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  • 2.若矩阵第一行不全为0)\(A = \begin{bmatrix}0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\-a_{12} & & & \\\vdots & & B & \\-a_{1n} & & & \\\end{bmatri...

    2.若矩阵A的第一行不全为0)

    \(A = \begin{bmatrix}

    0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

    -a_{12} & & & \\

    \vdots & & B & \\

    -a_{1n} & & & \\

    \end{bmatrix}\)

    不妨设\(a_{12} \not= 0\),可对A实施初等变换如下:

    \(A_2=Q_2^TAQ_2 =

    \begin{bmatrix}

    a_{12}^{-1} & & & \\

    & 1 & & \\

    & & \ddots & \\

    & & & 1 \\

    \end{bmatrix}

    \begin{bmatrix}

    0 & a_{12} & \dots & a_{1n} \\

    -a_{12} & & & \\

    \vdots & & B & \\

    -a_{1n} & & & \\

    \end{bmatrix}

    \begin{bmatrix}

    a_{12}^{-1} & & & \\

    & 1 & & \\

    & & \ddots & \\

    & & & 1 \\

    \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & \dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \\

    -1 & & & \\

    \vdots & & B_2 & \\

    -a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \\

    \end{bmatrix}\)

    再取\(Q_j = \begin{bmatrix}

    1 & & & & & \\

    & 1 & \dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & \dots & 0 \\

    & & \ddots & & & \\

    & & & 1 & & \\

    & & & & \ddots & \\

    & & & & & 1 \\

    \end{bmatrix} \qquad s.t. 3 \leq j \leq n\)

    可得\(A_n = Q_n^T \dots Q_3^TA_2Q_3 \dots Q_n = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & \\

    -1 & 0 & \\

    & & B_n \\

    \end{bmatrix}\)

    由于所作为对称式的变换,所以B_n依旧为反对称矩阵,所以存在n-2阶可逆矩阵S使得\(S^TBS = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & & & & & & \\

    -1 & 0 & & & & & & \\

    & & \ddots & & & & & \\

    & & & 0 & 1 & & & \\

    & & & -1 & 0 & & & \\

    & & & & & 0 & & \\

    & & & & & & \ddots & \\

    & & & & & & & 0 \\

    \end{bmatrix}\)

    令\(Q = Q_2 \dots Q_n\)且\(S' = \begin{bmatrix}

    I_2 & 0 \\

    0 & S \\

    \end{bmatrix}\),此处\(I_2\)为2阶单位矩阵

    则有\(Q^TS^TASQ = \begin{bmatrix}

    0 & 1 & & & & & & \\

    -1 & 0 & & & & & & \\

    & & \ddots & & & & & \\

    & & & 0 & 1 & & & \\

    & & & -1 & 0 & & & \\

    & & & & & 0 & & \\

    & & & & & & \ddots & \\

    & & & & & & & 0 \\

    \end{bmatrix}\)

    所以A是D的合同矩阵。

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  • 摘要:本节我们来介绍一下实反对称矩阵,我们平时常见的是实对称矩阵,那么对于反对称矩阵的性质还是了解的比较少的,那么本节岩宝就给大家总结一些实反对称矩阵的性质.如果A是一个反对称矩阵,则对任意的列向量X有,...

    当公式或文字展 示不完全时,记得向左←滑动哦!

    摘要:本节我们来介绍一下实反对称矩阵,我们平时常见的是实对称矩阵,那么对于反对称矩阵的性质还是了解的比较少的,那么本节岩宝就给大家总结一些实反对称矩阵的性质.

    如果A是一个反对称矩阵,则对任意的列向量X有,当A是实反对称矩阵时,A的特征值为零或者纯虚数,且虚特征值成对存在;所以奇数级实反对称矩阵一定以0为特征值,即奇数级,实反对称矩阵行列式必然为0.

    例1.实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.

    证明:我们不妨设实对称矩阵A的特征值为,对应的特征向量为,使得

    我们给上式两端同时乘,使得

    因为,

    所以,

    因为A实反对称,所以有

    我们对于两边同时取共轭转置,可得

    从而有

    将上面两式相加可得

    从而,即实反对称矩阵A的特征值为零或纯虚数.

    例2.设为实反对称矩阵,证明属于的的非零特征值的任意特征向量的实部向量与虚部向量相互正交且模长相等.

    证明:设关于特征值的特征向量,即

    对比实部虚部系数可知

    于是结合

    从而结合,

    例3.设

    (1)求

    (2)设 证明线性方程组有非零解的充要条件是.

    证明:(1)

    (2)我们知道方程组有非零解的充要条件是

    是A的实特征值,而A是反对称矩阵,它的实特征值只能是0,所以有非零解的充要条件为的特征值,当然这也等价于,即,整体来说就是:方程组有非零解的充要条件为

    例4.阶实方阵,切为正定阵,为实反对称阵,证明:的秩为偶数.

