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  • AOE网活动最早、最迟发生时间及关键路径问题

    万次阅读 多人点赞 2018-05-22 18:10:12
    上个学期学数据结构的时候有学到,这学期的离散数学又要考。。复习复习 ...在AOV的边上加上权值表示完成该活动所需的时间,则称这样的AOVAOE(Activity On Edge),如图:  如何求AOE网...

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    上个学期学数据结构的时候有学到,这学期的离散数学又要考。。复习复习

    有向图中,用顶点表示事件,用有向边表示活动之间开始的先后顺序,则称这种有向图为AOV(Activity On Vertex)网络;AOV网络可以反应任务完成的先后顺序(拓扑排序)。

    在AOV网的边上加上权值表示完成该活动所需的时间,则称这样的AOV网为AOE(Activity On Edge)网,如图: 

    如何求AOE网中各事件(节点)和各活动(边)的最早开始时间和最迟开始时间以及工程的关键路径?

    整个活动的完成时间是AOE图中从始点到终点的最长路径的长度,这条路径称为关键路径。关键路径上的活动称作关键活动。

    注意:关键路径不一定只有一条。

    1.最早发生时间:从前往后,前驱结点到当前结点所需时间,取最大值。

    如上图中的节点4有两个前驱结点(节点2和3),节点2到节点4的最早发生时间是a1+

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  • AOE网络的关键活动计算,进而得到关键路径

    原文链接:http://www.psme.foothill.edu/wp-content/uploads/2014/04/AOE-Network.pdf


    上面就是AOE网,边:Activity,顶点:Event




    简而言之,就是earliest time和latest time的定义,两者都是基于Activity的,就是字面意思,但是都是(最早/最晚)开始时间


    还定义了

    <span style="font-size:18px;">关键Activity</span>

    ,即earliest time == latest time的Activity




    对于Activity a_i,它对应的边是<k, l>,对于Event,我们再定义ee[k]是Event e_k的最早时间,le[l]是Event e_l的最晚时间,

    则可以这样计算e(i)和l(i),通过下面的公式:

    e(i) = ee[k] 且 l(i)=le[l] - DURATION(a_i)

    也就是:

    活动i的最早时间 = 头节点的最早时间;

    活动i的最晚时间 = 尾节点的最晚时间 - 活动i的持续时间;


    也就是将e(i)和l(i)转换到计算Event的ee值和le值上面去,这两个值就是最早时间和最晚时间,它们可以用“向前计算”+“向后计算”的两个步骤得到:

    “向前计算”阶段:首先我们能得到ee[0],从而计算后面节点的开始时间,使用下面的公式:

    ee[j] = max { ee[i] + DURATION(a<i,j>) }, 其中j节点是i节点的后继节点

    后继节点就是有边从i节点指向的节点,而且上面的公式对所有后继节点都适用。

    如果按照拓扑顺序,对于j节点的所有前驱节点,我们都要计算出来它们的最早时间,才能计算出来ee[j]

    而计算方式,就是从项目的开始节点start,逐步向后,使用上面的公式计算,注意公式当中的max规约


    不上代码了,代码对原始算法思想做了内存空间优化,也不上伪代码,受限制于Stack结构和节点的数据结构定义,我们用最简单的方法:

    1.将start节点加入集合S,ee(start)=xxx;

    2.对于集合外的节点,如果它的前驱节点全部在集合内,那么根据max规约,求出它的ee值,并放入集合S;

    3.重复上述步骤,直到所有节点都在集合S内;


    ee(finish)就是我们要求的critical path的长度;

    如果还是不懂,看下面的英文分析,尤其是后面那张表:






    “向前计算”结束了,开始“向后计算”:

    首先,“向后计算”的前提条件,不再是“所有前驱节点的ee值都已经算出”,而是“所有后继节点的le值都已经计算出”;

    算法:

    1.将finish节点加入集合S,le(finish) = ee(finish);

