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  • 在理解复数和虚数之前我们先看如何表示一个笛卡尔积坐标系下过原点的向量,如下图一所示 图一 向量之间还可以通过加法来合成,如下图二所示 图二 除此之外向量之间还有点乘和叉乘,但唯独没有向量乘法,即:...

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    在理解复数和虚数之前我们先看如何表示一个笛卡尔积坐标系下过原点的向量,如下图一所示

    图一

    向量之间还可以通过加法来合成,如下图二所示

    图二

    除此之外向量之间还有点乘和叉乘,但唯独没有向量乘法,即:。另外向量加法,点乘和叉乘运算都不能控制向量旋转,为此人们就想到了是否可以使用还没利用到的向量乘法来表示向量旋转。显然要实现向量旋转的目的,就需要使用新的模型表示过原点的向量,为此诞生了复数。

    图三

    如图三所示就是用复数表示向量的模型。同理复数加法运算(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i相当于向量的加法合成,合成的向量还是用复数表示。下面为了使复数表示的向量乘法能表示向量的旋转,我们制定了如下用乘法表示的旋转规则,见图四:

     图四

    我们知道,要控制向量旋转,实质上就是控制向量在实轴的分量和虚轴分量的大小,由上图四乘法旋转规则可知,实轴分量大小可以由虚轴分量大小乘以 i 控制,而虚轴分量大小又可以用实轴分量大小乘以 i 控制,这样就开始有了交叉相乘的味道。

    在介绍复数表示的向量乘法之前先介绍复数模和幅角的概念,为了描述复平面上的任意一点(即过复平面原点的向量),可以写成更为普遍的形式:

                          z=a+bi

    其中a和b分别称为复数Z的实部虚部。而Z的长度或“模(Modulus)”为Z点到复平面圆心处的距离,即,Z的幅角公式为下图五

    图五(注: 幅角即为向量与实轴的夹角)

    现在我们开始介绍重头戏:复数表示的向量乘法,假设r1=a+bi,r2=c+di,则

    r1*r2=(a+bi)(c+di)=ac+bdii+adi+cbi=(ac-bd)+(ad+cb)i

    这里ac-bd控制实轴分量大小,ad+cb控制虚轴分量大小。由上乘法可以很容易看出,r1借r2控制了自身的旋转,也可以说r2借r1控制了自身的旋转。直接给出结论:两个复数相乘的结果就是,让它们的模长相乘得到最终的模长,让它们的幅角相加得到最终的幅角。这也就解释了为什么说复数自带旋转属性,且有大小和方向的原因了,即 根据图四的旋转规则实轴可以通过乘i旋转为虚轴,故有旋转属性,实轴有数值大小和正负,分别决定了旋转到虚轴分量的大小和分量方向,虚轴可以乘i旋转到实轴,虚轴有系数,系数大小和正负决定了旋转到实轴分量的大小和实轴分量方向。

    下面引用知乎"怎么理解复数和虚数的一个例题说明复数乘法的应用:

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  • matlab如何坐标轴上显示希腊字母pi呢? 第一,将这些位置指定为一个由递增值组成的向量。这些值无需等距。 第二,还要更改关联的标签。并用一个字符向量元胞数组来指定刻度标签。要在标签中包含特殊字符或希腊...

    matlab如何在坐标轴上显示希腊字母pi呢?

    第一,将这些位置指定为一个由递增值组成的向量。这些值无需等距。
    第二,还要更改关联的标签。并用一个字符向量元胞数组来指定刻度标签。要在标签中包含特殊字符或希腊字母 , 可使用 TeX 标记,例如用 \pi 表示pi 符号。

    xticks([0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi]);    %位置指定为向量
    xticklabels({'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'});%关联的标签,用cell指定刻度标签
    

    本文的参考图文本中的希腊字母和特殊字符

    从创建sin()函数坐标轴显示pi的完整代码;

    x=linspace(0,2*pi,200);
    y=sin(x);
    h= plot(x,y);
    xticks([0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi]);    %位置指定为向量
    xticklabels({'0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi'});%关联的标签,用cell指定刻度标签
    