    证明:由于正定,故存在可逆矩阵使得,故

    从而可得

    (岩宝小提示:这里利用了一个小结论:若A是实矩阵,则)

    故结论成立.(为什么结论成立呢?因为实反对称矩阵的秩为偶数)

    例5.设A为实反对称矩阵,则

    (1)存在正交矩阵Q,使得

    (2)可逆.

    证明:(1)由A的特征值为0或纯虚数,且非零特征值成对出现,设为

    为实对称矩阵,且其特征值为

    故结论成立,

    (2)由于

    故结论成立.

    例6.(2012南京理工大学)设阶正定矩阵,阶实反对称矩阵,求证:为正定矩阵.

    证明:首先有

    是实对称矩阵,

    接下我们任取,有

    即结论成立.

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  • 对称矩阵与反对称矩阵

    万次阅读 2019-04-17 22:10:17
    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等。 反对称矩阵:矩阵的转置等于原来所有矩阵元素与-1相乘。...反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。 ...

    对称矩阵:沿对角线两边的元素,对称相等。
    反对称矩阵:矩阵的转置等于原来所有矩阵元素与-1相乘。
    反对称矩阵:设A为n维方阵,若有A′=−A,则称矩阵A为反对称矩阵。
    反对称矩阵的性质:对于反对称矩阵,它的主对角线上的元素全为0,而位于主对角线两侧对称的元素反号。

    展开全文
  • 目录反对称矩阵反对称矩阵的特征值是0和纯虚数 反对称矩阵 反对称矩阵即A=−ATA=-A^TA=−AT,例如 A=[0−a3a2a30−a1a2a10]A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ a_2 & a_1 &...

    写在前面

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    2、码字不易,转载本文请注明出处,本文链接:https://blog.csdn.net/qq_41102371/article/details/115734924

    结论

    1、反对称矩阵的特征值是0或纯虚数
    2、3x3的反对称矩阵可作为一个向量的叉乘矩阵
    3、3x3的反对称矩阵的秩为2

    反对称矩阵

    A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n{\times}n},若其中元素满足 aij=aji,i,jAT=Aa_{ij}=a_{ji},\forall i,j{\Leftrightarrow}A^T=A,则称AA是对称矩阵;若其元素满足aij=aji,i,jAT=Aa_{ij}=-a_{ji},\forall i,j{\Leftrightarrow}A^T=-A ,则称A为反对称矩阵[1]
    若A是反对称矩阵,则aij=ajia_{ij}=-a_{ji},当i=ji=j时,便有aii=0a_{ii}=0,即反对称矩阵主对角线上的元全为零,而位于主对角线两侧对称的元反号。
    于是对于n阶方阵AA,当A=ATA=-A^TAA是反对称矩阵,例如
    A=[0a3a2a30a1a2a10]A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    很明显A是一个反对称矩阵,反对称矩阵及其性质有什么用呢,一个很实际的例子就是《计算机视觉中的多视图几何》(三维重建相关)P406中的叉乘矩阵是一个n=3的反对称矩阵[2]
    在这里插入图片描述
    并且n=3的反对称矩阵的性质影响着structure from motion(sfm)中的本质矩阵E的性质[3],比如n=3的反对称矩阵秩为2,因此E矩阵秩也为2
    在这里插入图片描述

    反对称矩阵的特征值是0或纯虚数

    由性质推导

    [1]设实反对称矩阵A的特征值为λ=a+bi(i=1)\lambda=a+bi(i=\sqrt{-1})(为什么设置为虚数呢,因为当虚部为0时包含了实数)
    ,相应的特征值向量x=u+vi0x=u+vi\neq0 ,其中uvu,v是非零实向量。那么由Ax=λxAx={\lambda}x得到
    A(u+vi)=()a+bi(u+vi)A(u+vi)=()a+bi(u+vi)

    Au+iAv=(aubv)+(bu+av)iAu+iAv=(au-bv)+(bu+av)i
    令实部虚部分别相等,则有
    Au=aubv,Av=bu+avAu=au-bv,Av=bu+av
    于是
    uTAu=auTubuTvu^TAu=au^Tu-bu^Tv
    vTAv=bvTu+avTvv^TAv=bv^Tu+av^Tv
    因为uTv=vTu=(u,v)u^Tv=v^Tu=(u,v)(u,v的內积),则上述2个式子相加得到
    uTAu+vTAv=a(u2+v2)u^TAu+v^TAv=a\left( {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\right)
    又因为
    uTAu  C, A=ATu^TAu\ {\in}\ C,\ A=-A^T
    uTAuu^TAu是一个数,把它看成一个1x1的矩阵,它的转置就是本身,所以
    uTAu=(uTAu)T=uTATu=uTAuu^TAu=(u^TAu)^T=u^TA^Tu=-u^TAu
    uTAu=uTAu\Rightarrow u^TAu=-u^TAu
    只有0的相反数才是0,于是
    uTAu=0u^TAu=0
    同理
    vTAv=0v^TAv=0
    因此
    uTAu+vTAv=a(u2+v2)=0u^TAu+v^TAv=a\left( {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\right)=0

