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  • 7.10 平面向量内积的坐标表示 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。 2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及夹角公式,掌握平面两点间距离公式; 学习 目标 重点 难点 课型 学法 通过推导和题组训练,理解并掌握向量...

    7.10 平面向量内积的坐标表示 1、掌握用直角坐标计算向量的内积公式。 2、掌握向量长度、垂直的坐标表示及夹角公式,掌握平面两点间距离公式; 学习 目标 重点 难点 课型 学法 通过推导和题组训练,理解并掌握向量长度、垂直、夹角及距离公式。 能准确运用向量内积的坐标表示长度、垂直、夹角及距离公式等结论,解决有关问题。 新 课 启发式、练习法 达标过程 一、复习导入 1. (5,7) 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 ??? 二、新课学习 1、平面向量内积的坐标表示 如图, 是x轴上的单位向量, 是y轴上的单位向量, x y o B(b1,b2) A(a1,a2) 1 1 0 . . ; 下面研究怎样用 设两个非零向量 的坐标是(a1,a2), 的坐标是(b1,b2), 则 o x B(b1,b2) A(a1,a2) y 那么 x o (b1,b2) (a1,a2) y 根据平面向量内积的坐标表示,向量的内积的运算可转化为向量的坐标运算。 故两个向量的内积等于它们横坐标的乘积与纵坐标乘积之和。 热身 解: 探究新知 2、向量的长度和两点间的距离公式 3、两向量垂直 4、两向量夹角公式的坐标运算 收获到了 三、基本技能的形成与巩固 解: -15 5 不垂直 垂直 1.填空 抢答题 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),证明?ABC是直角三角形. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) x 0 y 注:两个向量的内积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线垂直等。 已知?ABC三个顶点坐标A( -1,2), B(3,1),C(2,-3), 求证:?ABC是等腰直角三角形. 小结 (1)掌握平面向量内积的坐标表示,即两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和; (2)要学会运用平面向量内积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题. 节清内容   课本P36     A组 1、2、3、5、7中任选一题, 4.       学习 要有竹子样的坚韧的品质

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  • 炫云:线性代数4——向量3... 图 1:式 2 记忆法 图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关, 即 .如果混合积的顺序取与箭头相反的方向, 根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘...

    炫云:线性代数4——向量3(叉积)

    炫云:线性代数3——向量2(点积)

    炫云:线性代数2——向量1(向量简介)

    预备知识 矢量的叉乘
       我们定义以下运算


    为矢量
    混合积. 混合积满足

    这个公式可由图 1记忆.

    ea5eaccdeb5017bdb2e8ecc220de77b9.png
    图 1:式 2 记忆法


       图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关, 即

    .如果混合积的顺序取与箭头相反的方向, 根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律). 式 2与式 3互为相反数

       注意即使将混合积省略括号记为
    或者
    也应该理解为先叉乘后内积.
    没有定义, 因为矢量不能叉乘标量.
    几何法证明

    7a96d24523a76d5e4528b432d6ffe9a8.png
    图 2:矢量混合积的几何意义


       如图 2, 以三个矢量为棱作平行六面体. 可知

    就是
    所在平行四边形的面积. 令
    , 则
    为平面的法向量, 平行六面体的高为
    , 所以平行六面体的体积等于底面积乘以高

    同理可得对于同一平行六面体

    这里只证明了式 2的绝对值, 要证明正负号, 定义
    为负值即可.

    代数法证明

    预备知识 行列式
       不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式


    而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明式 2.
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  • 文章目录一、CPU上实现向量内积二、GPU下单Block分散归约...向量内积运算在数学上的计算公式为 也就是A和B的向量长度相等,相同索引的元素相乘,然后将乘积结果累加,得到结果C 一、CPU上实现向量内积 #include <std

    博主CUDA学习系列汇总传送门(持续更新):编程语言|CUDA入门



    本文章为 《GPU编程与优化 大众高性能计算》的读书笔记,例子也都取自书中教程。


    向量内积运算中各元素的运算间存在简单联系,即需要累加所有元素乘积结果。
    向量内积结果的累加过程称为归约(reduction)
    向量内积运算在数学上的计算公式为
    在这里插入图片描述也就是A和B的向量长度相等,相同索引的元素相乘,然后将乘积结果累加,得到结果C