    2.对于集合外的节点,如果它的后继节点全部在集合内,那么根据min规约,求出它的le值,并放入集合S;

    3.重复上述步骤,直到所有节点都在集合S内;


    我们给出了表格:




    再根据规则:

    活动i的最早时间 = 头节点的最早时间;

    活动i的最晚时间 = 尾节点的最晚时间 - 活动i的持续时间;

    可以得到各个Activity的 最早/最晚时间,以及关键活动:







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  • 关键路径:最早开始时间 计算方式:每个节点找它到下个节点的最大路径 具有最大路径长度的路径为关键路径。因为你得保证每个人都到场才能去看电影嘛,那你肯定得等到最后一个人到了才能走。图中就是v...

    我们直接举例,假设你和朋友约好去看电影,V7是你们约定到达地点的时间,v1节点是大家一起从各自家里出发的时间,其中的v2,v3,v4,v5,v6是各自坐交通工具到达换乘地点的时间,其中边的权值为你需要花费的时间。

    我们假设走a1路线的小朋友叫大明,走a2的叫二明,走a3的叫三明。

    那其实就很好理解了。

     

    关键路径:最早开始时间

    计算方式:每个节点找它到下个节点的最大路径

    具有最大路径长度的路径为关键路径。因为你得保证每个人都到场才能去看电影嘛,那你肯定得等到最后一个人到了才能走。图中就是v1—v4—v5—v7最长。记录如下表格,其中各顶点的开始时间为最晚那个小朋友到达的时间。

    最晚开始时间

    计算方式:就是用上面表格的v7的数值减去各个与v7连接点的权值。以此类推。

    这个是什么意思呢,假设现在是中午十二点,由于大家之后经常一起看电影,三明对其它小伙伴的到达时间已经十分熟悉了,他就十分不爽,妈的老子走v1-v3-v6-v7这条路线,每次都是晚上九点到,白白在那等一个小时,不行,我要化身踩点侠,以后必不可能早出发。

    但是又要踩点到,由于三明很清楚自己要花多少时间到下一个换乘点,因此可以通过反推来算出自己该什么时候出发。(比如约好的是十点钟,那我从v6去v7只要四小时,那我六点到达v6岂不是就OK了,我真是个小天才,之后以此类推)

    假如用V1,V2作为表头记录的方式是记录我没最晚要几点到达换乘点的话,那当表头若由弧<vk,vj>表示,其实是记录的我们的出发时间。

     

    最早事件:(假设12点为0)

    计算方式:等于顶点的最早时间

    就是记录我们几点开始动身走这段路,当然,是选最长的比如a8的6是最大值,二明至少下午6点才能走到a8这条路上。

     

    最晚事件:

    计算方式:最晚时间的那个表格减去各个节点的权值,如a10=10-4

    来了,偷鸡的人又来了,三明说,我是踩点侠,那表格就变成这样。a3=1,因为他下午一点才出发,a10=6,正好下午六点踏上去集合目的地的路。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • AOE网活动和关键路径

    2011-07-04 20:36:05
    求出AOE网每个活动的最早开始时间和最迟开始时间;该工程完成的最早时间以及判断出那些是关键路径。
  • bool get_VeAndVl(void)///获取最早和最迟发生 { int i,j,k; if(!TopologicalSort())///判断是否合法 return false; //=======================最早发生 for(i=0;i=0;i--) { int now=sort_list[i]; int next_p; ...
    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstdlib>
    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #include <string>
    #include <vector>
    #include <queue>
    #include <sstream>
    #include <stack>
    #include <map>
    #include <ctime>
    #include <array>
    #include <set>
    #include <list>
    using namespace std;
    //边的定义
    template<class TypeOfEdge>
    struct Edge_pair
    {
    	int point = 0;
    	TypeOfEdge length = 0;
    	//=================
    };
    //顶点的定义
    template<class TypeOfVer, class TypeOfEdge>
    struct verNode
    {
    	TypeOfVer ver_data;
    	int V_E,V_L;
    	list<Edge_pair<TypeOfEdge> > group;
    	//构造函数,默认会讲头指针设为空.
    	verNode()
    	{
    		group.clear();
    		//ver_data = 0;
    	}
    	//取得结点值(顶点) 估计是为了安全吧???
    	TypeOfVer getVer()
    	{
    		return ver_data;
    	}
    	//取得对应的边表
    	list<Edge_pair<TypeOfEdge> > getHead()
    	{
    		return group;
    	}
    	//设置结点值(顶点集) 估计是为了安全吧???
    	void setdata(TypeOfVer value)
    	{
    		ver_data = value;
    		return;
    	}
    	//=====================================================
    
