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  • 层次分析法实例与步骤 是个关于层次分析法的介绍,很有用,欢迎下载
  • 数学建模方法层次分析法实例题目:当你临近毕业时选择工作,会考虑哪些因素?建立层次分析模型,给出各因素的成对比较阵,计算各因素在目标中的权重。解:很多因素都会影响毕业生选择工作,就我个人而言,我重视的...

    数学建模方法层次分析法实例

    题目:

    当你临近毕业时选择工作,会考虑哪些因素?建立层次分析模型,给出各因素的成对比较阵,计算各因素在目标中的权重。

    解:

    很多因素都会影响毕业生选择工作,就我个人而言,我重视的因素为以下几点:

    薪水较高

    与所修专业联系较大

    工作地点为一二线城市

    工作环境不会影响身体健康

    公司比较有发展潜力

    由以上因素建立层次结构模型:

    其中A为目标层,Bi(i=1,2,3,4,5)为准则层

    两两比较Bi(i=1,2,3,4,5)对A的重要程度,构造出准则Bi对目标A的成对比较判断矩阵:

    用MATLAB软件求得矩阵A的最大特征根和相应的特征向量(已经归一化)。

    易得结论:通过检验。

    又因为上面已经求得Bi (i=1,2,3,4,5)对目标A的权重向量为:

    即各个因素在目标中的权重分别为:

    各因素对毕业生选择职业的影响

    影响职业选择的因素

    所占的权重

    B1

    薪水较高

    0.4389

    B2

    与所修专业联系较大

    0.0785

    B3

    工作地点为一二线城市

    0.3242

    B4

    工作环境不会影响身体健康

    0.8203

    B5

    公司比较有发展潜力

    0.1525

    结论:

    由上表可以简单明了地看出学生不再单一的重视收入如何,渐渐重视起来“工作环境对健康的影响”这一问题。在影响学生选择职业的因素中,所占比例最低的是“与所修专业联系是否密切”,可以看出学生对于工作性质、内容并不局限,只要适合自己,什么工作都可以尝试。

    附1:

    RI值参照表格

    .n

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    RI

    0

    0

    0.58

    0.90

    1.12

    1.24

    1.32

    1.41

    1.45

    附2:

    MATLAB软件计算矩阵特征值和特征向量的步骤:

    >> a=[1,5,2,1/3,4;1/5,1,1/6,1/5,1/4;1/2,6,1,1/3,3;3,5,3,1,6;1/4,4,1/3,1/6,1]

    a =

    1.0000 5.0000 2.0000 0.3333 4.0000

    0.2000 1.0000 0.1667 0.2000 0.2500

    0.5000 6.0000 1.0000 0.3333 3.0000

    3.0000 5.0000 3.0000 1.0000 6.0000

    0.2500 4.0000 0.3333 0.1667 1.0000

    >> [v,d]=eig(a)

    v =

    (回车执行操作,每列得到的是矩阵A的特征向量,此处不一一详述)

    d =

    (回车执行操作,主对角线上元素即为与上面求得的特征向量对应的特征值,此处不一一详述)

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  • 数学建模:层次分析法实例以及代码

    千次阅读 多人点赞 2020-11-22 22:06:09
    目录层次分析法的思想层次分析法步骤具体案例(市政工程项目建设决策)1.问题提出2.建立递阶层次结构3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)计算权向量一致性检验5.层次总...

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    层次分析法的思想

    层次分析法的思想:将所有要分析的问题层次化
    根据问题的性质和所要到达的总目标,将问题分为不同的组成因素,并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系,将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次分析结构模型
    最后,对问题进行优劣比较排序.

