{cases} \frac{\partial f^*}{\partial x_1}-\lambda \frac{\partial g^*}{\partial x_1}=0 \\\\ g(x_1,x_2)=0 \\\\ \frac{\partial f^*}{\partial x_2}-\lambda \frac{\partial g^*}{\partial x_2}=0\\\\ \end{cases}
    联立解方程组可得x1x2λx_1、x_2、\lambda,就求得了极值点
    这个方程组就相当于一个无约束的函数L=fλgL=f-\lambda g的极值点,
    此函数极值点存在的必要条件为Lx2=Lx2=Lλ=0\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0
    这个新定义的函数就为拉格朗日函数LL
    df=λ(gx2)dx1+λ(gx2)dx2=λdgdf=\lambda(\frac{\partial g^*}{\partial x_2})dx_1+\lambda(\frac{\partial g^*}{\partial x_2})dx_2=\lambda dg
    这表明在极值点附近,L为目标函数f随约束条件g的微小变化而变化的比率
    通过应用拉格朗日乘子,可以使求等式约束条件下函数f的极小点,成为求拉格朗日函数LL的驻点。这种引进待定乘子,将有等式约束的寻优问题转化为无约束的寻优问题的做法,称为拉格朗日乘子法。可用于求解有等式约束的非线性规划,还可以用于求解有不等式约束的非线性规划。
    对于不等式约束,就要引入松弛变量使得不等式约束变为等式约束,然后进行求解。
    例如不等式约束为:
    g(X)=ax1+bx2+c0g(X)=ax_1+bx_2+c \leq 0
    引入松弛变量后为:
    g(X)=ax1+bx2+c+x32=0g(X)=ax_1+bx_2+c+x_3^2=0,然后就可以用拉格朗日乘子法进行求解。

    拉格朗日乘子法python代码

    非线性规划为:min f(x)=6010x14x2+x12+x22x1x2f(x)=60-10x_1-4x_2+x_1^2+x_2^2-x_1x_2
    等式约束为:g(x)=x1+x28=0g(x)=x_1+x_2-8=0
    构造的拉格朗日等式为:L=6010x14x2+x12+x22x1x2λ(x1+x28)L=60-10x_1-4x_2+x_1^2+x_2^2-x_1x_2-\lambda(x_1+x_2-8)
    λ\lambda为乘子
    对未知数求导Lx1Lx2Lλ\frac{\partial L}{\partial x_1}、\frac{\partial L}{\partial x_2}、\frac{\partial L}{\partial \lambda}
    令得到的三个公式等于0,可以求出x1x_1x2x_2λ\lambda,从而将x1x_1x2x_2带入f(X)中,就得到了极小值的最优解。

    from sympy import * 
    import numpy as np
    #设置变量
    x1 = symbols("x1")
    x2 = symbols("x2")
    a = symbols("a")
    #构造拉格朗日等式
    L = 60-10*x1-4*x2+x1*x1+x2*x2-x1*x2 - a * (x1+x2-8)
    #求导,构造KKT条件
    difyL_x1 = diff(L, x1)  #对变量x1求导
    difyL_x2 = diff(L, x2)  #对变量x2求导
    difyL_a = diff(L,a)  #对乘子a求导
    #求解KKT等式
    aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, difyL_a], [x1, x2, a])
    b=[]
    #打印结果
    for key in aa:
        b.append(aa[key])
        print(key,aa[key])
    c=60-10*b[0]-4*b[1]+b[0]*b[0]+b[1]*b[1]-b[0]*b[1]
    print("f(x)=",c)
    

    结果为:
    在这里插入图片描述

    用KKT条件验证解的有效性

    KKT条件:最优值必须满足
    1、拉格朗日函数L对未知数求导Lx1Lx2Lλ\frac{\partial L}{\partial x_1}、\frac{\partial L}{\partial x_2}、\frac{\partial L}{\partial \lambda}为0,
    2、拉格朗日乘子与约束函数相乘为0,λg(X)=0\lambda g(X)=0
    3、约束函数g(X)g(X)为0
    求取这三个条件所得到的等式就能得到候选最优值。
    具体原理参考: 拉格朗日乘子法与KKT条件详解.
    对于极值的优化是满足强对偶的(就是对偶式子的最优值是等于原式子的最优值的)
    如有错误请指正!

