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  • 二阶常系数微分方程通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
    二阶常系数微分方程通解 (一.) 二阶常系数微分方程通解的组成: 其对应二阶常系数微分方程通解 + 二阶常系数微分方程的特解 (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解 形如:y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy&...

    二阶常系数微分方程的通解

    (一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成:

          其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解
    

    (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

    1. 形如:y+py+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

      Pm(x)m( P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。)

      y=Q(X)eαx构造:y*=Q_{(X)}e^{\alpha x}

              y=Q(X)eαx+αQ(X)eαx\Rightarrow y*'=Q_{(X)}'e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x},

                    y=Q(X)eαx+2αQ(X)eαx+α2Q(X)eαxy*''= Q_{(X)}''e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}'e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x}

                      y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}:

                      eαx[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx\Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x}

                          即,[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)[Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}

              讨论:
              (1) αr2+pr+q=0\alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解
             Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)=0由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (2)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根
             Q(X)+(2α+p)Q(X)=0由Q_{(X)}''+(2\alpha +p)Q_{(X)}'=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}'=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (3)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根
             Q(X)=0由Q_{(X)}''=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}''=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解

    解题步骤:

    1.) 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
    2.) 遇到形式为 y+py+qy=Pm(x)eαxy''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程, 构造y=Q(X)eαxy*=Q_{(X)}e^{\alpha x}
    3.) y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*', y*'' ,代入y''+py'+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简
    4.) 判断 α\alpha 是否为特征方程的根?单根?重根?
    5. )根据 α\alpha 确定所构造的多项式次数并求解。

    1. 形如:y+py+qy=[Pm(x)cosy''+py'+qy =[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

    【欧拉公式: eβxie^{\beta xi}=cosβ+isinβ\beta+isin\betaxx

              eβxie^{\beta xi}=cosβx+isinβ\beta x+isin\betaxx
              eβxie^{-\beta xi}=cosβxisinβx\beta x-isin\beta x

    \Rightarrow cosβ\beta x= eβxi+eβxi2\frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2}
          sin β\beta x= eβxieβxi2i\frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i}

    \therefore [Pm(x)cos[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x}
       
      =[Pm(x)2+Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      =[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      = Ps(x)e(α+βi)xP_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x} + Ps(x)\overline{P_{s(x)} }e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}                    (s=maxm,n)(其中s=max{m,n})

    Ps(x),Ps(x)P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} } 为共轭复多项式。】

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  • 下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程微分方程与特征方程当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程通解为:若为两个相同重根:若为共轭虚根:但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?...

    下面的微分方程,为二阶常系数齐次线性微分方程。微分方程与特征方程

    当特征方程的解为两个不同的实根时,微分方程的通解为:

    若为两个相同重根:

    若为共轭虚根:

    但这些都是怎么来的呢,为何要用特征方程来辅助研究呢?为了解决这一问题,我去图书馆查阅了一些电子资料才得知。

    对于齐次线性微分方程,形如下面:

    线性微分方程的解有无数个,但是它解的结构有点类似线性方程组,在无数个解当中有一组线性无关的解,找出他们就可以表示其他所有解。可是,怎么判断方程有几个线性无关的特解呢?这时候就需要特征方程来辅助了。特征方程中P(x)可看作一个常数

    这种微分方程的解具有什么样的结构,取决于它的系数函数P(x)和阶数。我们设计一个一元 n次方程,未知数最高次数对应微分方程的最高阶数,把微分方程的系数函数作为一元n次方程未知数的系数,这样,一元n次方程有几个解就能说明微分方程有几个线性无关特解。

    根据代数基本定理,复系数一元n(n>=1)次多项式在复数域至少有一个根,重根按重复次数计算(只有一个根说明有n个相同重根)。这就注定了特征方程一定有n个解,对应的n阶微分方程就有必n个线性无关特解。

    什么叫线性无关呢?按照我个人的理解,对于两个量来说,它们两个相除后,得数不是常数(成比例)就无关,对于多个量来说就是不能相互表示。

    打一个不太恰当的比方,七个葫芦娃个个本事都不一样,谁也无法替代谁,就算前六个葫芦娃联手也无法替代老七宝葫芦的重要作用。但是他们合体成葫芦小金刚就不一样了,如果把小金刚算作第八个葫芦娃,那么他们八个就线性相关了,因为小金刚会的技能无非就是前七个技能的组合,并没有多出来新技能,前七个葫芦娃就算不合体,相互配合打团战,也是可以打出小金刚一个人的作战效果的。总之,用数学化语言讲,葫芦小金刚是七个葫芦娃的线性表示(单从技能组合上来看)。

    在一组函数中,如果每一个函数都无法被其他函数表示,那么这一组就线性无关。线性无关

    那么对于二阶常系数齐次线性微分方程就更简单了。

    我们只需要找到两个无关的特解就可以线性表示所有的解。我观察后突然发现,二阶导、一阶导和原函数之间就差了个常数p和q,那得有一个函数求导后之和原来相差一个常数。学过的初等函数中只有自然函数e做底数的指数函数和常数函数。

    我们把候选函数代进方程里:结果就是特征方程

    所以λ取什么值完全要看特征方程的眼色,如果是两个不同实根,那两个无关特解就可以这样设:

    如果是两个相同重根,这样设:

    将y2代入微分方程后:

    若是两个共轭虚根:

    根据欧拉公式:

    可以将它变换:

    线性微分方程的解的结构和线性方程组类似,可进行类比。

    以前我学习微分方程都是直接背公式的,也不知道它是怎么来的,心里一直因为这个阴云不散,不管是做相关的题目还是解决力学上的微分方程,总是提笔忘式,我下定决心要弄清楚。我觉得,对一个知识一定要立体的,多方位的学习才能牢牢掌握。如果不是去探究微分方程通解的数学原理我可能都不知道欧拉公式能这么用,并且我也在探究的过程中享受到了“朝闻道夕死可矣”的快乐。

    下笔要想有神,必须要对自己的知识清清楚楚。

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  • 二阶常系数齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2018-03-25 17:13:57
    *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程的形式为: ay′′+by′+cy=0ay″+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0 由于是二阶线性微分方程,所以它有两个,记为y1、y2y1、y2y_1、y...

    *本文略去了很多证明,只记录结论
    *文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程

    二阶常系数齐次线性微分方程的形式为:
    ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay+by+cy=0
    由于是二阶线性微分方程,所以它有两个解,记为y1、y2y_1、y_2y1y2,若y1y2≠C\frac{y_1}{y_2} \neq Cy2y1̸=C(即两个解之比不为常数),则y1、y2y_1、y_2y1y2线性无关,那么微分方程的通解为:
    y=C1y1+C2y2y = C_1y_1 + C_2y_2y=C1y1+C2y2

    我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解:
    对于微分方程:ay′′+by′+cy=0ay'' + by' + cy = 0ay+by+cy=0

    它的特征方程为:ar2+br+c=0ar^2 + br + c = 0ar2+br+c=0(微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂)

    写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解:
    r1,2=−b±Δ2a,Δ=b2−4acr_{1, 2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \Delta = b^2 - 4acr1,2=2ab±ΔΔ=b24ac
    以下分情况讨论:
    ①当Δ>0\Delta > 0Δ>0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是两个不相等的实根r1=−b+Δ2a,r2=−b−Δ2ar_{1} = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},r_{2} = \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a}r1=2ab+Δr2=2abΔ

    微分方程的通解为:y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x
    ②当Δ=0\Delta = 0Δ=0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是两个相等的实根r1=r2=−b2ar_1 = r_2 = -\frac{b}{2a}r1=r2=2ab

    微分方程的通解为:y=C1er1x+C2xer2xy = C_1e^{r_1x} + C_2xe^{r_2x}y=C1er1x+C2xer2x
    ③当Δ&lt;0\Delta &lt; 0Δ<0时,r1、r2r_1、r_2r1r2是一对共轭复根r1=α+βi,r2=α−βir_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha - \beta ir1=α+βir2=αβi其中α=−b2a,β=−Δ2a\alpha = -\frac{b}{2a}, \beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}α=2abβ=2aΔ

    微分方程的通解为:y=eax(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{ax}(C_1\cos \beta x + C_2\sin \beta x)y=eax(C1cosβx+C2sinβx)

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  • (建议阅读原文)预备知识 二阶常系数齐次微分方程结论 在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数 , 就得到了二阶常系数非齐次微分方程 这就是二阶常系数非齐次微分方程.其为 其中 可以写成二阶行列式 其中 ...

    (建议阅读原文)

    预备知识 二阶常系数齐次微分方程结论
       在二阶常系数齐次微分方程的右端加上一个函数

    , 就得到了二阶常系数非齐次微分方程

    这就是二阶常系数非齐次微分方程.其解为

    其中
    可以写成二阶行列式

    其中
    都是
    的函数,后面的括号和自变量被省略.
    是对应齐次方程

    的两个线性无关的解. 应用推导
       下面介绍的方法叫常数变易法,其主要思想可参考一阶线性非齐次微分方程的通解
       设通解的形式为

    其中,
    也是关于
    的函数. 对该式两边求导,得

    为了接下来计算方便,我们规定
    满足关系1

    把式 7 代入式 6 , 得到

    继续对求导,得到

    把式 5 式 8 式 9 代回原方程式 1 得

    化简,得

    由于
    都是式 4 的解,式(9)化为

    总结一下,刚刚的推导说明,和在(5)的假设条件下,只要满足(10)即可满足(1)式.联立(5)和(10)式,得到关于
    的方程组

    解得

    其中

    对(13)的两条式子积分,即可得到

    (15)(16)代入(5)式,得到方程(1)的解为

    由于上式满足线性微分方程解的结构,所这已经是通解了.但是必须注意,根据常数变易法,我们只能在没有零点的区间内找到方程式 1 的通解.

    1. 这么规定会不会丢失一部分解呢?或许会,但是由于我们已经有了式 1 对应的齐次解

    , 根据线性微分方程解的结构(见同济大学的《高等数学》),只需要找到式 1 的任意一个解,就可以找到它的通解.
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  • 二阶常系数非齐次线性微分方程通解

    万次阅读 多人点赞 2019-06-03 21:13:20
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  • 二阶常系数线性微分方程

    千次阅读 2019-06-17 12:10:50
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