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  • 线性空间维数与基的求法.doc
    2021-04-23 12:11:54

    线性空间维数与基的求法,求子空间的基和维数,线性空间的维数,线性空间维数,向量空间的基与维数,什么叫线性的维数和秩,matlab求矩阵的维数,matlab求矩阵维数,基和维数,cao法求嵌入维数

    线性空间维数与基的求法

    王康

    (吕梁学院汾阳师范分校,山西吕梁,032200)

    摘要:线性空间作为高等代数中的一个重要概念,而线性空间的维数与基又是线性空间的一个基本属性,是我们认识线性空间的一个重要信息,二者必须深入理解。本文从数域对线性空间的各个方面的影响说明来它所起的作用,在此基础上探讨了求维数与基的一般方法和步骤。

    关键词:线性空间;数域;概念;维数与基的求法

    The Methods of the Radix and Extent Solving

    Wang Kang

    (The Math and Science Department of Lvliang College Fen Yang Teacher's school,ShanXi LvLiang,032200)

    Abstract: The linear space is an important concept of Advanced Algebra,the Radix and Extent is a basic attributes of Advanced Algebra. It is a important information to understand the linear space, They must understand. This paper,from the influence of all aspects,explain the role of number field to linear space,and then discusses the methods and steps of the Radix and Extent solving.

    Key words:Linear space;Number field;Concept;The methods of the Radix and Extent solving

    维数与基是线性空间的一个基本属性,它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。因为确定了维数和基以后线性空间上任意向量的坐标(即元数组)也就相应确定了,在学习了线性空间的同构的知识后会知道,任意维线性空间都与同构,这样,我们可以通过的性质来研究任意线性空间的性质。

    同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。但是,鉴于它是线性空间的一个基本概念,多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈,比如文献1例3更是一笔带过,这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。虽然它的求法没有统一的方法,但却有着一致的要求,即要符合定义。本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结,同时也是对《高等代数》例3的补充说明,希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

    数域上的线性空间——数域的作用和角色

    凡是涉及数与空间中向量(取自集合中的元素)的乘积,即通常所说的数量乘法,其中的数都是取自数域。例如:线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法,判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域的。同一线性空间指定数域的不同,通常对于我们的结果也会造成很大差别。

    1.数域对线性空间的线性变换判别的影响

    例1:把复数域看作复数域上的线性空间,

    解:举反例如下,系数取自复数域,

    ,而,显然,故变换不是线性的。

    例2:把复数域看作实数域上的线性空间,

    解:系数取自实数域,,

    ,容易验证也保持向量的加法,故是线性的。

    可见,同一线性空间的同一变换在不同数域上有些是线性的,有些不是线性的。

    2.数域对线性变换特征值及矩阵可否对角化的影响

    文献1中关于线性变换特征值的定义是要求符合等式中的是取自线性空间所依赖的数域的,也就是说线性空间的线性变换特征值的求解范围数域。进而,根据同一线性变换在不同基下矩阵相似的性质将任一矩阵对角化的时候,也就会产生不同的结果。

    例3:线性变换在某一组基下的矩阵为,易知它的特征多项式是,那么它在实数域和复数域上的解的情况是不一样的,在实数域上的特征值为,而在复数域上的特征值为。所以,矩阵在实数域上是无法相似于一个对角矩阵的,而在复数域上可以。

    3. 数域对一向量组线性相关性判别的影响

    一般我们判定一组向量的线性相关性,是根据向量方程

    的系数是否是全为零来判定的。而应该是在某一个特定数域内来求解的。比如在维数确定的问题上,我们通常的做法是这样的:先取一个非零向量,在此基础上再添加非零向量进行扩充,然后判断所得向量组是否线性无关,进而求得线性空间中的一极大无关组来确定维数。

    例4:分别在复数域上和实数域上考虑,任意两个非零复数和的线性相关性,当然这里的数组与是不能对应成比例的

    解:在复数域上求解向量方程,可以取,

    ,所以在复数域上两个非零复数和是线性相关的。

    而在实数域上求解的

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    本博文源于matlab实验,线性空间的维数n是指极大线性无关组的数量,而基就是指极大线性无关组。而正交化使用施密特正交化原理进行正交而matlab有相应的命令实现