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  • 拉格朗日乘子法

    2018-11-24 17:02:00
    拉格朗日乘子法 (Lagrange multipliers)是一种...本文希望通过一个直观简单的例子尽力解释拉格朗日乘子法和KKT条件的原理。 以包含一个变量一个约束的简单优化问题为例。 如图所示,我们的目标函数是$f(x)={x^2} +...

    拉格朗日乘子法 (Lagrange multipliers)是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法.通过引入拉格朗日乘子,可将有 d 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d + k 个变量的无约束优化问题求解。本文希望通过一个直观简单的例子尽力解释拉格朗日乘子法和KKT条件的原理。


    以包含一个变量一个约束的简单优化问题为例。

    如图所示,我们的目标函数是$f(x)={x^2} + 4x - 1$,讨论两种约束条件$g(x)$:

    (1)在满足$x \le -1$ 约束条件下求目标函数的最小值;

    (2)在满足 $x \ge -1$约束条件$g(x)$下求目标函数的最小值。

    \[\begin{array}{*{20}{l}}
    {\mathop {\min }\limits_x f(x) = {x^2} + 4x - 1}\\
    \begin{array}{l}
    (1) s.t. x + 1 \le 0\\
    (2) s.t. -x - 1 \le 0
    \end{array}
    \end{array}\]

     

    我们可以直观的从图中得到,

    对于约束(1)使目标值$f(x)$最小的最优解是$x=-2$;

    对于约束(2)使目标值$f(x)$最小的最优解是$x=-1$。

    下面我们用拉格朗日乘子来求解这个最优解。

    当没有约束的时候,我们可以直接令目标函数的导数为0,求最优值。可现在有约束,那怎么边考虑约束边求目标函数最优值呢?最直观的办法是把约束放进目标函数里,由于本例中只有一个约束,所以引入一个朗格朗日乘子$\lambda$,构造一个新的函数,拉格朗日函数$h(x)$,

    \[h(x) = f(x) + \lambda g(x) \]

    该拉格朗日函数$h(x)$最优解可能在$g(x) <0$区域中,或者在边界$g(x) =0$上,下面具体分析这两种情况,

    当$g(x) <0$时,也就是最优解在$g(x) <0$区域中, 对应约束(1)$x \le -1$的情况。此时约束对求目标函数最小值不起作用,等价于$\lambda = 0$,直接通过条件$\nabla f(x*) = 0$,得拉格朗日函数$h(x)$最优解$x=-2$。

    当$g(x) =0$时,也就是最优解在边界$g(x) =0$上,对应约束(1)$x \ge -1$的情况。此时不等式约束转换为等式约束,也就是在$\lambda>0$、约束起作用的情况下,通过求$\nabla f(x*) + \lambda \nabla g(x*)=0$,得拉格朗日函数$h(x)$最优解$x=-1$。

    所以整合这两种情况,必须满足$\lambda g(x)=0$

    因此约束$g(x)$最小化$f(x)$的优化问题,可通过引入拉格朗日因子转化为在如下约束下,最小化拉格朗日函数$h(x)$,

    \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {g(x) \le 0}\\
    {\lambda \ge 0}\\
    {\lambda g(x) \ge 0}
    \end{array}} \right.\]

    上述约束条件成为KKT条件。

    该KKT条件可扩展到多个等式约束和不等式约束的优化问题。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/yijuncheng/p/10012679.html

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  • 深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件的原理及运用三、引入KKT条件求带不等式约束条件的最优化问题一、常见的三类最优化问题二、拉格朗日乘子法解决带等式约束的最优化问题(一)用实例理解拉格朗日乘子法的背后意义(二...

    一、凸函数

    以下讨论均基于凸优化,首先要知道什么是凸函数:
    对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y,有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2),几何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值,大于等于两点之间某点的函数值。凸函数的任一局部极小点也是全局极小点。
    凸集定义:欧式空间中,对于集合中的任意两点的连线,连线上任意一点都在集合中,我们就说这个集合是凸集。

    在这里插入图片描述
    对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。
    扩展:对于凸函数,我们可以推广出一个重要的不等式,即Jensen不等式。如果 f 是凸函数,X是随机变量,那么f(E(X))≤E(f(X)),上式就是Jensen不等式的一般形式。

    二、常见的三类最优化问题

    1.无约束优化问题:
    min f(x);
    对于无约束的优化问题解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点,最后再将结果带回原函数进行验证。但是如果已经是凸函数,就不需要再验证,可以保证求导函数等于0的点是最优解。
    2.有等式约束的优化问题:
    min f(x),
    s.t hi(x)=0;i=1,…,n
    解决这类问题要运用到拉格朗日乘子法构造拉格朗日函数,将在下面详细介绍
    3.有不等式约束的优化问题:
    min f(x),
    s.t gi (x)<=0 (i=1,…,n)
    hj(x)=0(j=1,…,m)
    解决这类问题要引入KKT条件并构造拉格朗日函数,将在下面详细介绍

