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  • 一元线性回归参数估计.ppt
  •   这篇文章详细推导了一元线性回归方程的参数解,供新手朋友参考。   假定一元线性回归方程的具体形式为 y=a+bx(1) y=a+bx \tag{1} y=a+bx(1) 现在,为确定参数a,ba,ba,b进行了nnn次观测,观测结果为: i123⋯...

      这篇文章详细推导了一元线性回归方程的参数解,供新手朋友参考。
      假定一元线性回归方程的具体形式为
    y = a + b x (1) y=a+bx \tag{1} y=a+bx(1)
    现在,为确定参数 a , b a,b a,b进行了 n n n次观测,观测结果为:
    i 1 2 3 ⋯ n x x 1 x 2 x 3 ⋯ x n y y 1 y 2 y 3 ⋯ y n \begin{array}{c|ccccc} i & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \cdots & \text{n} \\ \hline x & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n\\ y & y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n \\ \end{array} ixy1x1y12x2y23x3y3nxnyn
      参数估计即从这 n n n组数据中解出 a , b a,b a,b。由于观测不可避免的带有误差(观测仪器、人为或环境因素引起),故 n n n组方程
    { y 1 = a + b x 1 y 2 = a + b x 2 ⋮ y n = a + b x n (2) \left\{ \begin{array}{c} y_1=a+bx_1 \\ y_2=a+bx_2 \\ \vdots \\ y_n=a+bx_n \\ \end{array} \right. \tag{2} y1=a+bx1y2=a+bx2yn=a+bxn(2)
    不相容(为矛盾方程组)。为消除矛盾并确定 a , b a,b a,b的最佳估值,可采用最小二乘法来求解,目标函数为
    Q = ∑ i = 1 n ( y i − a − b x i ) 2 = m i n (3) Q=\sum_{i=1}^n \left ( y_i-a-bx_i \right ) ^2 = min \tag{3} Q=i=1n(yiabxi)2=min(3)
    由于 Q Q Q是关于 a , b a,b a,b的凸函数《南瓜书》),根据凸函数极值特性,可知在 ∂ Q ∂ a = 0 \frac{ \partial Q}{\partial a}=0 aQ=0 ∂ Q ∂ b = 0 \frac{ \partial Q}{\partial b}=0 bQ=0对应的 a , b a,b a,b处取得极小值(最小值)。
       Q Q Q关于 a , b a,b a,b的偏导数如下
    ∂ Q ∂ a = ∑ i = 1 n 2 ( y i − a − b x i ) ⋅ ( − 1 ) = 2 ∑ i = 1 n ( a + b x i − y i ) (4) \frac{\partial Q}{\partial a}=\sum_{i=1}^n 2 \left (y_i-a-bx_i \right )\cdot(-1) =2 \sum_{i=1}^n \left (a+bx_i-y_i \right ) \tag{4} aQ=i=1n2(yiabxi)(1)=2i=1n(a+bxiyi)(4)
    ∂ Q ∂ b = ∑ i = 1 n 2 ( y i − a − b x i ) ⋅ ( − x i ) = 2 ∑ i = 1 n x i ( a + b x i − y i ) (5) \frac{\partial Q}{\partial b}=\sum_{i=1}^n 2 \left (y_i-a-bx_i \right )\cdot(-x_i) =2 \sum_{i=1}^n x_i \left (a+bx_i-y_i \right ) \tag{5} bQ=i=1n2(yiabxi)(xi)=2i=1nxi(a+bxiyi)(5)
    当令 ( 4 ) = 0 (4)=0 (4)=0可得:
    ∑ i = 1 n ( a + b x i − y i ) = 0    ⟹    n a + b ∑ i = 1 n x i − ∑ i = 1 n y i = 0    ⟹    a = y ˉ − b x ˉ (6) \sum_{i=1}^n \left( a+bx_i-y_i \right)=0 \implies na+b\sum_{i=1}^nx_i- \sum_{i=1}^n y_i=0 \implies a=\bar{y}-b\bar{x} \tag{6} i=1n(a+bxiyi)=0na+bi=1nxii=1nyi=0a=yˉbxˉ(6)
    ( 5 ) = 0 (5)=0 (5)=0并代入式 ( 6 ) (6) (6)可得:
    ∑ i = 1 n x i ( a + b x i − y i ) = 0    ⟹    a ∑ i = 1 n x i + b ∑ i = 1 n x i 2 − ∑ i = 1 n x i y i = 0    ⟹    b = ∑ i = 1 n ( x i y i − y ˉ x i ) ∑ i = 1 n ( x i 2 − x ˉ x i ) (7) \sum_{i=1}^nx_i \left (a+bx_i-y_i \right )=0 \implies a\sum_{i=1}^n x_i +b\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_iy_i =0 \implies b=\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_iy_i- \bar{y}x_i \right)}{\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-\bar{x}x_i \right)} \tag{7} i=1nxi(a+bxiyi)=0ai=1nxi+bi=1nxi2i=1nxiyi=0b=i=1n(xi2xˉxi)i=1n(xiyiyˉxi)(7)
    再顾及
    ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) = ∑ i = 1 n ( x i y i − y ˉ x i ) a n d ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 − x ˉ x i ) \sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)=\sum_{i=1}^n \left(x_iy_i- \bar{y}x_i \right) and \sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2 =\sum_{i=1}^n \left( x_i^2-\bar{x}x_i \right) i=1n(xixˉ)(yiyˉ)=i=1n(xiyiyˉxi)andi=1n(xixˉ)2=i=1n(xi2xˉxi)
    则一元线性回归方程的参数解为
    b = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 (8) b=\frac{\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)}{\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2} \tag{8} b=i=1n(xixˉ)2i=1n(xixˉ)(yiyˉ)(8)
    a = y ˉ − b x ˉ (9) a=\bar{y}-b\bar{x} \tag{9} a=yˉbxˉ(9)
      以上。

