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  • 总体标准差-样本标准差

    万次阅读 2019-03-19 15:18:46
    总体标准差和样本标准差公式: 解释: 1,求一组数据的标准差,该组数据就是总体,此时是求总体标准差,公式中分母为n; 2,总体太大或未知,只能每次抽取样本,此时是求样本标准差,分母为n-1。 图片来源:...

    总体标准差和样本标准差公式:

    解释:

    1,求一组数据的标准差,该组数据就是总体,此时是求总体标准差,公式中分母为n;

    2,总体太大或未知,只能每次抽取样本,此时是求样本标准差,分母为n-1。

     

    图片来源:https://www.cnblogs.com/webRobot/p/7722820.html

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  • 前言 最近做实验需要统计实验结果的均值,标准差,mark一下,方便查阅! 总体标准差 样本标准差 有的也叫无偏样本标准差,就是自由度为 n-1 代码 imimport numpy as np ...print("样本标准差:", np.std(...

    前言

    最近做实验需要统计实验结果的均值,标准差,mark一下,方便查阅!

    总体标准差

    在这里插入图片描述

    样本标准差

    有的也叫无偏样本标准差,就是自由度为 n-1
    在这里插入图片描述

    代码

    imimport numpy as np
    each_acc1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
    print("总体标准差:", np.std(each_acc1))
    print("样本标准差:", np.std(each_acc1, ddof=1))
    
    样本标准差: 3.0276503540974917
    总体标准差: 2.8722813232690143
    

    按列计算均值,总体标准差,样本标准差

    imimport numpy as np
    each_list = []
    each_acc1 = [1.0, 2.323, 3.323, 45.321321, 6.312, 6.312, 8.3123, 99.3232]
    each_acc2 = [0.99233, 2.3212, 3.323, 45.321321, 7.312, 7.312, 8.666, 100]
    each_acc3 = [1.32323, 1.32, 6.323, 35.321321, 8.312, 7.312, 8.7877, 100.0]
    each_list.append(each_acc1)
    each_list.append(each_acc2)
    each_list.append(each_acc3)
    a = np.array(each_list)
    print('原始数组:\n', a)
    print('每列均值:\n', a.mean(axis=0))
    print('每列总体标准差:\n', np.around(a.std(axis=0),decimals=2))
    print('每列样本标准差:\n', np.around(a.std(axis=0,ddof=1),decimals=2))
    
    原始数组:
     [[  1.         2.323      3.323     45.321321   6.312      6.312      8.3123    99.3232  ]
     [  0.99233    2.3212     3.323     45.321321   7.312      7.312      8.666    100.      ]
     [  1.32323    1.32       6.323     35.321321   8.312      7.312      8.7877   100.      ]]
    每列均值:
     [ 1.10518667  1.98806667  4.323      41.98798767  7.312       6.97866667  8.58866667 99.7744    ]
    每列总体标准差:
     [0.15 0.47 1.41 4.71 0.82 0.47 0.2  0.32]
    每列样本标准差值:
     [0.19 0.58 1.73 5.77 1.   0.58 0.25 0.39]
    
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  • 如何理解总体标准差、样本标准差与标准误 1 总体标准差 已知随机变量 XXX 的数学期望为 μ\muμ,标准差为 σ\sigmaσ,则其方差为: σ2=E[(X−μ)2] \sigma^2=E[(X-\mu)^2] σ2=E[(X−μ)2]此处 σ\sigmaσ 即为...

    如何理解总体标准差、样本标准差与标准误

    1 总体标准差

    已知随机变量 XX 的数学期望为 μ\mu,标准差为 σ\sigma,则其方差为:
    σ2=E[(Xμ)2] \sigma^2=E[(X-\mu)^2] 此处 σ\sigma 即为随机变量 XX总体标准差

    2 样本标准差

    上面的式子中,我们需要准确的了解随机变量 XX 的总体分布,从而可以计算出其总体的期望和标准差。

    但在一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试验是不可能的。因此,必须对总体进行抽样观察(采样)。由于我们是利用抽样来对总体的分布进行推断,所以抽样必须是随机的,抽样值 X1,X2,,Xn(X_1,X_2,\cdots,X_n) 应视为一组随机变量。由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体信息,必须考虑抽样方法。最常用的一种抽样方法叫作 “简单随机抽样”,得到的样本称为简单随机样本,它要求抽取的样本满足以下两点:

    • 代表性:X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 中每一个与所考察的总体有相同的分布;
    • 独立性:X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 是相互独立的随机变量。

    此外,满足以上两点要求的样本一般被称为 i.i.d.样本,即独立同分布(independent and identically distributed)样本。 在概率统计理论中,如果变量序列或者其他随机变量有相同的概率分布,并且互相独立,那么这些随机变量是独立同分布。 在西瓜书中的解释是:输入空间中的所有样本服从一个隐含未知的分布,训练数据所有样本都是独立地从这个分布上采样而得。

    所以在实践中采样得到i.i.d.样本之后,可以用样本方差 S2S^2 来近似总体方差 σ2\sigma^2:
    S2=1n1i=1n(XiX)2 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 其中,nn 为样本容量,X\overline{X} 为样本均值。

    上述公式的证明请参考: 为什么样本方差(sample variance)的分母是 n-1?

    3 标准误

    实例:已知某学校有初三学生共200名,这200名学生的平均身高为160cm.我们以这200名初三学生作为总体,欲通过抽样调查来了解所有初三学生的平均身高。现在假定我们共做了10次抽样,每次抽样量都是100人。此时我们可以分别计算出每次抽样样本的身高均数和标准差,可以得到10个均数和标准差。这里10个均数和标准差都是样本统计量,如果我们把10个样本的均数作为原始数据,然后计算这10个值的标准差,那么我们得到的指标就是标准误。

    即:标准误是样本统计量的标准差,它反映了每次抽样样本之间的差异。如果标准误较小,则说明多次重复抽样得到的统计量差别不大,提示抽样误差小;反之,如果标准误较大,则说明样本统计量之间差别较大,提示抽样误差较大。标准误和标准差的区别主要体现在以下几个方面:

    1. 标准误的英文是Standard Error,是一种误差;而标准差的英文是Standard Deviation,只是一种对均数的偏离而已。偏离和误差根本不是一个概念。
    2. 标准差只是一个描述性指标,只是描述原始数据的波动情况;而标准误是跟统计推断有关的指标。描述性指标和推断性指标根本不是一个层次上的概念。
    3. 它们针对计算的对象不同。标准差是根据某次抽样的原始数据计算的;而标准误是根据多次抽样的样本统计量(如均数、率等)计算的。理论上,计算标准差只需要一个样本,而计算标准误需要多个样本。

    尽管从理论上来讲,标准误的计算是通过多次抽样的多个样本统计量而获得的,但在实际中仅依靠一次抽样来计算标准误也是可行的。事实上,在绝大多数情况下,我们也别无选择,只能利用一次抽样数据来计算标准误。此时标准误的计算公式为:
    Se=Sn Se=\frac{S}{\sqrt{n}} 其中,s表示样本标准差,n为样本的例数。不难看出,样本例数越大,标准误越小,即抽样误差越小。
    上述公式可由中心极限定理证明得到。

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  • 假设总体数量为(m+n),其包含两个亚组(,),第一组的平均值和标准差分别为,第二组的平均值和标准差分别为,则总体的平均值和标准差是多少呢? 先给答案: , 平均值推导过程: 标准差推导过程: ...

    假设总体z_{1}...z_{m+n}数量为(m+n),其只包含两个亚组(x_{1}...x_{n}y_{1}...y_{m}),第一组x_{1}...x_{n}的平均值和标准差分别为\bar{x}\sigma_{x},第二组y_{1}...y_{m}的平均值和标准差分别为\bar{y}\sigma_{y},则总体的平均值\bar{z}和标准差\sigma_{z}是多少呢?