    	void creat_Point(int new_point, TypeOfEdge new_length)
    	{
    		Edge_pair<TypeOfEdge> Next_p;
    		Next_p.point = new_point;
    		Next_p.length = new_length;
    		group.insert(group.begin(), Next_p);
    		return;
    	}
    	//删除指定位置顶点
    	void del_Point(int n)
    	{
    
    		return;
    	}
    };
    
    template <class TypeOfVer, class TypeOfEdge>//顶点元素类型,边权值类型
    class adjlist_graph {
    private:
    	int Vers;//顶点数
    	int Edges;//边数
    	vector<verNode<TypeOfVer, TypeOfEdge> >ver;//顶点存储
    	string GraphKind;//图的种类标志
    	bool have_dir = false, have_w = false;//图类型参数
    
    public:
    	//一个空的构造函数
    	adjlist_graph()
    	{
    		Edges = 0;
    		Vers = 0;
    	}
    	//假的析构函数
    	~adjlist_graph()
    	{
    		;//你电脑内存就640K吗?
    	}
    	//判断图空否
    	bool GraphisEmpty()
    	{
    		return Vers == 0;
    	}
    	//获取图的类型
    	string GetGraphKind()
    	{
    		return GraphKind;
    	}
    	//取得当前顶点数
    	int GetVerNum()
    	{
    		return Vers;
    	}
    	//取得当前边数
    	int GetEdgeNum()
    	{
    		return Edges;
    	}
    	//自动建立临接表
    	bool Auto_build(void)
    	{
    		//DG(有向图), DN(有向网), UDG(无向图), UDN(无向网)
    		/*第一行:图的类型  DN UDN
    		第二行:结点数
    		第三行:结点集
    		第四行:无边标记
    		第五行:边数
    		第六行:边集
    		第七行:权集*/
    
    		/*第一行:图的类型  DG UDG
    		第二行:结点数
    		第三行:结点集
    		第四行:边数
    		第五行:边集*/
    		cin >> GraphKind;//图的类型
    		cin >> Vers;//结点数
    		ver.resize(Vers);//开辟节点空间
    		for (int i = 0; i < Vers; i++)//结点集
    		{
    			TypeOfVer now;
    			cin >> now;
    			ver[i].setdata(now);
    		}
    
    
    		cin >> Edges;//边数
    		vector<int> x_p, y_p, w_p;
    		for (int i = 0; i < Edges; i++)
    		{
    			int c_x, c_y;
    			cin >> c_x >> c_y;
    			x_p.push_back(c_x);
    			y_p.push_back(c_y);
    		}
    		//图的类型识别
    
    		if (GraphKind == "DG")//DG(有向图)
    			have_dir = true, have_w = false;
    		if (GraphKind == "DN")//DN(有向网)
    			have_dir = true, have_w = true;
    		if (GraphKind == "UDG")//UDG(无向图)
    			have_dir = false, have_w = false;
    		if (GraphKind == "UDN")//UDN(无向网)
    			have_dir = false, have_w = true;
    
    		if (have_w)
    			for (int i = 0; i < Edges; i++)
    			{
    				int c_w;
    				cin >> c_w;
    				w_p.push_back(c_w);
    			}
    