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  • 一元线性回归中的参数估计.ppt )有利于他人下载,赚取更多积分
  • 线性回归: 本质:它是一种监督机器学习算法,其中预测输出是连续的,并且具有恒定的斜率。 它用于预测连续范围内的值(例如销售,价格),而不是试图将它们分类为类别(例如猫,狗)。 线性回归主要有两种类型:...

     

    目录

    1.回归分析前的两个必不可少的检验

    1.1自相关检验

    1.2多重共线性检验

    2.一元线性回归参数估计

    3.点估计和区间估计的差别

    4.计算回归系数——最简单的方法(无需得出参数推导式)

    4.1建立二元回归分析表

    4.2方程组法套路计算

    5.二次多项式曲线预测模型参数估计


    1.回归分析前的两个必不可少的检验


    1.1自相关检验

    自相关检验是多元回归和简单回归共同面临的问题。

    检查随机扰动项\mu_i之间是否满足独立的原假设,使用D-W检验指标,统计量在1.5-2.5之间,则不存在显著的自相关问题。

    若存在自相关问题,一般对所有原始数据进行差分消除它,即用每个数据的变化量代替原始变量,进行回归分析。

    1.2多重共线性检验

    仅仅是多元回归中的问题,由于各个自变量所提供的是各个不同因素的信息,可能变量之间存在信息的重叠,这样会导致建立错误的回归模型。

    检查自变量之间的相关性,任意两个自变量x,z之间的相关系数为:

                                                         $$r_{xz}=\frac{\sum(x-\bar x)(z-\bar z)} {\sqrt {\sum(x-\bar x)^2} \sqrt{\sum(z-\bar z)^2}}=\frac{\sigma_{xz}}{\sigma_x\sigma_z}$$

    x,z之间的相关系数越接近1,表明x,z之间越可能存在多重共线性。

     

    2.一元线性回归参数估计


    3.点估计和区间估计的差别


    点估计:自变量代入建立的一元线性回归模型。

    区间估计:带有精确度的估计,在一定概率保证程度下的区间估计方法。

    4.计算回归系数——最简单的方法(无需得出参数推导式)


    4.1建立二元回归分析表

     

    4.2方程组法套路计算

    解简单方程组就ok。

    5.附多项式曲线模型,与线性回归参数估计步骤相同

    5.1二次多项式曲线预测模型参数估计



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  • 一元线性回归总结

    2020-11-17 13:08:53
    一元线性回归 定义 一元线性回归是只有一个自变量(自变量x和因变量y)线性相关的方法。 回归 最早源于遗传学,由高尔顿引入: 观测1078对夫妇,研究父母身高(平均身高x)与子女身高(成年的身高)的遗传问题时,得到如下...