    层次分析法步骤

    1、找准各因素之间的隶属度关系,建立递阶层次结构
    2、构造判断矩阵,并赋值
    3、层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)
    4、层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)
    5、结果分析

    具体案例(市政工程项目建设决策)

    1.问题提出

    市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路)或修建城区地铁(简称建地铁)。除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。

    2.建立递阶层次结构

    1、明确决策目标:“合理建设市政工程,使综合效益最高”。

    2、为了实现这一目标,需要考虑的主要准则有三个,即经济效益社会效益环境效益
    还必须考虑直接经济效益间接经济效益方便日常出行方便假日出行减少环境污染改善城市面貌等因素(准则),从相互关系上分析,这些因素隶属于主要准则,因此放在下一层次考虑,并且分属于不同准则。

    3、解决方案,即建高速路或建地铁,这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。

    这样递阶层次就形成了:
    在这里插入图片描述

    3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值

    1、构造判断矩阵的方法:
    每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准则)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行第一列
    如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2、如何对判断矩阵进行赋值:
    向填写人(专家)反复询问:针对判断矩阵的准则,其中两个元素两两比较哪个重要,重要多少,对重要性程度按1-9赋值。
    (可以类比模糊PID中的隶属程度,都是人为设定的,也是被人诟病的一个地方)
    在这里插入图片描述
    设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n,判断矩阵具有如下性质:

    (1) aij>0
    (2) aji=1/ aji
    (3) aii=1

    判断矩阵具有对称性,因此在填写时,通常先填写aii=1部分,然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
    在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性,即满足等式:aij*ajk=aik .
    当上式对判断矩阵所有元素都成立时,则称该判断矩阵为一致性矩阵。
    对于上述的例子,可以构造出下面的判断矩阵:
    在这里插入图片描述

    4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)

    计算权向量

    对于专家填写后的判断矩阵,利用一定数学方法进行层次排序。
    层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
    这里简要介绍和法:
    对于一致性判断矩阵,每一列归一化后就是相应的权重。
    对于非一致性判断矩阵,每一列归一化后近似其相应的权重,在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。

    公式: 在这里插入图片描述
    在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下,并不要求判断矩阵严格满足这一性质。

    但从人类认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B又比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反了一致性准则,在逻辑上是不合理的。

    因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性,需进行一致性检验。只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的,才能继续对结果进行分析。

    一致性检验

    第一步,计算一致性指标CI
    在这里插入图片描述
    第二步,查表确定相应的平均随机一致性指标RI
    据判断矩阵不同阶数查下表,得到平均随机一致性指标RI:
    在这里插入图片描述
    第三步,计算一致性比例CR并进行判断:
    在这里插入图片描述
    当C.R.<0.1时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,C.R.>0.1时,认为判断矩阵不符合一致性要求,需要对该判断矩阵进行重新修正。

    图1
    图2
    可以看出,所有单排序的C.R.<0.1,认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。

    5.层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)

    总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法,逐层合成。
    文字性描述公式如下:
    在这里插入图片描述

    计算过程如下,更好理解过程:
    P(C1/A) = P(C1/B1) * P(B1/A) = 0.5 * 0.1429 = 0.07145
    CR(C1/A) = CR(C/B) * CR(B/A) = 0 * 0 = 0
    P(D1/A) = P(D1/C1) * P(C1/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C2) * P(C2/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C3) * P(C3/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C4) * P(C4/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C5) * P(C5/B3) * P(B3/A)
    + P(D1/C6) * P(C6/B3) * P(B3/A)
    =0.8333 * 0.5 * 0.1429
    +0.75 * 0.5 * 0.1429
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8750 * 0.25 * 0.4286
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8333 * 0.25 * 0.4286

    在这里插入图片描述

    6.结果分析

    从方案层总排序的结果看,建地铁(D2)的权重(0.6592)远远大于建高速路(D1)的权重(0.3408),因此,最终的决策方案是建地铁。
    根据层次排序过程分析决策思路:

    1、对于准则层B的3个因子,直接经济效益(B1)的权重最低(0.1429),社会效益(B2)和环境效益(B3)的权重都比较高(皆为0.4286),说明在决策中比较看重社会效益和环境效益
    2、对于不看重的经济效益,其影响的两个因子直接经济效益(C1)、间接带动效益(C2)单排序权重都是建高速路远远大于建地铁,对于比较看重的社会效益和环境效益,其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路,由此可以推出,建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出,权重也会相对突出
    3、从准则层C总排序结果也可以看出,方便日常出行(C3)、减少环境污染(C5)是权重值较大的,而如果单独考虑这两个因素,方案排序都是建地铁远远大于建高速路。

    由此我们可以分析出决策思路:
    即决策比较看重的是社会效益和环境效益,不太看重经济效益;(总结准则层B)
    因此对于具体因子,方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素,对于这两个因素,都是建地铁方案更佳,(总结准则层C)由此,最终的方案选择建地铁也就顺理成章了。

    7.层次分析法的优缺点

    优点:
    (1)系统性:层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
    (2)实用性:层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广。同时,这种方法将决策者和决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策者的了解和掌握。
    (3)简洁性:具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,并且所得的结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。

    缺点:囿旧:只能从原有方案中选优,不能生成新方案;粗略:它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;主观:从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然,采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

    层次分析法的代码实现(matlab)

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    使用示例:
    将上面代码保存名为test1,并在点运行的时候添加到路径;
    输入的A矩阵是要以向量的形式输入的;
    之后按下回车即可,可以看到和之前的第4步得到的结果是一样的。
    在这里插入图片描述
    通过不断的使用这个式子计算相应矩阵(准则层B到准则层C、准则层C到方案层D)的权向量,最后可以得到最终的结果。
    简单的修改上面的程序,传入参数为矩阵,免得每次都要打。

    function w= test1(A)
    % disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    % A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    输入:

    Array1=[1 1/3 1/3;3 1 1;3 1 1];
    Array2=[1 1;1 1];
    Array3=[1 3;1/3 1];
    Array4=[1 3;1/3 1];
    Array5=[1 5;1/5 1];
    Array6=[1 3;1/3 1];
    Array7=[1 1/5;5 1];
    Array8=[1 7;1/7 1];
    Array9=[1 1/5;5 1];
    Array10=[1 1/3;7 1];
    
    A=test1(Array1);
    B1=test1(Array2);
    B2=test1(Array3); 
    B3=test1(Array4);
    C1=test1(Array5);
    C2=test1(Array6);
    C3=test1(Array7);
    C4=test1(Array8);
    C5=test1(Array9);
    C6=test1(Array10);
    

    得到相应的矩阵:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路...除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益、环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。
  • 层次分析法实例:选择旅游目的地

    千次阅读 2020-04-14 19:40:16
    小白打算去旅游,打算使用层次分析法选择旅游目的地。 建立递阶层次结构 目标层 选择旅游目的地的 准则层 不要超过9个因素,这里选取5个:景色、费用、居住、饮食、旅途 方案层 广州、昆明、拉萨 构造比较判别矩阵...

    层次分析法(AHP)

    AHP(Analytic Hierarchy Process)方法,简称AHP,是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初,在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。


    下面来看一个具体的例子结合理论来具体学习游:
    小白打算去旅游,打算使用层次分析法选择旅游目的地。

    1、建立递阶层次结构

    将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 最低层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层。

    目标层

    选择旅游目的地的

    准则层

    不要超过9个因素,这里选取5个:景色、费用、居住、饮食、旅途

    方案层

    广州、昆明、拉萨


    2、构造比较判别矩阵

    在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受,因而Saaty等人提出一致矩阵法,即不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较,对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度。如对某一准则,对其下的各方案进行两两对比,并按其重要性程度评定等级。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。

    标度表

    标度 含义
    1 同等重要
    3 稍微重要
    5 较强重要
    7 强烈重要
    9 极端重要
    2,4,6,8 两相邻判断的中间值
    1
    景色判断矩阵
    构造因素层判断矩阵
    费用判断矩阵
    居住判断矩阵
    饮食判断矩阵
    旅途判断矩阵
    构造矩阵
    准则层比较矩阵