    命令格式

    • rref求极大线性无关组数量
    [R,j]=rref(A)
    A是矩阵
    R是简化后的阶梯形
    j是主元
    
    • j所求出的主元就是线性空间的一个基
    • 然后对基采用orth正交

    例子:求下列向量组的维数和基并作正交化

    >> clear
    >> a1=[4 0 -2 -5 -1]';
    >> a2=[-5 -3 1 4 4]';
    >> a3=[-4 0 2 5 1]';
    >> a4=[-1 1 0 3 -1]';
    >> A=[a1 a2 a3 a4];
    >> A
    
    A =
    
         4    -5    -4    -1
         0    -3     0     1
        -2     1     2     0
        -5     4     5     3
        -1     4     1    -1
    
    >> [R,j]=rref(A);
    >> j
    
    j =
    
         1     2     4
    
    >> 
    

    可以看到1 2 4也就是维数是3,a1 a2 a4是向量组的一个基,那么对它做正交化就行了。

    
    >> P=orth([a1 a2 a4])
    
    P =
    
       -0.6244    0.0635    0.1390
       -0.2000    0.5856   -0.2373
        0.1932    0.0969   -0.8928
        0.6495    0.5240    0.3529
        0.3331   -0.6074   -0.0521
    
    

    通过代码会发现,正交的结果出来了。

    总结

    面对问题时首先需要给题目相相面,确定出这是哪类题目。然后在为题目相面的时候确定背后所谈的知识点。确定好了之后用相应的步骤进行拆解。对题目本身定义理解非常重要。

    展开全文
  • 线性空间的基和维数

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    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.一. 域F上线性空间...

    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.

    一. 域F上线性空间的定义及其简单性质

    定义1. 一个非空集合V,如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射),其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射),并满足下述8条运算法则

    1.

    2.

    3.V中有一个元素,记作0,它使得

    具有该性质的元素0称为V的零元;

    4.对于

    ,存在

    ,使得

    具有该性质的元素

    称为 V 的零元.

    5.

    其中 1 是 F 的单位元.

    6.

    7.

    8.

    那么称V是域F上的一个线性空间.

    从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质:

    性质1. V中的零元是唯一的.

    性质2. V中每个元素

    的负元是唯一的.

    性质3.

    性贾 4.

    性质 5.

    性质 6.

    二.向量集的线性相关与线性无关

    命题1. 在域F上的线性空间V中,如果向量组的一个部分组线性相关,那么这个向量组线性相关.

    命题2. 在域F上的线性空间V中,包含零向量的向量集是线性相关的.

    命题3. 在域F上的线性空间V中,元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.

    命题4. 在域F上的线性空间V中,设非零向量

    可以由向量集W线性表出,则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.

    命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组

    线性无关, 则向量

    可以由向量

    线性表出的充分必要条件为

    线性相关.

    三.基和维数

    定义2.设V是域F上的线性空间,V中的向量集S如果满足下述两个条件:

    1.向量集S是线性无关的;

    2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.

    定义3. 设V是域F上的线性空间,如果V有一个基是由有限多个向量组成,那么称V是有限维的;如果V有一个基含有无穷多个向量,那么称V是无限维的.

    定理1.如果域F上的线性空间V是有限维的,那么V的任意两个基所含向量的个数相等.

    推论1. 如果域F上的线性空间V是无限维的,那么V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    证明: 假如V有一个基为

    那么可知V的任意一个基都含有n个向量,这与V是无限维的线性空间相矛盾.因此V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    定义4.设V是域F上的线性空间,如果V是有限维的,那么把V的一个基所含向量个数称为V的维数,记作

    如果V是无限维的,那么记

    岩宝小提示:只含零向量的线性空间的维数为0.

    命题6. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n+1个向量都线性相关.

    命题7. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.

    命题8.设V是域F上的n维线性空间,如果V中的每一个向量都可以由向量组

    线性表出,那么

    是 V 的一个基.

    命题9.设V是域F上的n维线性空间,则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基.例1.(2003大连理工)设

    (1)证明:全体与 A 可交换的矩阵构成实数域上的线性空间,记为 C(A).

    (2)求C(A)的维数与基.