    u+vi0u2+v20a=0u+vi\neq0 \Rightarrow {\left\vert u\right\vert}^2 + {\left\vert v \right\vert}^2\neq0 \Rightarrow a=0
    从而λ=a+bi=bi\lambda=a+bi=bi,b为任意实数,当b=0b=0时,特征值λ=bi=0\lambda=bi=0,当b0b\neq0时,λ=bi\lambda=bi为纯虚数
    因此反对称矩阵的特征值是0或纯虚数
    并且由上b0b\neq0时,λ\lambda为纯虚数,有Au=bv,Av=buAu=-bv,Av=bu
    u=b1Av,v=b1Auu=b^{-1}Av,v=-b^{-1}Au
    于是
    u2=uTu=uTb1Av=b1uTAv{\left\vert u \right\vert}^2=u^Tu=u^Tb^{-1}Av=b^{-1}u^TAv
    v2=vTv=vTb1vTAu=b1vTAu=b1(uTAv)T{\left\vert v \right\vert}^2=v^Tv=-v^Tb^{-1}v^TAu=b^{-1}v^TAu=b^{-1}(u^TAv)^T
    因为uTAv=(uTAv)Tu^TAv=(u^TAv)^T,所以u2=v2{\left\vert u \right\vert}^2={\left\vert v \right\vert}^2
    此外,由uTAu=0u^TAu=0以及uTv=uT(b1Au)=b1uTAuu^Tv=u^T(b^{-1}Au)=-b^{-1}u^TAu可知uTv=0u^Tv=0,即u,vu,v正交
    这证明了反对称矩阵对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

    实例推导

    A=[0a3a2a30a1a2a10]令A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    用特征值的计算方法[4]来直接计算
    [0a3a2a30a1a2a10][λ000λ000λ]=λa3a2a3λa1a2a1λ\left\vert{ \begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}- \\ \begin{bmatrix} \lambda &0& 0\\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }\right\vert = \begin{vmatrix} -\lambda & -a_3& a_2 \\ a_3 & -\lambda & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & -\lambda \end{vmatrix}
    于是有
    λ(λ2+a12)+a3(λa3a1a2)+a2(a1a3λa22)=0-\lambda({\lambda}^2+{a_1}^2)+{a_3}({-\lambda}a_3-a_1a_2)+a_2(a_1a_3-{\lambda}{a_2}^2)=0
    λ3λa12λa32a1a2a3+a1a2a3λa22=0{\Rightarrow} - {\lambda}^3 - {\lambda}{a_1}^2-{\lambda}{a_3}^2-{a_1a_2a_3}+{a_1a_2a_3}-{\lambda}{a_2}^2=0
    λ(λ2+a12+a22+a32)=0{\Rightarrow}-{\lambda}({\lambda}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)=0
    λ=0,λ2+a12+a22+a32=0{\Rightarrow} {\lambda}=0, 或{\lambda}^2+{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2=0
    λ2=(a12+a22+a32)=m{\lambda}^2=-({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)=-m
    因为m=a12+a22+a32>0m={a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2>0
    所以λ=m1{\lambda}=\sqrt{m} * \sqrt{-1},此时为纯虚数

    3x3的反对称矩阵秩为2

    同样,A=[0a3a2a30a1a2a10]令A=\begin{bmatrix} 0 & -a_3& a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}
    对矩阵AA做初等行变换,矩阵的秩不变
    交换行顺序

    [a30a1a2a100a3a2]\begin{bmatrix} a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}
    第一行乘以a2a_2,第二行乘以a3a_3再加上第一行
    [a2a30a1a2a2a3a1a300a3a2][a2a30a1a20a1a3a1a20a3a2]\begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ -a_2a_3 & a_1a_3 & 0\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}{\Rightarrow} \begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & -a_3 & a_2 \\ \end{bmatrix}
    第三行乘以a1a_1再加上第二行
    [a2a30a1a20a1a3a1a20a1a3a1a2][a2a30a1a20a1a3a1a2000]\begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & -a_1a_3 & a_1a_2 \\ \end{bmatrix}{\Rightarrow} \begin{bmatrix} a_2a_3 & 0 & -a_1a_2 \\ 0 & a_1a_3 & -a_1a_2\\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
    所以3x3的反对称矩阵的秩为2

    参考

    [1]. 百度百科:反对称矩阵
    [2]. share_noel/books/韦穗(译).计算机视觉中的多视图几何,提取码:0ooc
    [3]. 北京邮电大学鲁鹏老师计算机视觉课程三维重建部分PPT
    [4]. 特征值 是 系数行列式等于0时的 解

    如有错漏,敬请指正
    --------------------------------------------------------------------------------------------诺有缸的高飞鸟202104

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