    准则层次比较矩阵

    矩阵的特征向量可以作为权重的值。( 为什么特征向量可以作为权重? )求解特征向量的精确值,步骤比较繁琐。在编程中,可以采用数学库,直接计算特征向量,特征值。决策中使用的是正互反矩阵,根据该类矩阵的特点可以采用近似法求解,这里我们选用和法根法实际上只需要选一种,这里采用两种纯粹是为了展示两种不同的算法),也可以选用幂法。计算得到的特征向量可作为权重值使用。
    和法步骤:

    1. 将矩阵A每一列归一化;
    2. 对归一化的结果按行求和;
    3. 将求和结果归一化,作为特征向量ω;
    4. λ=1n\lambda={\frac{1}{n}}i=1n(Aω)iωi\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{\frac{(Aω)_i}{ω_i}},其中i表示向量中的第i个数。
      和法实际上是将矩阵的列向量归一化后取平均值作为特征向量。因为当矩阵为一致矩阵时,他的每一列向量都是特征向量,所以若矩阵的不一致性不严重,则取归一化后的列向量平均值作为特征向量是合理的。

    准则层次比较矩阵

    景色 费用 居住 饮食 旅途
    景色 1 1/2 4 3 3
    费用 2 1 7 5 5
    居住 1/4 1/7 1 1/2 1/3
    饮食 1/3 1/5 2 1 1
    旅途 1/3 1/5 3 1 1

    求特征向量

    采用根法,在此我没有对矩阵进行归一化,计算的结果与和进行归一化的结果几乎没有差别。和法,不做归一化时一些差别。

    景色 费用 居住 饮食 旅途 每行乘积 乘积五次方根 标准化特征向量 (权重值)
    景色 1 1/2 4 3 3 18 1.7826 0.264
    费用 2 1 7 5 5 350 3.2271 0.477
    居住 1/4 1/7 1 1/2 1/3 0.0060 0.3589 0.053
    饮食 1/3 1/5 2 1 1 0.1333 0.6683 0.099
    旅途 1/3 1/5 3 1 1 0.2 0.7248 0.107
    方根总和 6.762

    特征向量ω\omega=(0.264,0.477,0.053,0.099,0.107)T(0.264,0.477,0.053,0.099,0.107)^T


    景色情况判断矩阵

    广州 昆明 拉萨
    广州 1 2 5
    昆明 1/2 1 2
    拉萨 1/5 1/2 1

    景色情况判断矩阵-求特征向量和最大特征值

    这里采用和法

    广州 昆明 拉萨 每行求和 归一化求和结果(权重值)
    广州 0.5882 0.5714 0.6250 1.7846 0.5949
    昆明 0.2941 0.2857 0.2500 0.8298 0.2766
    拉萨 0.1176 0.1429 0.1250 0.3855 0.1285
    • 特征向量ω=(0.5949,0.2766,0.1285)T\omega=(0.5949,0.2766,0.1285)^T
    • 通过公式Aω=λωA\omega=\lambda\omega便可以求得λ\lambdamax,特征向量所在的张成空间不会发生变化,与λ\lambda作用相同。注意:A为归一化之前的矩阵
      • λ\lambdamaxω1=10.5949+20.2766+50.1285=1.7906\omega_1=1*0.5949+2*0.2766+5*0.1285=1.7906
      • λ\lambdamaxω2=120.5949+10.2766+20.1285=0.8311\omega_2=\frac12*0.5949+1*0.2766+2*0.1285=0.8311
      • λ\lambdamaxω3=150.5949+120.2766+10.1285=0.3858\omega_3=\frac15*0.5949+\frac12*0.2766+1*0.1285=0.3858
      • λ\lambdamax=13(Aω1ω1+Aω2ω2+Aω3ω3)=13(1.79060.5949+0.83110.2766+0.38580.1285)=3.006=\frac{1}{3}(\frac{A\omega_1}{\omega_1}+\frac{A\omega_2}{\omega_2}+\frac{A\omega_3}{\omega_3})=\frac{1}{3}(\frac{1.7906}{0.5949}+\frac{0.8311}{0.2766}+\frac{0.3858}{0.1285}) =3.006