    一、CPU上实现向量内积

    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    /* 一、cpu 向量内积 */
    template <typename T>
    void dot_cpu(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        double dTemp = 0;
        for (int i=0; i<n; ++i)
        {
            dTemp += a[i] * b[i];
        }
        *c = dTemp;
    }
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        dot_cpu(a, b, &c, N);
        printf("a * b = %f\n", c);
        printf("hello world\n");
    }
    

    二、GPU下单Block分散归约向量内积

    1. 各线程独立完成所有向量元素的乘积运算,然后将乘积的结果累加到向量内积结果。
    2. thread是私有的,block内的threads要进行数据通信,必须使用共享内存或者全局内存。
    3. 共享内存的访存速度比全局快一个量级,所以我们这边采用共享内存。

    假设单Block 8 线程求内积, 0-7分别表示各线程内内积结果
    在这里插入图片描述该方法存在缺陷

    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    
    const int threadnum = 32;//开32个线程
    
    /* 二、单block 分散归约 */
    template <typename T>
    __global__ void dot_gpu_1(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        __shared__ T tmp[threadnum];
        const int nThreadIdX = threadIdx.x; //线程ID索引号
        const int nBlockDimX = blockDim.x; // 一个block内开启的线程总数
        int nTid = nThreadIdX;
        double dTemp = 0.0;
        while (nTid < n)
        {
            dTemp += a[nTid] * b[nTid];
            nTid += nBlockDimX;
        }
        tmp[nThreadIdX] = dTemp; // 将每个线程中的内积放入到共享内存中
        __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
    
        int i=2, j=1;
        while(i <= threadnum)
        {
            if (nThreadIdX%i == 0)
            {
                tmp[nThreadIdX] += tmp[nThreadIdX + j];
            }
            __syncthreads();
            i *= 2;
            j *= 2;
        }
        if (0 == nThreadIdX)
        {
            c[0] = tmp[0];
        }
    }
    
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL, *d_c = NULL;
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_a, a, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_b, b, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_c, sizeof(float));
        dot_gpu_1<<<1, threadnum>>>(d_a, d_b, d_c, N);
        cudaMemcpy(&c, d_c, sizeof(float), cudaMemcpyDeviceToHost);
            std::cout << c << std::endl;
        cudaFree(d_a);
        cudaFree(d_b);
        cudaFree(d_c);
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    三、单Block低线程归约向量内积

    在这里插入图片描述在归约时,访问共享存储区时,不同线程尽可能少的访问同一个bank中的数据地址。
    一块共享存储取中存在多个bank,访问共享内存中的数据时,尽可能离远点。
    在这里插入图片描述

    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    
    const int threadnum = 32;//开32个线程
    
    
    /* 三、单block 低线程归约向量内积*/
    template <typename T>
    __global__ void dot_gpu_2(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        __shared__ T tmp[threadnum];
        const int nThreadIdX = threadIdx.x; //线程ID索引号
        const int nBlockDimX = blockDim.x; // 一个block内开启的线程总数
        int nTid = nThreadIdX;
        double dTemp = 0.0;
        while (nTid < n)
        {
            dTemp += a[nTid] * b[nTid];
            nTid += nBlockDimX;
        }
        tmp[nThreadIdX] = dTemp; // 将每个线程中的内积放入到共享内存中
        __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
    
        int i = threadnum / 2;
        while(i != 0)
        {
            if (nThreadIdX < i)
            {
                tmp[nThreadIdX] += tmp[nThreadIdX + i];
            }
            __syncthreads();// 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
            i /= 2;
        }
        if (0 == nThreadIdX)
        {
            c[0] = tmp[0];
        }
    }
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL, *d_c = NULL;
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_a, a, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_b, b, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_c, sizeof(float));
        dot_gpu_2<<<1, threadnum>>>(d_a, d_b, d_c, N);
        cudaMemcpy(&c, d_c, sizeof(float), cudaMemcpyDeviceToHost);
            std::cout << c << std::endl;
        cudaFree(d_a);
        cudaFree(d_b);
        cudaFree(d_c);
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    四、多block向量内积

    只有一个block,显然无法发挥GPU的真实性能。
    这一节使用多block,block内部采用低线程归约的方法,每个block计算得到一个中间结果并组成一个数组,然后再将中间结果进行二次归约,二次归约可以在cpu上实现,也可以在Gpu上实现,这里只记录在cpu上实现的方法。

    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    
    const int nBlockNum = 16;//开32个block
    const int threadnum = 32;//开32个线程
    