    三、拉格朗日乘子法解决带等式约束的最优化问题

    (一)用实例理解拉格朗日乘子法的背后意义

    1.现在假设我们有一个函数
    在这里插入图片描述
    我们要在满足
    在这里插入图片描述
    这个等式约束条件下求极小值。也就是如下式:
    在这里插入图片描述
    2.我们需要先直观的看一下函数f(x,y)以及它的等高线的图像:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3.接下来,我们求出函数f(x,y)的梯度向量:
    在这里插入图片描述
    我们需要知道的是梯度向量与等高线的切线垂直,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    4.我们再看一下等式约束条件的等高线:
    在这里插入图片描述
    蓝色即为约束条件g(x,y)=x2y{x^2}y=3的线条
    5.g(x,y)的梯度向量为:
    在这里插入图片描述
    6.同样的,梯度向量垂直于切线:
    在这里插入图片描述
    7.最后我们需要知道的是只有等高线与约束曲线的相切点才有可能取得极值,看图可能更好理解一些:
    在这里插入图片描述
    现在看如果是等高线与约束曲线的交点B,B这个点就不可能是取得极值的点,这是因为有两个五角星标记的区域的存在。
    8.好了,到现在为止我们可以得到一个结论:在可能取极值的点(等高线与约束曲线相切的点)等高线的梯度向量与约束曲线的梯度向量是平行的。如下:
    在这里插入图片描述
    也就是有下面的式子成立:
    在这里插入图片描述
    9.同时,又因为g(x,y)=x2y{x^2}y有很多曲线,我们必须添加上x2y{x^2}y=3这个式子,我们最终就得到了最期望的联立方程:
    在这里插入图片描述
    10.求解:
    在这里插入图片描述
    以上的10步就是拉格朗日乘子法的含义。

    (二)、拉格朗日乘子法求解带等式约束的最优化问题

    1. 构造拉格朗日函数 :
      在这里插入图片描述
      之所以这样构造的原理我们可以继续看上面的例子的第8步,因为有
      在这里插入图片描述
      我们把这个式子的右边移到左边,并把常数移进微分算子,得到:
      在这里插入图片描述
      把这个式子重新解释一下,这个就是函数
      在这里插入图片描述
      无约束情况下极值点的充分条件。通过这个例子我们就能理解拉格朗日函数的由来了。
      2.构造出了求无约束条件下的优化问题,就可以分别对参数求偏导,并令其为0,解出在无约束极值和极值所对应的点
      在这里插入图片描述
      另外需要注意的是,以上两个偏导的结果正好分别是在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    四、引入KKT条件求带不等式约束条件的最优化

    对于不等式约束g(x)<=0,和等式约束h(x)=0不一样,h(x)=0可以在平面上画出一条等高线,而g(x)<=0是一个区域,很多个等高线堆叠而成的一块区域,我们把这块区域称为可行域。

    不等式约束分两种情况来讨论,第一种是原有函数的(不考虑可行域限制时的)极值点落在可行域内(不包含边界),第二种是原有函数的(不考虑可行域限制时的)极值点落在可行域外(包含边界)。
    下面举两个例子来解释这两种情况,然后总结两种情况给出转换求解。

    (一)实例理解带不等式约束条件的最优化

    在有不等式g(x)<=0的约束下,可行解 x 只能在 g(x)<0 或者 g(x)=0 的区域里取得:
    当可行解 x 落在 g(x)<0 的区域内,此时直接极小化 f(x) 即可;
    当可行解 x 落在 g(x)=0 即边界上,此时等价于等式约束优化问题.