    因为小数点后位数取舍不同,以及选用的近似算法不同,所得到的结果也会不同。决策需要的精度不高,完全可以满足要求。


    费用情况判断矩阵

    广州 昆明 拉萨
    广州 1 1/3 1/8
    昆明 3 1 1/3
    拉萨 8 3 1

    费用情况判断矩阵-求特征向量和最大特征值

    这里采用和法,首先对句子进行归一化处理。

    广州 昆明 拉萨 每行求和 归一化求和结果(权重值)
    广州 0.0833 0.0769 0.0857 0.2459 0.0820
    昆明 0.2500 0.2308 0.2286 0.7094 0.2364
    拉萨 0.6667 0.6923 0.6857 2.0447 0.6815
    • 特征向量ω=(0.0820,0.2364,0.6815)T\omega=(0.0820,0.2364,0.6815)^T
    • λ\lambdamax=13(0.24600.0820+0.70950.2364+2.04670.6815)=3.002=\frac{1}{3}(\frac{0.2460}{0.0820}+\frac{0.7095}{0.2364}+\frac{2.0467}{0.6815})=3.002

    居住情况判断矩阵

    后面我们都将采用根法,并且不单独写错判断矩阵。网上看到相关视频中用的是根法,并且没有做归一化的步骤,为了偷懒,下面直接使用视频里的计算结果。前面使用和法是为了比较两种算法的结果。

    广州 昆明 拉萨 每行乘积 乘积三次方根 标准化特征向量 (权重值)
    广州 1 1 3 3 1.442 0.429
    昆明 1 1 3 3 1.442 0.429
    拉萨 1/3 1/3 1 0.1111 0.481 0.143
    • 特征向量ω=(0.429,0.429,0.143)T\omega=(0.429,0.429,0.143)^T
    • λ\lambdamax=3.000=3.000

    对于三阶矩阵,λmax\lambda_{max}等于3表示取值符合完美的一致性。从矩阵中的值也可以看出来,不存在任何矛盾。不存在A,B,C的值矛盾的地方。

    饮食情况判断矩阵

    广州 昆明 拉萨 每行乘积 乘积三次方根 标准化特征向量 (权重值)
    广州 1 3 4 12 2.289 0.634
    昆明 1/3 1 1 0.333 0.693 0.192
    拉萨 1/4 1 1 0.250 0.630 0.174

    旅途情况判断矩阵

    广州 昆明 拉萨 每行乘积 乘积三次方根 标准化特征向量 (权重值)
    广州 1 1 1/4 0.25 0.630 0.166
    昆明 1 1 1/4 0.25 0.630 0.166
    拉萨 4 4 1 16.000 2.520 0.665

    3、计算单排序权向量并做一致性检验

    对应于判断矩阵最大特征根λ\lambdamax的特征向量,经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为ωω\omega。\omega的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序,则需要进行一致性检验,所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中,n阶一致阵的唯一非零特征根为n;n 阶正互反阵A的最大特征根λ\lambdamax≥n,当且仅λ\lambdamax=n 时,A为一致矩阵。
    则λ 比n 大的越多,A的不一致性越严重,一致性指标用CI计算,CI越小,说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量,其不一致程度越大,引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。

    CI=λnn1CI=\frac{\lambda-n}{n-1}

    CI=0,有完全的一致性;CI 接近于0,有满意的一致性;CI 越大,不一致越严重。为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI

    随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关,一般情况下,矩阵阶数越大,则出现一致性随机偏离的可能性也越大。