    
    		for (int i = 0; i < Edges; i++)
    		{
    			if (have_dir)
    				if (have_w)
    					ver[x_p[i]].creat_Point(y_p[i], w_p[i]);
    				else
    					ver[x_p[i]].creat_Point(y_p[i], 0);
    			else
    				if (have_w)
    					ver[x_p[i]].creat_Point(y_p[i], w_p[i]), ver[y_p[i]].creat_Point(x_p[i], w_p[i]);
    				else
    					ver[x_p[i]].creat_Point(y_p[i], 0), ver[y_p[i]].creat_Point(x_p[i], 0);
    		}
    		return 1;
    	}
    	//取得G顶点的组
    	vector<TypeOfVer> GetVer(void)
    	{
    		vector<TypeOfVer> head_group;
    		for (int i = 0; i < Vers; i++)
    		{
    			head_group.push_back(ver[i].getVer());
    		}
    		return head_group;
    	}
    	//输出邻接表
    	bool Print_photo()
    	{
    		int i;
    		for (i = 0; i < Vers; i++)
    		{
    			cout << ver[i].getVer();
    			if (ver[i].group.size() != 0)
    				cout << "->";
    			else
    			{
    				cout << endl;
    				continue;
    			}
    			vector<Edge_pair<TypeOfEdge> > out_lis;
    			out_lis.clear();
    			for (auto j = ver[i].group.begin(); j != ver[i].group.end(); j++)
    			{
    				out_lis.push_back(*j);
    			}
    			int j;
    			for (j = 0; j < out_lis.size() - 1; j++)
    				if (have_w)
    					cout << out_lis[j].point << "(" << out_lis[j].length << ")" << "->";
    				else
    					cout << out_lis[j].point << "->";
    			if (have_w)
    				cout << out_lis[j].point << "(" << out_lis[j].length << ")" << endl;
    			else
    				cout << out_lis[j].point << endl;
    		}
    		return 1;
    	}
    	//返回G中指定顶点u的第一个邻接顶点的位序(顶点集)。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回-1
    	int GetFirst_AdjVex(int u)
    	{
    		if(ver[u].group.empty())
    			return -1;
    		return ver[u].group.begin()->point;
    	}
    	//返回G中指定顶点u的下一个邻接顶点(相对于v)的位序(顶点集)。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回false
    	int GetNext_AdjVex(int u, int v)
    	{
    		if (ver[u].group.size() == 1)
    			return -1;
    		for (auto i = ver[u].group.begin(); i != ver[u].group.end(); i++)
    		{
    			if (i->point == v)
    			{
    				if ((++i) == ver[u].group.end())
    					return -1;
    				return i->point;
    			}
    		}
    		return -1;
    	}
    
    	//是否存在边
    	bool look_Edge(int u, int v)
    	{
    		if (!(0 <= u && u < Vers))
    			return false;
    		if (!(0 <= v && v < Vers))
    			return false;
    		if (u == v)
    			return false;
    		for (auto i = ver[u].group.begin(); i != ver[u].group.end(); i++)
    		{
    			if (i->point == v)
    				return true;
    		}
    		for (auto i = ver[v].group.begin(); i != ver[v].group.end(); i++)
    		{
    			if (i->point == u)
    				return true;
    		}
    		return false;
    	}
    	//两个顶点之间的边的权值 失败返回-1
    	int Get_legthOfEdge(int u, int v)
    	{
    		if (!have_w)
    			return -1;
    		if (!(0 <= u && u < Vers))
    			return -1;
    		if (!(0 <= v && v < Vers))
    			return -1;
    		if (u == v)
    			return -1;
    		for (auto i = ver[u].group.begin(); i != ver[u].group.end(); i++)
    		{
    			if (i->point == v)
    				return i->length;
    		}
    		return -1;
    	}
    	//获取一个顶点的入度
    	int Search_enterDegree(int p)
    	{
    		if (!(0 <= p && p < Vers))
    			return -1;
    		if (!have_dir)//is 无向图
    			return ver[p].group.size();
    		int cnt = 0;
    		for (int i = 0; i < Vers; i++)
    		{
    			if(i!=p)
    				for (auto j = ver[i].group.begin(); j != ver[i].group.end(); j++)
    				{
    					if (j->point == p)
    						cnt++;
    				}
    		}
    		//cnt += ver[p].group.size();
    		return cnt;
    	}
    	//拓扑排序并判断有无回路 0 有 1 无
    	vector<int> sort_list;//the way of sort
    	bool TopologicalSort(void)
    	{
    		if (Edges == 0)
    			return 0;
    		int i, j;
    		//将各个顶点的入度存在indegree
    		vector<int> indegree;
    		indegree.clear();
    		//------
    		for (i = 0; i < Vers; i++)
    			indegree.push_back(Search_enterDegree(i));
    		//------
    		//入度为0,进栈。
    		queue<int> S;
    		//------
    		for (i = 0; i < indegree.size(); i++)
    			if (indegree[i] == 0)
    				S.push(i);
    		//------
    