    先给答案:

    \bar{z}=\frac{n\bar{x}+m\bar{y}}{m+n}\sigma_{z}=\sqrt{\frac{n\sigma_{x}^{2}+m\sigma_{y}^{2}+\frac{mn(\bar{x}-\bar{y})^{2}}{m+n}}{m+n}}

    平均值推导过程:

    \bar{z}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i=1}^{m}y_{i}}{m+n}=\frac{n\bar{x}+m\bar{y}}{m+n}

    标准差推导过程:

    (m+n)\sigma_{z}^{2}=(x_{1}-\bar{z})^{2}+...+(x_{n}-\bar{z})^{2}+(y_{1}-\bar{z})^{2}+...+(y_{m}-\bar{z})^{2}

    (n)\sigma_{x}^{2}=(x_{1}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}

    (m)\sigma_{y}^{2}=(y_{1}-\bar{y})^{2}+...+(y_{m}-\bar{y})^{2}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(x_{1}-\bar{z})^{2}-(x_{1}-\bar{x})^{2}\}+...+\{(x_{n}-\bar{z})^{2}-(x_{n}-\bar{x})^{2}\}+\{(y_{1}-\bar{z})^{2}-(y_{1}-\bar{y})^{2}\}+...+\{(y_{m}-\bar{z})^{2}-(y_{m}-\bar{y})^{2}\}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(x_{1}-\bar{z}+x_{1}-\bar{x})(x_{1}-\bar{z}-x_{1}+\bar{x})\}+...+\{(x_{n}-\bar{z}+x_{n}-\bar{x})(x_{n}-\bar{z}-x_{n}+\bar{x})\}+\{(y_{1}-\bar{z}+y_{1}-\bar{y})(y_{1}-\bar{z}-y_{1}+\bar{y})\}+...+\{(y_{m}-\bar{z}+y_{m}-\bar{y})(y_{m}-\bar{z}-y_{m}+\bar{y})\}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\{(2x_{1}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+...+\{(2x_{n}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+\{(2y_{1}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}+...+\{(2y_{m}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\{(2x_{i}-\bar{z}-\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})\}+\sum_{i=1}^{m}\{(2y_{i}-\bar{z}-\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})\}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=(2n\bar{x}-n\bar{z}-n\bar{x})(\bar{x}-\bar{z})+(2m\bar{y}-m\bar{z}-m\bar{y})(\bar{y}-\bar{z})

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=(n\bar{x}-n\bar{z})(\bar{x}-\bar{z})+(m\bar{y}-m\bar{z})(\bar{y}-\bar{z})

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=n(\bar{x}-\bar{z})^{^{2}}+m(\bar{y}-\bar{z})^{^{2}}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=n(\frac{m\bar{x}+n\bar{x}-n\bar{x}-m\bar{y}}{m+n} )^{^{2}}+m(\frac{m\bar{y}+n\bar{y}-n\bar{x}-m\bar{y}}{m+n})^{^{2}}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=n(\frac{m\bar{x}-m\bar{y}}{m+n} )^{^{2}}+m(\frac{n\bar{y}-n\bar{x}}{m+n})^{^{2}}

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{m^{^{2}}n\bar{x}^{^{2}}-2m^{^{2}}n\bar{x}\bar{y}+m^{^{2}}n\bar{y}^{^{2}}+mn^{^{2}}\bar{y}^{^{2}}-2mn^{^{2}}\bar{x}\bar{y}+mn^{^{2}}\bar{x}^{^{2}}}{(m+n)^{^{2}} }

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{(m+n)mn\bar{x}^{^{2}}-(m+n)*2mn\bar{x}\bar{y}+(m+n)mn\bar{y}^{^{2}}}{(m+n)^{^{2}} }

    (m+n)\sigma_{z}^{2}-n\sigma_{x}^{2}-m\sigma_{y}^{2}=\frac{mn\bar{x}^{^{2}}-2mn\bar{x}\bar{y}+mn\bar{y}^{^{2}}}{m+n}

    \sigma_{z}=\sqrt{\frac{n\sigma_{x}^{2}+m\sigma_{y}^{2}+\frac{mn(\bar{x}-\bar{y})^{2}}{m+n}}{m+n}}

    以上为推导过程,如果问题,欢迎反馈。

     

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  • 样本标准差

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空空如也

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