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    在这里插入图片描述

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  • 特征值和特征向量有什么

    千次阅读 2020-03-22 09:59:31
    我们在数学课上学到的是如何如何 求特征值与特征向量。     在线性变换作用下,向量仅仅在尺度上变为原来的倍。称是线性变换的一个特征向量,是对应的特征值。 矩阵是一个表示二维空间的数组...
    我们在数学课上学到的是如何如何 求特征值与特征向量。

        在线性变换作用下,向量仅仅在尺度上变为原来的倍。称是线性变换的一个特征向量,是对应的特征值。

    1. 矩阵是一个表示二维空间的数组,矩阵可以看作是一个变换。在线性代数中,矩阵可以把一个向量变换到另一个位置,或者说从一个坐标系变换到另一个坐标系。矩阵的基,实际就是变换时所用的坐标系。

    2. 矩阵乘法对应了一个变换,是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换过程中,原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量只发生伸缩变换,不对这些向量产生旋转的效果,那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量,伸缩的比例就是特征值。

    3. 任给矩阵A,并不是对所有的向量X它都能拉长(缩短)。凡是能被矩阵A拉长(缩短)的向量就称为矩阵A的特征向量;拉长(缩短)的量就是这个特征向量对应的特征值。

    4. 一个矩阵可能拉长多个向量,因此它就可能有多个特征值。

    5. 实对称矩阵,不同特征值对应的特征向量必定正交。

    6. 一个变换矩阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基,可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系,在线性代数中可以把这个坐标系,扭曲、拉伸、旋转,成为及变换。我们可以按需求去设定基,但是基的轴之间必须是线性无关的,也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成,否则的话原来的空间就“撑”不起来了。在pca中,我们通过在拉伸最大的方向设基,忽略一些小的量,可以极大的压缩数据而减少失真。

        一个变换可由一个矩阵乘法表示,那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵,而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示,用图来表示的话,可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度,这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”,而他们的特征值就表示了各个角度上的能量(可以想象成从各个角度上伸出的长短,越长的轴就越可以代表这个空间,它的“特征”就越强,或者说显性,而短轴自然就成了隐性特征),因此,通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点,使得特征向量与特征值在几何(特别是空间几何)及其应用中得以发挥。
        也就是说,求特征向量,就是把矩阵A所代表的空间进行正交分解,使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上的投影长度。我们通常求特征值和特征向量即为求出这个矩阵能使哪些向量只发生拉伸,而方向不发生变化,观察其发生拉伸的程度。这样做的意义在于,看清一个矩阵在哪些方面能产生最大的分散度(scatter),减少重叠,意味着更多的信息被保留下来。

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  • 齐次坐标

    2012-08-19 09:40:53
    例如,二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出,一个向量的齐次表示是不唯一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点,比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4,2)。 (1, 4, 7)如果写...

     所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如,二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出,一个向量的齐次表示是不唯一的,齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点,比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4,2)。

    (1, 4, 7)如果写成(1,4,7,0),它就是个向量;如果是(1,4,7,1),它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换:

    (1)从普通坐标转换成齐次坐标时

       如果(x,y,z)是个点,则变为(x,y,z,1);

       如果(x,y,z)是个向量,则变为(x,y,z,0)

    (2)从齐次坐标转换成普通坐标时   

       如果是(x,y,z,1),则知道它是个点,变成(x,y,z);

     

    此外,对于一个普通坐标的P=(Px, Py, Pz),有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w),其中w不等于零。比如,P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、(2, 8, 14, 2)、(-0.1, -0.4, -0.7, -0.1)等等因此,如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标,给x,y,z乘上同一个非零数w,然后增加第4个分量w;如果把一个齐次坐标转换成普通坐标,把前三个坐标同时除以第4个坐标,然后去掉第4个分量。

     

    由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念,使得平移变换可以使用矩阵进行,从而如F.S. Hill, JR所说,仿射(线性)变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法,因此更加促进了齐次坐标使用,使得它似乎成为图形学中的一个标准

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  • [Jzoj] 3455. 库特的向量

    2019-08-15 21:56:03
    由两个整数坐标表示的 NNN 维向量导出的。对于这两个向量中的任意一个,无论如何将它的坐标打乱(例如( a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1​,a2​,a3​ )变成(a3,a1,a2a_3,a_1,a_2a3​,a1​,a2​)),打乱后的数量积都不会比...
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空空如也

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如何用坐标表示向量