    		//BFS
    		while (!S.empty())
    		{
    			int now;
    			now = S.front();
    			S.pop();
    			sort_list.push_back(now);
    			int next_p;
    			next_p = GetFirst_AdjVex(now);//获取now的第一个相邻的点
    			while (next_p != -1)
    			{
    				--indegree[next_p];
    				if (indegree[next_p] == 0)
    					S.push(next_p);
    				/*if (indegree[next_p] == -1)
    					S.push(next_p);*/
    				next_p = GetNext_AdjVex(now, next_p);
    			}
    		}
    		if (sort_list.size() == 0)
    			return 0;
    		//------
    		//for (i = 0; i < sort_list.size() - 1; i++)
    		//	cout << ver[sort_list[i]].ver_data << "->";
    		//cout << ver[sort_list[i]].ver_data << endl;
    		//------
    		if (sort_list.size() < Vers)
    			return 0;
    		return 1;
    	}
    	///==============
    	//get the V_E and V_L;
        bool get_VeAndVl(void)///获取最早和最迟发生
        {
            int i,j,k;
            if(!TopologicalSort())///判断是否合法
                return false;
            //=======================最早发生
            for(i=0;i<Vers;i++)
                ver[i].V_E=0;
            for(i=0;i<Vers;i++)
            {
                int now=sort_list[i];
                int next_p;
    			next_p = GetFirst_AdjVex(now);
                while (next_p != -1)
    			{
    			    ///获取一个最大值
    				ver[next_p].V_E=max(ver[next_p].V_E,ver[now].V_E+Get_legthOfEdge(now,next_p));
    				next_p = GetNext_AdjVex(now, next_p);
    			}
            }
            ///=============最迟发生
            for(i=0;i<Vers;i++)
                ver[i].V_L=ver[Vers-1].V_E;
            //---
            for(i=Vers-1;i>=0;i--)
            {
                int now=sort_list[i];
                int next_p;
    			next_p = GetFirst_AdjVex(now);
                while (next_p != -1)
    			{
    			    ///获取一个最大值
    				ver[now].V_L=min(ver[now].V_L,ver[next_p].V_L-Get_legthOfEdge(now,next_p));
    				//-----
    				next_p = GetNext_AdjVex(now, next_p);
    			}
            }
            ///out put=======================
            for(i=0;i<Vers;i++)
                cout<<ver[i].ver_data<<"\t"<<ver[i].V_E<<"\t"<<ver[i].V_L<<endl;
            return true;
        }
        struct pairOf_Edge{
        int x,y;
        int E,L;
        };
        vector<pairOf_Edge> open_way;
        bool get_EandL(void)///获取最早和最迟发生
        {
            int i;
            for(i=0;i<Vers;i++)
            {
                int next_p;
    			next_p = GetFirst_AdjVex(i);
                while (next_p != -1)
    			{
    			    ///获取一个最大值
    			    pairOf_Edge the_new;
    			    the_new.x=i;
    			    the_new.y=next_p;
                    the_new.E=ver[i].V_E;
                    the_new.L=ver[next_p].V_L-Get_legthOfEdge(i,next_p);
    				open_way.push_back(the_new);///存储起来
    				//-----
    				next_p = GetNext_AdjVex(i, next_p);
    			}
            }
            for(i=0;i<open_way.size();i++)
            {
                cout<<"<"<<ver[open_way[i].x].ver_data<<",";
                cout<<ver[open_way[i].y].ver_data<<">\t";
                cout<<open_way[i].E<<"\t"<<open_way[i].L<<endl;
            }
            cout<<endl;
            return true;
        }
    };
    