    
    /* 三、单block 低线程归约向量内积*/
    
    /* 四、多block多线程向量内积 */
    template <typename T>
    __global__ void dot_gpu_3(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        __shared__ T aTmp[threadnum];
        const int nThreadIdX = threadIdx.x; //线程ID索引号
        const int nStep = gridDim.x * blockDim.x; // 跳步的步长,即所有线程的数量
        int nTidIdx = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x; // 当前线程在全局线程的索引
    
        double dTemp = 0.0;
        while (nTidIdx < n)
        {
            dTemp += a[nTidIdx] * b[nTidIdx];
            nTidIdx += nStep;
        }
        aTmp[nThreadIdX] = dTemp; // 将每个线程中的内积放入到对应block的共享内存中
        __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
    
        int i = threadnum / 2;
        while (i != 0)
        {
            if(nThreadIdX < i)
            {
                aTmp[nThreadIdX] += aTmp[nThreadIdX + i];
            }
            __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
            i /= 2;
        }
    
        if (0 == nThreadIdX)
        {
            c[blockIdx.x] = aTmp[0];
        }
    
    }
    
    int main()
    {
         float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL, *d_c = NULL;
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_a, a, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_b, b, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
    
        cudaMalloc(&d_c, sizeof(float) * nBlockNum);
        dot_gpu_3<<< nBlockNum, threadnum >>>(d_a, d_b, d_c, N);
        float c_tmp[nBlockNum];
        cudaMemcpy(&c_tmp, d_c, nBlockNum * sizeof(float), cudaMemcpyDeviceToHost);
        for (int i=0; i < nBlockNum; ++i)
        {
            c += c_tmp[i];
        }
     	cudaFree(d_a);
        cudaFree(d_b);
        cudaFree(d_c);
        std::cout << c << std::endl;
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    五、cublas库实现向量内积

    /* 五、cublas 实现向量内积 */
    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    #include "cublas_v2.h"
    #include "common.h"
    const int N = 2048;
    
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0.0;
        for(int i = 0; i < N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL;
    
        cublasHandle_t handle;
        cublasCreate_v2(&handle); // 创建句柄
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cublasSetVector(N, sizeof(float), a, 1, d_a, 1);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cublasSetVector(N, sizeof(float), b, 1, d_b, 1);
        
        CHECK(cublasSdot_v2(handle, N, d_a, 1, d_b, 1, &c));
    
      
        CHECK(cudaFree(d_a));
        CHECK(cudaFree(d_b));
        cublasDestroy(handle); // 销毁句柄
    
        printf("a * b = %f\n", c);
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    CHECK函数的定义如下

    #define CHECK(status)                                                                                                  \
        do                                                                                                                 \
        {                                                                                                                  \
            auto ret = (status);                                                                                           \
            if (ret != 0)                                                                                                  \
            {                                                                                                              \
                std::cout << "Cuda failure: " << ret << std::endl;                                                 \
                abort();                                                                                                   \
            }                                                                                                              \
        } while (0)
    
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  • 向量的叉乘运算法则为|向量c|...向量向量b=|a||b|cos在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来结果是一个向量,记这个向量...

    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    点乘和叉乘的区别

    点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

    向量a·向量b=|a||b|cos

    在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

    叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    物理学中的应用

    在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    将向量用坐标表示(三维向量),

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

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  • 向量的内外

    2019-11-21 20:06:51
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  • 向量的内积和外积

    2021-02-06 08:07:43
    2、内积的几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。 二、向量的外积和几何意义(叉乘) 两个向量的外积,又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个...
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    2020-09-07 09:43:14
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    2020-11-30 10:35:03
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  • 向量点乘(内积

    2019-11-11 20:51:20
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  • 向量点乘(内积)和叉乘(外积)

    千次阅读 2019-03-09 14:13:47
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  • 向量夹角的计算

    2020-05-07 16:05:05
    刚开始想到,就是内积公式 a⋅b=∣a∣∣b∣cosθa \cdot b = |a||b|cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 但是上面的公式有一个问题,因为θ\thetaθ定义域在[0,π][0,\pi][0,π]之间,所以计算的角度就有些问题。 当...
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  • 笛卡尔积的含义有 $N$ 个向量,按固定顺序从每个向量中取出一个元素排列成新的向量,所有新的向量的集合,就是这 $N$ 个向量的笛卡尔积。比如有三个向量 $A,B,C$:$A$$B$$C$$a_1$$b_1$$c_1$$a_2$$b_2$$c_2$$a_3$则 $...
  • 1.1 范数,内积

    千次阅读 2018-11-19 22:15:27
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空空如也

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向量内积的计算公式