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  • 标准正态分布公式

    万次阅读 2020-06-22 16:48:51
    标准正态分布公式

     标准正态分布公式

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  • 推导Beta分布公式

    千次阅读 2017-12-23 21:19:39
    Beta分布可以用于拟合各种不同的分布,网上各种资料对于Beta分布的原理着墨较多,却少有推导Beta分布公式的,所以,推导Beta分布公式如下: 设一组随机变量 ,将这n个随机变量排序后得到顺序统计量 ,计算落在区间...

    Beta分布可以用于拟合各种不同的分布,网上各种资料对于Beta分布的原理着墨较多,却少有推导Beta分布公式的,所以,推导Beta分布公式如下:
    设一组随机变量这里写图片描述 ,将这n个随机变量排序后得到顺序统计量 这里写图片描述,计算这里写图片描述落在区间这里写图片描述 的概率,即求概率值这里写图片描述 。将区间[0,1]分为三段这里写图片描述 , 这里写图片描述, 这里写图片描述。考虑简单情形,假设n个数中只有一个落在了区间 这里写图片描述内。因为样本 这里写图片描述是第i大的,则这里写图片描述 中应该有i-1个数,这里写图片描述 这个区间中应该有n-k个数。先考虑一个符合上述条件的事件E。
    这里写图片描述
    则有:
    这里写图片描述
    考虑较为复杂的情形,假设n个数中有两个数落在了区间这里写图片描述
    这里写图片描述
    则有:
    这里写图片描述
    从以上分析可以看出,只要落在 这里写图片描述内的数字超过一个,则对应事件的概率就是这里写图片描述 ,于是:
    这里写图片描述
    所以,可以得到 这里写图片描述的概率密度函数为:
    这里写图片描述
    利用Gamma函数,可以把这里写图片描述 表达为
    这里写图片描述
    这里写图片描述这里写图片描述,于是得到:
    这里写图片描述
    此即为标准Beta分布的概率密度函数。更为一般的 分布概率密度函数为:
    这里写图片描述=这里写图片描述
    式中:
    这里写图片描述
    这里写图片描述这里写图片描述
    这里写图片描述 服从贝塔分布,简记为这里写图片描述
    形状参数这里写图片描述 的表达式为:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    式中, 这里写图片描述这里写图片描述 的均值, 这里写图片描述这里写图片描述 的方差。
    通过 这里写图片描述这里写图片描述 控制Beta分布概率密度函数的形状,可以模拟均匀分布到近似高斯分布等各种分布。
    得到一组样本数据后,通过调整eta分布的形状参数 这里写图片描述可以对样本数据进行拟合,通常,可以利用最小二乘法计算形状参数这里写图片描述

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  • 2 高斯分布公式 2.1 高斯概率密度函数的的积分 令 则 用极坐标表示: 则: 所以: 2.2 高斯分布的期望 令 则: 这里为奇函数,所以积分结果为0 所以: 这里 参考: 高斯分布...

    1 基本概念准备

    1.1 扇形计算公式

    \Delta \sigma = \frac{\Delta \theta r^2}{2}

    1.2 二重积分用极坐标表示

    \Delta \sigma_k =\frac{(r+\Delta r)^2 \Delta \theta - r^2\Delta \theta}{2} = \frac{r \Delta r \Delta \theta+\Delta r^2 \Delta \theta}{2} \approx \frac{r \Delta r \Delta \theta}{2}  (略去高阶无穷小)

    所以 d\sigma = rdrd\theta

    1.3 一阶矩和二阶矩

    一阶矩就是期望值,换句话说就是平均数(离散随机变量很好理解,连续的可以类比一下)。举例:xy坐标系中,x取大于零的整数,y1, y2, ...,yn 对应x=1, 2,..., n的值,现在我要对y求期望,就是所有y累加除以n,也就是y的均值。

    此时y的均值我可以在坐标系中画一条线,我会发现所有的点都在这条线的两边。如果是中心矩我就会用每个值减去均值z=yn-y均作为一个新的序列z1, z2, ..., zn,再对z求期望,这时我会发现均值为零(即在坐标轴y上)。一阶矩只有一阶非中心矩,因为一阶中心矩永远等于零。

    二阶(非中心)矩就是对变量的平方求期望,二阶中心矩就是对随机变量与均值(期望)的差的平方求期望。为什么要用平方,因为如果序列中有负数就会产生较大波动,而平方运算就好像对序列添加了绝对值,这样更能体现偏离均值的范围。

    2 高斯分布公式

    2.1  高斯概率密度函数的的积分

    令 I = \int^{+\infty}_{-\infty} e^{\frac{-x ^2}{2\sigma^2}}dx

    I^2 = \int_{-\infty }^{+\infty } e^{-\frac{x ^2+y^2}{2\sigma^2}}dxdy

    用极坐标表示:

    \left \{\begin { matrix} x=rcos\theta \\y =rsin\theta \\ \end{matrix}\right.

