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  • 举例求解矩阵的特征值和特征向量 (先明确:只有方阵才能出特征值,非方阵只能奇异值)   直接举一个例子:下面矩阵M的特征值和特征向量。 M=[460−3−50−3−61] M =\begin{bmatrix} 4 & 6 &...

    举例求解矩阵的特征值和特征向量

    (先明确:只有方阵才能求出特征值,非方阵只能求奇异值。)
      直接举一个例子:求下面矩阵M的特征值和特征向量。
    M=[460350361] M =\begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix}
      设矩阵M的特征值为λ\lambda,列出矩阵M的特征方程:矩阵M减去,λ\lambda乘以和M同等大小的单位矩阵E。再让它们整体的行列式的值等于0即可。如下所示:
    MλE=0(1)|M - \lambda E| = 0\tag{1}
      求解(1)式的步骤如下:
    MλE=[4λ6035λ0361λ]=(1λ)[4λ635λ]=(λ1)2(λ+2)|M - \lambda E| = \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 & 0 \\ -3 & -5-\lambda & 0 \\ -3 & -6 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda) \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 \\ -3 & -5-\lambda \end{bmatrix} = (\lambda -1)^{2}(\lambda + 2)
      所以特征值为1和-2,重数是1。
      然后,把每个特征值λ\lambda带入到下方的线性方程组(MλE)x=0(M - \lambda E)x = 0,求出特征向量。

      λ1=2\lambda_{1}=-2时,解线性方程组:(M(2)E)x=0(M - (-2)E)x = 0
    M+2E=[660330363]广[660033003630][110000000110]|M + 2E| = \begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 \\ -3 & -3 & 0 \\ -3 & -6 & 3 \end{bmatrix} \xRightarrow{先变成增广矩阵} \begin{bmatrix} 6 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -3 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 3 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{再初等行变换} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
    所以,x1+x2=0;x2+x3=0x_{1}+x_{2}=0; -x_{2}+x_{3}=0。随便带一个值,一般取x3=1x_{3}=1,可解得x2=1x1=1x_{2}=1,x_{1}=-1。
    解得:x1=1x2=1x3=1x_{1}=-1,x_{2}=1,x_{3}=1,所以λ1\lambda_{1}的特征向量为:p1=[111]p_{1} =\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}。

      λ2=λ3=1\lambda_{2}=\lambda_{3}=1时,解线性方程组:(ME)x=0(M - E)x = 0
    ME=[360360360]广[360036003600][120000000000]|M - E| = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \\ -3 & -6 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{先变成增广矩阵} \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0\\ -3 & -6 & 0 & 0 \end{bmatrix} \xRightarrow{再初等行变换} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
    所以,x1+2x2=0;x3=0x_{1}+2x_{2}=0; x_{3}=0。随便带一个值,这里取x1=2x_{1}=-2,可解得x2=1x_{2}=1。
    解得:x1=2x2=1x3=0x_{1}=-2,x_{2}=1,x_{3}=0,所以λ2\lambda_{2}特征向量为:p2=[210]p_{2} = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}。
    再取,x1=x2=0x3=1x_{1}=x_{2}=0,x_{3}=1,可解得λ3\lambda_{3}的特征向量为:p3=[001]p_{3} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}。

      综上所述:矩阵M的特征值为λ1=2λ2=λ3=1\lambda_{1}=-2,\lambda_{2}=\lambda_{3}=1。对应的特征向量为:p1=[111]p_{1} =\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}p2=[210]p3=[001]p_{2} = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 0\end{bmatrix}、p_{3} =\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}

    如何再继续进行矩阵的特征分解呢?

      接下来进行矩阵的特征分解,上面已经求出了矩阵M的特征值和特征向量了,下面就非常简单了。
    设矩阵Q为矩阵M的特征向量按列组成的矩阵。将特征向量按照从大到小、从左到右按列排列构成Q。 Λ 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值。(按照刚才特征向量的位置,把对应特征值从上往下排列)如下所示:
    Q=[201101011]Λ=[100010002]Q= \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix} ,Λ= \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix} 。
      所以最后,方阵M的特征值分解为:
    M=QΛQ1=[201101011][100010002][201101011]1M=QΛQ^{-1}= \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &-1\\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix}^{-1}

    最后注意:
    能够进行特征分解的矩阵,要满足以下两个条件:
      1.如果矩阵的所有特征根都不相等,那么绝对可以特征分解。
      2.如果矩阵有等根,只需等根(重特征值)对应的那几个特征向量,是线性无关的。那么也可以特征分解。如果不是就不能了。
    综合说:就是要有n个线性无关的特征向量。

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  • 即利用特征多项式可以出所有的特征值, 特征值之和等于原矩阵对角线元素之和 特征值的乘积等于原矩阵A的行列式的值。 特征多项式的乘积等于矩阵之积。 2、具体例子的求解方法 计算:A的特征值和特征向量。 ...

    一、特征值特征向量定义
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    即利用特征多项式可以求出所有的特征值,
    特征值之和等于原矩阵对角线元素之和
    特征值的乘积等于原矩阵A的行列式的值。
    特征多项式的乘积等于矩阵之积。
    2、具体例子的求解方法
    在这里插入图片描述
    计算:A的特征值和特征向量。
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    化简
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    令x=1,便可得出一个基础解系:
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    同理当λ2=λ3=0λ_2=λ_3=0时,得出:
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    同样可以得出特征向量:
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  • 学工科的小伙伴都学过线性代数,知道矩阵特征值、特征向量的定义及计算方法。不知道有没有小伙伴跟我一样对矩阵特征值和特征...我们个矩阵A的协方差阵Cov(A,A'),得到一个方阵B,而我们平时求的特征值,就是...

    学工科的小伙伴都学过线性代数,知道求矩阵特征值、特征向量的定义及计算方法。不知道有没有小伙伴跟我一样对矩阵特征值和特征向量究竟是个什么东西而疑惑过,反正直到大学毕业之后的一两年内,我都没明白它到底有什么物理意义。在学了主元分析(PCA)后,暂且有所理解,这里跟大家分享一下,或有不对请指教。

    事实上,我们求方阵特征值和特征向量是在处理一个半成品,对于一个非方阵的矩阵A,它往往代表一个多维空间里的多个数据。我们求这个矩阵A的协方差阵Cov(A,A’),得到一个方阵B,而我们平时求的特征值,就是求B的特征值,那么求出的特征值是代表什么呢?它就是代表矩阵A的那些数据,在那个多维空间中,各个方向上分散的一个度量(即理解为它们在各个方向上的特征是否明显,特征值越大,则越分散,也就是特征越明显),而对应的特征向量,不言而喻,也就是它们对应的各个方向。

    这是一个简单的对特征在物理意义上的理解,针对不同场合,它应当有更具体更实际的意义,希望对正在学习高等数学的小伙伴有所帮助。

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    在学习使用PCA方法进行数据降维时,用到了特征值和特征向量知识。
    知乎链接,讲的太好了:
    https://www.zhihu.com/question/21874816

    因为禁止转载,又想收藏,故采用截图方式保留作者思路。
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    上面用到了一个数学知识,在求矩阵A的特征值时,用到了:
    Ax=ax
    其中,A是矩阵,a是特征值,x是特征向量。矩阵A的特征值可以有多个,特征值越大,所对应的特征向量包含的信息量越大。

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如何求一个矩阵的特征值