    case1:当约束区域包含目标函数原有的的可行解时,此时加上约束可行解扔落在约束区域内部,对应 g(x)<0 的情况,这时约束条件不起作用;
    现在我们假设如下图:
    在这里插入图片描述
    我们很容易知道f(x)的最小值在(0,0),等高线如下图:
    在这里插入图片描述
    接下来我们画上g(x1,x2)限制的可行域(以(0,0)为圆心,半径为1的圆型区域,包括边界):
    在这里插入图片描述
    很明显这个约束并不起作用,函数f(x1,x2)的极值点不变,仍为
    在这里插入图片描述
    这种情况约束不起作用,考虑极小值点x*,这个时候,g(x*) < 0,f(x*)的梯度等于0。

    case2:当约束区域不包含目标函数原有的可行解时,此时加上约束后可行解落在边界 g(x)=0 上。
    下面我们考虑另外一个不等式约束下的问题:
    在这里插入图片描述
    我们可以看一下这个问题的等高线情况:
    在这里插入图片描述
    以上两种情况就是说,要么可行解落在约束边界上即得 g(x)=0 ,要么可行解落在约束区域内部,此时约束不起作用,令 λ=0 消去约束即可,所以无论哪种情况都会得到λg(x)=0
    (也就是KKT条件的其中之一)。

    还有一个问题是 λ 的取值,在等式约束优化中,约束函数与目标函数的梯度只要满足平行即可,而在不等式约束中则不然,若 λ≠0,这便说明 可行解 x 是落在约束区域的边界上的,这时可行解应尽量靠近无约束时的解,所以在约束边界上,目标函数的负梯度方向应该远离约束区域朝向无约束时的解,此时正好可得约束函数的梯度方向与目标函数的负梯度方向应相同:
    在这里插入图片描述
    上式需要满足的要求是拉格朗日乘子 λ>0
    在这里插入图片描述
    总结以上两种case,如下:
    在这里插入图片描述

    (二)满足KKT条件下的利用拉格朗日函数求带不等式约束的最优化问题

    可见对于不等式约束,只要满足一定的条件,依然可以使用拉格朗日乘子法解决,这里的条件便是 KKT 条件。
    对于如下:
    在这里插入图片描述
    那么我们定义的拉格朗日函数又是什么呢,其实很容易想到:
    在这里插入图片描述
    其中,f(x)是目标函数,gj(x)是不等式约束,βi是对应的约束系数(a>=0),hi(x)是第i个等式约束条件,αi是对应的约束系数。这里把目标函数,等式约束,不等式约束融合到了一个式子里,这时候KKT约束就出场了:
    在这里插入图片描述
    满足 KKT 条件后极小化 Lagrangian 即可得到在不等式约束条件下的可行解。 KKT 条件看起来很多,其实很好理解:

    (1) :拉格朗日取得可行解的必要条件;

    (2) :这就是以上分析的一个比较有意思的约束,称作松弛互补条件;

    (3) ∼ (4) :初始的约束条件;

    (5) :不等式约束的 Lagrange Multiplier 需满足的条件

    (三)原最优化问题转对偶问题

    当满足KKT条件时,
    此时 f(x)与
     在这里插入图片描述
    是等价的。
    因此我们的目标函数可以写为:
    在这里插入图片描述
    如果用对偶表达式:
    在这里插入图片描述
    由于我们的优化是满足强对偶的(满足KKT条件),强对偶就是说对偶式子的最优值是等于原问题的最优值的,所以在取得最优值 x∗ 的条件下,它满足 在这里插入图片描述
    我们来看看中间两个式子发生了什么事情:
    在这里插入图片描述
    可以看到上式本质上是说
    在这里插入图片描述
    在 x∗ 取得了最小值,对于函数 f(x)+a⋅g(x)+b⋅h(x),求取导数要等于零,即
    在这里插入图片描述
    这就是KKT条件中第一个条件:
    在这里插入图片描述
    所有上述说明,满足强对偶条件的优化问题的最优值都必须满足KKT条件,也就是说当满足KKT条件时原始问题与其对偶问题具有相同的最优解。

    参考

    https://www.cnblogs.com/always-fight/p/9377554.html
    https://www.matongxue.com/madocs/939/
    https://www.cnblogs.com/ooon/p/5721119.html
    http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/DD3364/Lectures/KKT.pdf
    https://blog.csdn.net/dawnranger/article/details/53133450
    https://blog.csdn.net/qq_40036484/article/details/80457800

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  • Lagrange multipliers - 拉格朗日乘子法

    千次阅读 2017-08-27 23:14:43
    Lagrange multipliers - 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值方法。通过引入拉格朗日乘子,可将多约束的最优化问题转化为多变量的无约束优化问题求解。本文主要讲解其中的数学原理,...
  • 在最优化问题中,经常是会有约束条件的,而约束条件可分为...本文中,我们将分别看下等式约束和不等式约束下,拉格朗日乘子法和KKT条件的原理,以及如何去理解。 其实只要理解了等式约束条件下的拉格朗日乘子法,...
  • 拉格朗日乘子法和KKT条件解决的正是这么个问题。我们想知道在某个约束条件(山间小路)的限制下,所能达到的最值点(最大高度)。是一个限制条件下的最优化问题。 拉格朗日乘子法的应用十分广泛,它是SVM的理论基础...
  • 这一篇主要讲解了不等式约束下的凸优化问题,即广泛拉格朗日乘子法,为机器学习中的最优间隔分类器和SVM支持向量机算法做铺垫。
  • 最优化:拉格朗日乘子法