    则:

    I^2 =\int ^{2\pi}_{0} \int^{+\infty}_{0}e^-{\frac{r^2}{2\sigma^2}}rdrd\theta = 2\pi\int^{+\infty}_{0}e^{-\frac{u}{2\sigma^2}}\frac{1}{2}du = \pi e^{-\frac{u}{2 \sigma^2}}(-2\sigma^2)|^{\infty}_{0}

     

    I^2 = 2\pi\sigma^2

     

    所以:

    \int^{+\infty }_{-\infty} N(x | \mu, \sigma) dx = \frac{1}{2\pi \sigma^2} 2\pi \sigma^2 = 1

     

    2.2 高斯分布的期望

    E(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} x N(x|\mu,\sigma)dx = \int^{+\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(\mu -x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx

    x = x -\mu

    则:

    E(x) = \int^{+\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx + \int^{+\infty}_{-\infty} \mu \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx

    这里\int^{+\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx为奇函数,所以积分结果为0

    所以:

    E(x) =\mu \int^{+\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x)^2}{2\pi \sigma^2}}dx = \mu

     

     

    这里

    参考:

    高斯分布期望的推导

    高斯分布归一化、期望、二阶矩、方差推导证明

     

     

     

     

     

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  • 高斯分布公式

    千次阅读 2013-07-04 19:09:51
    正态分布的随机数发生器 in C#  主要参考《Numerical Recipes in C++ 2/e》p.292~p.294 和《Simulation Modeling and Analysis  3/e》p.465~p.466。 Box 和 Muller 在 1958 年给出了由均匀分布...
    正态分布的随机数发生器 in C# 
    主要参考《Numerical Recipes in C++ 2/e》p.292~p.294 和《Simulation Modeling and Analysis 
    3/e》p.465~p.466。

    Box 和 Muller 在 1958 年给出了由均匀分布的随机变量生成正态分布的随机变量的算法。设 U1, U2 是区间 (0, 1) 上均匀分布的随机变量,且相互独立。令

    X1 = sqrt(-2*log(U1)) * cos(2*PI*U2);
    X2 = sqrt(-2*log(U1)) * sin(2*PI*U2);

    那么 X1, X2 服从 N(0,1) 分布,且相互独立。等于说我们用两个独立的 U(0,1) 随机数得到了两个独立的 N(0,1)随机数。


    首先,高斯随机数有如下特征,均值为0,方差为1。这个相对于标准分布的随机数来说的, 
    简单的说他们之间的区别只是随机数在区间内产生的概率不同。具体要说那个 
    区域概率大,那个区域概率小,翻翻概率的教材吧,上面有标准分布的图像, 
    至于gauss的概率分布图像,我想网上也能找到,或者数学教材上。
    给你一个 Knuth首创并被大家认可的一个产生高斯随机数列的代码:

    #include <stdlib.h>
    #include <math.h> 
    double gaussrand() 

    static double V1, V2, S; 
    static int phase = 0; 
    double X;

    if(phase == 0)

    do
    {

    double U1 = (double)rand() / RAND_MAX; 
    double U2 = (double)rand() / RAND_MAX;

    V1 = 2 * U1 - 1; 
    V2 = 2 * U2 - 1; 
    S = V1 * V1 + V2 * V2; 
    }
    while(S > = 1 || S == 0);

    X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S); 
    }
    else 
    X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S);

    phase = 1 - phase;

    return X; 
    }

    以上代码是基于Box-Muller方法,基本思想是生成两组独立的随机数U和V,这两组数在(0,1]上均匀分布,用U和V生成两组独立的标准常态分布随机变量X和Y:

    X = \sqrt{- 2 \ln U} \, \cos(2 \pi V) ,
    Y = \sqrt{- 2 \ln U} \, \sin(2 \pi V)
    这个方程的提出是因为二自由度的卡方分布(见性质4)很容易由指数随机变量(方程中的lnU)生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度,用指数分布选择半径然后变换成(正态分布的)x,y坐标。
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空空如也

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