    一元线性回归

    定义

    一元线性回归是只有一个自变量(自变量x和因变量y)线性相关的方法。

    回归

    最早源于遗传学,由高尔顿引入:

    观测1078对夫妇,研究父母身高(平均身高x)与子女身高(成年的身高)的遗传问题时,得到如下回归方程
    y ^ = 33.73 + 0.516 x \hat{y}=33.73+0.516x y^=33.73+0.516x
    表明父母平均身高每增加一个单位,成年儿子增加0.516个单位,反之亦然。即子代的平均高度向中心回归了(33.73为中心值),也就是无限次迭代之后也不会出现为0的情况,而是33.73。说明了生物学中“种”的稳定性

    回归的现代解释:

    回归分析是研究某一变量(因变量)与另一个或多个变量(自变量、解释变量)之间的依存关系,用解释变量(自变量)的已知值或固定值来估计或预测因变量的总体平均值。

    人话:将已知的X带入回归模型,去预测未知Y的值。于是关键在于怎么设计回归模型。

    一元线性回归模型

    { y = β 0 + β 1 x + ϵ E ϵ = 0 , D ( ϵ ) = σ 2 \begin{cases} y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon \\ E\epsilon=0,D(\epsilon)=\sigma^2\end{cases} {y=β0+β1x+ϵEϵ=0,D(ϵ)=σ2

    β 0 + β 1 x \beta_0+\beta_1x β0+β1x:表述的是总体关系

    ϵ \epsilon ϵ:表述的是个体差异,且 ϵ − N ( μ , σ 2 ) \epsilon-N(\mu,\sigma^2) ϵN(μ,σ2)

    参数估计

    前面我们把回归模型建立起来了,但是参数并没有给定,所以这一步主要是确定回归模型里面的参数,学过机器学习的同学应该一眼就能看出来,梯度下降法的原理就是这个。

    模型目的

    预测出的 y ^ \hat{y} y^尽可能的接近真实值y,也就是预测误差尽可能的小。

    最小二乘法

    根据模型的目的,设计出一个损失函数,对预测过程中的损失进行量化。
    Q e = ∑ i = 1 n ( y − y ^ ) 2 = ∑ i = 1 n ( y − β 0 ^ − β 1 ^ x i ) 2 y : 样 本 值 y ^ = β 0 ^ + β 1 ^ x i : 预 测 值 Q_e=\sum_{i=1}^{n}(y-\hat{y})^2=\sum_{i=1}^{n}(y-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}x_i)^2\\ y:样本值\\ \hat{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x_i:预测值 Qe=i=1n(yy^)2=i=1n(yβ0^β1^xi)2y:y^=β0^+β1^xi:
    注:因为绝对值不好表示,所以通常我们使用平方进行计算,这里同样也是如此,而最小二乘法中的二乘也是来源于此

    此时,模型目的就转化为(3)式的最小值(此处也就是极值)。
    令 : { ∂ Q ∂ β 0 = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − β 0 ^ − β 1 ^ x i ) = 0 ∂ Q ∂ β 1 = − 2 ∑ i = 1 n x i ( y i − β 0 ^ − β 1 ^ x i ) = 0 令:\\ \begin{cases} \frac{\partial{Q}}{\partial{\beta_0}}=-2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}x_i) = 0\\ \frac{\partial{Q}}{\partial{\beta_1}}=-2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\hat{\beta_0}-\hat{\beta_1}x_i)=0\\ \end{cases} {β0Q=2i=1n(yiβ0^β1^xi)=0β1Q=2i=1nxi(yiβ0^β1^xi)=0
    于是可得:
    { n β 0 ^ + β 1 ^ ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n y i β 0 ^ ∑ i = 1 n x i + β 1 ^ ∑ i = 1 n x i 2 = ∑ i = 1 n x i y i \begin{cases} n\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\\ \hat{\beta_0}\sum_{i=1}^{n}x_i+\hat{\beta_1}\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \end{cases} {nβ0^+β1^i=1nxi=i=1nyiβ0^i=1nxi+β1^i=1nxi2=i=1nxiyi
    解得:
    { β ^ 1 = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 = L x y L x x β ^ 0 = y ˉ − β ^ 1 x ˉ \begin{cases} \hat{\beta}_1=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}{n}(x_i-\bar{x})^2}=\frac{L_{xy}}{L_{xx}}\\ \hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x} \end{cases} {β^1=i=1n(xixˉ)2i=1n(xixˉ)(yiyˉ)=LxxLxyβ^0=yˉβ^1xˉ
    由此,便求出对应的回归方程。


    补充一点:

    由(4)式中的1可知 ∑ i = 1 n ϵ = 0 \sum_{i=1}^{n}\epsilon=0 i=1nϵ=0,由此可得出 E ϵ = 0 E\epsilon=0 Eϵ=0,与(2)中的1式对应。

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  • 在博文《一元线性回归未知参数的点估计》中利用scipy.stats的linregress函数,计算了总体分布N(ax+b,σ2)N(ax+b, \sigma^2)N(ax+b,σ2)的未知参数aaa,bbb和σ2\sigma^2σ2的无偏估计a∧\stackrel{\wedge}{a}a∧,b...