    千次阅读 2018-03-27 14:48:11
    最优化:拉格朗日乘子法作者:桂。时间:2017-03-27 20:26:17链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6628785.html 声明:欢迎被转载,不过记得注明出处哦~ 【读书笔记06】前言看到西蒙.赫金的《自适应滤波器...
  • 本文主要对拉格朗日乘子法进行总结,具体原理可以参考这两篇文章: 友情链接 1 友情链接 2 如果你对这篇文章可感兴趣,可以点击「【访客必读 - 指引页】一文囊括主页内所有高质量博客」,查看完整博客分类与对应...
  • 拉格朗日乘子法的分析基础篇

    千次阅读 2017-05-17 11:41:15
    拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)在在求取有约束条件的优化问题时使用的算法。约束条件又分为等式和不等式方法。这里只用等式方法作为例子分析算法的含义原理(自己理解的)。 首先看拉格朗日的计算式子:L(a,...
  • SVM支持向量机是目前非常好用的一种分类算法,但是其中的原理推导涉及了一些数学知识:例如其中在处理我们构建得到的数学模型时,最优化问题中就使用到了拉格朗日乘子法与KKT条件。 通常需要解决的优化问题有三类:...
  • [机器学习]QCQP 和 拉格朗日乘子法

    千次阅读 2017-12-01 19:57:29
    前言:面试被问到:QCQP问题如何求解,答:先转换成lagrange乘子法,被追问lagrange乘子法原理是什么?尴尬了,答不出...... 不懂处待续1. 如何理解lagrange乘子法下面2个解释相似,直观,均来自知乎 ...
  • 一、拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法是SVM参数优化的核心,它能够解决多个等式或不等式约束下的最优化问题。 例1,给定 x 1 − x 2 = 2 x_1-x_2=2 x 1 ​ − x 2 ​ = 2 ,如何寻找 x 1 2 + x 2 2 x_1^2+x_2^2 x ...
  • 第一类: 无约束最优化问题找到一个合适的x,是的f(x)最小: minxf(x) \min_x f(x) 没有任何约束的最优化问题,这个一般解法有 梯度下降、牛顿、拟牛顿等。第二类: 有等式约束的非线性minxf(x)subject to hi...
  • 拉格朗日乘子法(lagrange multipier) 即带有等式约束的优化问题,公式如下: 之后建立拉格朗日函数: λ即为拉格朗日乘子。之后将该函数分别对x,y,λ求偏导即可。现在我们试图阐明该方法的原理。 举...
  • SVM[sklearn.svm/SVC/SVR/拉格朗日乘子法]

    千次阅读 2018-09-21 19:07:27
    【关键词】支持向量,最大几何间隔,拉格朗日乘子法 一、支持向量机的原理 Support Vector Machine。支持向量机,其含义是通过支持向量运算的分类器。其中“机”的意思是机器,可以理解为分类器。 那么什么是支持...
  • 解密SVM系列(一):关于拉格朗日乘子法和KKT条件

    万次阅读 多人点赞 2015-08-17 18:53:39
    写在之前 支持向量机(SVM),一个神秘而众知的名字,在其出来就受到了莫大的追捧,号称最优秀的分类算法之一,以其...因为众人皆说原理复杂就对其原理却没怎么研究,最近经过一段时间的研究感觉其原理还是可以理解,这
  • 拉格朗日乘子

    2013-12-31 10:35:00
    然而,拉格朗日乘子法原理我却一直不是很清楚,这两天在网上查了资料,也说说我自己的理解,用一个例子来解释。 求解例题如下:  (1) 其中min表示求函数f(x,y)的最小值,后面的s.t.表示约束条件,即x,y满足...
  • 文章目录简介原理内容框架详细学习最优超平面支持向量线性可分定义最优化问题拉格朗日乘子法强对偶性线性不可分(部分)软间隔线性不可分(完全)核函数核函数的作用常见核函数优缺点 简介 原理 内容框架 详细...

空空如也

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