    证明 :(1)

    任意

    由于

    所以

    所以

    对任意的

    所以

    又因为矩阵都满足线性空间的运算律

    所以C(A)是R上的线性空间.

    (2)设

    且AB=BA,可得

    故可得

    为C(A)的一组基,从而

    岩宝小提示:当出现可交换矩阵的时候,一定要想到AB=BA.例2.(2004 大连理工)设 P 是数域,

    表示 P 上的所有3×3 矩阵的集合,对于矩阵的加法及数乘运算,

    是 P 上的线性空间,令

    求 V 的基.

    解:任取

    而 B 可由

    线性表示,而 c 的对角元满足

    其基础解系为

    故C可由

    线性表示,从而V的基为

    岩宝同步思考练习

    1.(2004 陕西师范大学)设

    矩阵,其中

    (1) 求 det(A).

    (2)设

    求 W 的维数及一组基.

    2.(2003武汉大学)设

    (1)求A的秩.

    (2)求A的零化子空间N(A)(即满足Ax=0的4维向量组成的子空间)的维数和一组基.

    3.(2005武汉大学)设A是元素全为1的n阶方阵. (1)求行列式|aE+bA|的值,其中a,b为实常数;

    (2) 已知 1< r(aE+bA)< n,试确定a,b所满足的条件,并求下列线性子空间的维数

    4.(2005浙江师范大学)如果齐次线性方程组

    的解空间W是3维的,试求a,b的值,并求W的一组基,解空间有可能为2维空间吗?

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  • 本系列文章由Titus_1996 原创,转载请注明出处。  ... 本系列文章使用的教材为《矩阵论》(第二版),杨明,刘先忠编,华中...在线性空间V中,若存在n个元素  α1,α2,......,αn 满足: α1,α2,........

    本系列文章由Titus_1996 原创,转载请注明出处。  

    文章链接:https://blog.csdn.net/Titus_1996/article/details/82835889

    本系列文章使用的教材为《矩阵论》(第二版),杨明,刘先忠编,华中科技大学出版社。


    基的定义

    在线性空间V中,若存在n个元素

        α1,α2,......,αn

    满足:

    1. α1,α2,......,αn线性无关

    2. V中任意元素α都可用α1,α2,......,αn线性表示。

    那么,α1,α2,......,αn就称为线性空间的一组基,n称为线性空间V的维数。

     

    其实线性空间的基,就是求V的极大无关组。其不是唯一的。因此,求基的步骤为:

    1. 求一组线性无关的向量组

    2. 证明此无关组是极大的,也就是可以线性表示V中任意一个元素。


    定理

    n维线性空间中,任意n个线性无关的向量构成的向量组,都是空间的基。


    坐标的定义

    在线性空间Vn(F)中,设{α1,α2,......,αn}是一组基,β为V中的一个元素,{α1,α2,......,αn,β}线性相关,故β可由α1,α2,......,αn唯一线性表示,因此有

    则称数x1,x2,......,xn是β在基{α1,α2,......,αn}下的坐标


    注意

    • 不论Vn(F)为什么具体的线性空间,只要取定了一组基,Vn(F)中向量在该基下的坐标都是线性空间Fn中的向量。由于这一特点,可以用数量矩阵和Rn中的向量来研究一般的线性空间中有关问题的基础。

    • 一般同一向量在不同基下的坐标是不同的。


    同构详细了解

    加法保持不变,数乘保持不变。

    坐标关系建立了Vn(F)和Fn的一一对应关系σ。σ满足

    由此,我们可以得出映射关系

    Vn,F,+,。)→(Fn,F,+,.

    线性空间→数域

     

    数域F上,任意一个n维线性空间Vn(F)都和n维线性空间Fn同构。

     

    这种同构关系给人们解决未知空间的问题提出了思想方法,可以利用已知的去推出未知。要做的事就是,人们期望的坐标确定了,是已知的,那么要取得什么样的坐标呢?这就要找到映射关系σ。有以下定理:

    基于Vn(F)和Fn这种一一对应的关系保持线性关系不变,如果不计较向量的具体形式,仅就线性关系而言,Vn(F)中的问题就可以转到熟悉的方法和已经建立的理论来解决了。

     

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