    在博文《一元线性回归未知参数的点估计》中利用scipy.stats的linregress函数,计算了总体分布 N ( a x + b , σ 2 ) N(ax+b, \sigma^2) N(ax+b,σ2)的未知参数 a a a b b b σ 2 \sigma^2 σ2的无偏估计 a ∧ \stackrel{\wedge}{a} a b ∧ \stackrel{\wedge}{b} b σ 2 ∧ \stackrel{\wedge}{\sigma^2} σ2。由于 ( a ∧ − a ) n σ 2 ∧ ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 (\stackrel{\wedge}{a}-a)\sqrt{\frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} (aa)(n2)i=1n(xix)2nσ2 ~ t ( n − 2 ) t(n-2) t(n2) ( b ∧ − b ) σ 2 ∧ ∑ i = 1 n x i 2 ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 (\stackrel{\wedge}{b}-b)\sqrt{\frac{\stackrel{\wedge}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} (bb)(n2)i=1n(xix)2σ2i=1nxi2 ~ t ( n − 2 ) t(n-2) t(n2) n σ 2 ∧ σ 2 \frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{\sigma^2} σ2nσ2~ χ 2 ( n − 2 ) \chi^2(n-2) χ2(n2),故对 1 − α 1-\alpha 1α的置信水平, a a a b b b σ 2 \sigma^2 σ2的置信区间分别为
    ( a ∧ ± t α / 2 ( n − 2 ) n σ 2 ∧ ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 ) , ( b ∧ ± t α / 2 ( n − 2 ) σ 2 ∧ ∑ i = 1 n x i 2 ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 ) , ( n σ 2 ∧ χ α / 2 2 ( n − 2 ) , n σ 2 ∧ χ 1 − α / 2 2 ( n − 2 ) ) . \left(\stackrel{\wedge}{a}\pm t_{\alpha/2}(n-2)\sqrt{\frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}}\right),\\ \left(\stackrel{\wedge}{b}\pm t_{\alpha/2}(n-2)\sqrt{\frac{\stackrel{\wedge}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}}\right),\\ \left(\frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{\chi_{\alpha/2}^2(n-2)},\frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-2)}\right). a±tα/2(n2)(n2)i=1n(xix)2nσ2 ,b±tα/2(n2)(n2)i=1n(xix)2σ2i=1nxi2 ,χα/22(n2)nσ2,χ1α/22(n2)nσ2.
    我们已经知道linregress函数的返回值属性slope和intercept分别表示 a a a b b b的无偏估计, a ∧ \stackrel{\wedge}{a} a b ∧ \stackrel{\wedge}{b} b,利用属性stderr(表示 n σ 2 ∧ ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 \sqrt{\frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} (n2)i=1n(xix)2nσ2 )可算得 σ 2 \sigma^2 σ2的无偏估计 σ 2 ∧ \stackrel{\wedge}{\sigma^2} σ2,而这刚好是 a a a的置信区间增量因子。linregress函数的返回值属性intercept_stderr表示 b ∧ \stackrel{\wedge}{b} b的标准差 σ 2 ∑ i = 1 n x i 2 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 \sqrt{\frac{\sigma^2\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}{n\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} ni=1n(xix)2σ2i=1nxi2 的估计量 σ 2 ∧ ∑ i = 1 n x i 2 ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 \sqrt{\frac{\stackrel{\wedge}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} (n2)i=1n(xix)2σ2i=1nxi2 ,恰为 b b b的置信区间增量因子。而用 ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 (n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 (n2)i=1n(xix)2乘以stderr的平方,即得 σ 2 \sigma^2 σ2的置信区间上下限的分子 n σ 2 ∧ n\stackrel{\wedge}{\sigma^2} nσ2
    例1为研究某一化学反应过程中,温度 x x x(摄氏度)对产品得率 Y Y Y(%)的影响,测得数据如下
    温度 x : 100 , 110 , 120 , 130 , 140 , 150 , 160 , 170 , 180 , 200 得率 Y : 45 , 51 , 54 , 61 , 66 , 70 , 74 , 78 , 85 , 89 \text{温度}x:100,110,120,130,140,150,160,170,180,200\\ \text{得率}Y:45,51,54,61,66,70,74,78,85,89 温度x:100,110,120,130,140,150,160,170,180,200得率Y:45,51,54,61,66,70,74,78,85,89
    Y Y Y~ N ( a x + b , σ 2 ) N(ax+b, \sigma^2) N(ax+b,σ2),计算 a a a b b b σ 2 \sigma^2 σ2置信水平为 1 − α 1-\alpha 1α的置信区间。
    解: 下列代码完成本例计算。