    
    int main()
    {
    	int i;
    	adjlist_graph<string, int> a;
    	a.Auto_build();/*
    	int u, v;
    	cin >> u >> v;*/
    	/*int p;
    	cin >> p;*/
    	//cout << a.GetGraphKind() << endl;
    	vector <string> ans;
    	ans = a.GetVer();
    	for (i = 0; i < ans.size() - 1; i++)
    		cout << ans[i] << " ";
    	cout << ans[i] << endl;
    	//cout << endl;
    	//cout << a.GetVerNum() << endl;
    	//cout << a.GetEdgeNum() << endl;
    	a.Print_photo();
    
    	cout << endl;
    	if (a.get_VeAndVl())
        {
            cout<<endl;
            a.get_EandL();
        }
    	else
    		;
    
    	return 0;
    }
    

    展开全文
  • 软件设计师--最早开始时间和最晚开始时间

    万次阅读 多人点赞 2018-04-20 18:03:53
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  • 活动网络——AOE网络

    2017-02-16 17:42:45
    AOE网络 关键路径
  • AOE网

    2020-05-29 09:44:54
    e(i)表示一个活动最早开始时间, l(i)表示一个活动的最晚开始时间. Ve(i)表示一个事件的最早开始时间, Vl(i)表示一个事件的最晚发生时间. 源点事件的最早发生时间为0; 汇点事件的最早发生时间 == 最晚发生时间; ...
  • 首先推荐有个b站视频,讲关键路径讲的非常好,20min可搞懂:...活动最早开始时间和最晚开始时间活动的总浮动和自由浮动时间。 找到图的关键路径属于项目管理的范围,应由项目经理严格
  • AOE网络

    2017-12-25 09:55:09
    AOE网络(Activity On Edges)
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  • C++ AOE网络

    2019-04-03 22:19:52
    (1)求事件Vi的最早可能开始时间是从源点V0到顶点Vi的最长路径长度。 如V0=0, V1=6,V2=4,V3=5;V4事件要等V1和V2事件完成后才可以进行,所以要取事件用的最长的时间,即V4=6+1=7,同样道理得出其他时间。 (2)...
  • AOV网络和AOE网络

    千次阅读 2018-12-02 22:41:29
    活动网络可分为两种:AOV网络和AOE网络 AOV网络(Activity On Vertices):在有向图中,用顶点表示活动,用有向边u-&gt;v来表示活动u必须先于活动v进行 AOE网络(Activity on edge network):若在带权的有向...
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    2019-03-26 21:43:52
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  • 这篇文章通过求aoe最早开始时间以及最迟开始时间来求关键路径 在求之前需要把图放到一个邻接链表之中 关键路径 关键路径是指设计中从输入到输出经过的延时最长的逻辑路径。优化关键路径是一种提高设计工作速度的...
  • 选择题快速求解AOE网的关键路径

    千次阅读 多人点赞 2020-11-28 12:12:26
    求解AOE网关键路径时,书上的方法为先从源点到汇点求解事件最早发生时间ve,再从汇点到源点求解事件最迟发生时间vl,再利用ve和vl求解每个活动最早开始时间e(i)和最迟开始时间l(i),e(i)和l(i)相等的活动则为关键...
  • 数据结构AOE网

    2020-06-21 14:40:00
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  • AOE网与关键路径

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空空如也

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