    alpha=0.05
    x=np.array([100,110,120,130,140,150,160,170,180,190])
    y=np.array([45,51,54,61,66,70,74,78,85,89])
    n=x.size
    x_bar=x.mean()
    lxx=((x-x_bar)**2).sum()
    res=linregress(x, y)
    a=res.slope
    b=res.intercept
    s2=(res.stderr**2)*lxx*(n-2)/n
    print('a=%.3f,b=%.3f,s2=%.3f'%(a,b,s2))
    d=res.stderr
    (la, ra)=muBounds(a, d, 1-alpha, n-2)
    d=res.intercept_stderr
    (lb, rb)=muBounds(b, d, 1-alpha, n-2)
    d=n*s2
    (ls, rs)=sigma2Bounds(d, n-2, 1-alpha)
    print('(%.3f,%.3f)'%(la, ra))
    print('(%.3f,%.3f)'%(lb, rb))
    print('(%.3f,%.3f)'%(ls, rs))
    

    第6行计算 ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 \sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 i=1n(xix)2为lxx。第7行调用linregress,返回值为res。第8~10行分别计算 a a a b b b σ 2 \sigma^2 σ2的点估计值(参见博文《一元线性回归未知参数的点估计》)。第12行计算 a a a的置信区间增量因子 n σ 2 ∧ ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 \sqrt{\frac{n\stackrel{\wedge}{\sigma^2}}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} (n2)i=1n(xix)2nσ2 (即res的stderr字段)为d,第13行调用muBounds函数计算 a a a的双侧置信区间。相仿地,第14行计算 b b b的置信区间增量因子 σ 2 ∧ ∑ i = 1 n x i 2 ( n − 2 ) ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) 2 \sqrt{\frac{\stackrel{\wedge}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}{(n-2)\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}} (n2)i=1n(xix)2σ2i=1nxi2 (即res的intercept_stderr字段)为d,第15行计算 b b b的置信区间。第16行调用sigma2Bounds函数计算 σ 2 \sigma^2 σ2的置信区间上下限分子 n σ 2 ∧ n\stackrel{\wedge}{\sigma^2} nσ2为d,第17行计算 σ 2 \sigma^2 σ2的置信区间。运行程序,输出

    a=0.483,b=-2.739,s2=0.722
    (0.459,0.507)
    (-6.306,0.827)
    (0.412,3.314)
    

    表示 a a a b b b σ 2 \sigma^2 σ2的点估计值分别为0.483,-2.739和0.722,在0.95的置信水平下, a a a b b b σ 2 \sigma^2 σ2的置信区间分别为(0.459,0.507),(-6.306,0.827)和(0.412,3.314)。
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  • 一元线性回归

    千次阅读 2020-10-20 10:47:49
    一元线性回归 ...在一元线性回归模型y=wx+b中,x称为模型变量,w和b称为模型参数,其中w为权重,b为偏置值。 我们要解决的问题就是如何根据样本数据来确定模型参数,w和b呢, 假设有n组样本(x1x_1x1​,
  • 一元线性回归分析的R语言实现(RStudio)

    万次阅读 多人点赞 2019-11-09 19:43:13
    回归分析是一种应用广泛的数理统计方法,它是研究变量与变量之间的相关关系,这种关系大致分为两类:确定性关系(能用函数精确描述)和非确定性关系(不能用函数描述)。 变量间的非确定性关系称为相关关系。 在回归...
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  • 一元线性回归--R实现

    千次阅读 2018-12-23 22:20:59
    =0.05,自由度为13,查t分布表得到临界值为2.160,可知拒绝原假设,认为y对x的一元线性回归效果显著。    通过上面函数可以得到方差分析表,结果如下图所示。    ANOVA表示Analysis of Variance,即方差分析...
  • 一元线性回归方程C语言实现

    千次阅读 2020-01-11 12:21:25
    首先来看看如何求线性回归方程公式http://www.gaosan.com/gaokao/263926.html 第一:用所给样本求出两个相关变量的(算术)平均值 第二:分别计算分子和分母:(两个公式任选其一)分子 第三:计算b:b=分子/分母 ...
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  • 一元线性回归及Excel回归分析

    万次阅读 2019-06-08 19:26:54
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空空如也

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一元线性回归参数估计