    本案例是三阶矩阵,所以RI值为0.58,不同的标准不同,RI的值也会有微小的差异

    矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

    考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的,因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时,还需将CI和随机一致性指标RI进行比较,得出检验系数CR
    一般,如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。

    CR=CIRICR=\frac{CI}{RI}

    CI=λmaxnn1=3.005331=0.003CI_{景色}=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}=\frac{3.005-3}{3-1}=0.003
    CR=CIRI=0.0030.58=0.005CR_{景色}=\frac{CI_{景色}}{RI}=\frac{0.003}{0.58}=0.005
    其他因素的算法一样,过程就不列了。结果入下表所示:
    一致性效验
    从CR值(都为正数,并且小于0.1)可以看出,我们的矩阵时非常符合一致性的矩阵。可以进入下一步计算

    Created with Raphaël 2.2.0开始验证调整数值CR为正且<0.1?验证成功yesno

    4、总的排序选优

    计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。总排序的权重可以通过方案层的特征向量乘以准则层的特征向量的转置得到,公式如下:

    =sumT总排序权值=sum(方案层特征向量*准则层特征向量^T)

    本案例计算结果如下:
    总的排序选优
    总排序一致性指标 =ωzpxωzccT=(0.003,0.001,0,0.005,0)(0.264,0.477,0.053,0.099,0.107)T=0.001764=\omega_{zpx}\omega_{zcc}^T=(0.003,0.001,0,0.005,0)(0.264,0.477,0.053,0.099,0.107)^T=0.001764
    总排序指标率=RI=0.0017640.58=0.003=\frac{总排序一致性指标}{RI}=\frac{0.001764}{0.58}=0.003
    小于0.1通过检验。
    其中:
    ωzpxCI\omega_{zpx}为一致性指标CI特征向量。
    ωzcc\omega_{zcc}表示准则层特征向量。

    广=ωgzωzccT=(0.595,0.082,0.429,0.634,0.166)(0.264,0.477,0.053,0.099,0.107)T=0.299ωgz广ωzcc广州的权重=\omega_{gz}\omega_{zcc}^T=(0.595,0.082,0.429,0.634,0.166)(0.264,0.477,0.053,0.099,0.107)^T=0.299 其中\omega_{gz}表示广州特征向量; \omega_{zcc}表示准则层特征向量

    (×)ωgzωzccT广×可以理解为上一层的权重值,等于\sum(本层个因素的值×他们各自的权重)。\omega_{gz}\omega_{zcc}^T就可以理解为:\sum(广州在各个因素上的值×各个因素的权重值)

    用同样的方法可以计算出,昆明和拉萨的权重,最终结果为:
    广=0.299广州的权重=0.299;
    =0.245昆明的权重=0.245;
    =0.455拉萨的权重=0.455;

    通过层次分析法,拉萨权重最大。小白决定去拉萨旅游。

    多级处理

    如果某一因素由多个子因素构成,则只需要通过层次分析法,先算出各个解决方案在该因素级别上的总权重即可。例如:饮食需要通过早餐、正餐、小吃来判断。则我们需要用上面同样的方法先计算出不同城市在饮食上的总权重(也就计算结果表中的总排序权重),这个过程中,也需要进行一致性检验。多级的情况,以此类推,只要有子因素的情况,就需要通过层次分析法进行汇总,计算出该级别的总排序权重,再代入上一级别进行计算。
    通过这一点,我们也可以更好的理解只有一级的情况。计算饮食的时候,因为没有子因素,所以只需要做一次两两比较,计算特征向量即可。表中的总排序权重,实际上就是各个因素的权重,乘以各个因素的打分值。

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    本文为根据爱课程网站—国防科技大学系统工程原理课程整理

    AHP计算有三种方式可以选择:幂法、和积法、方根法,本文使用和积法。

    1.构造层次结构模型

    企业有一笔留成利润,应该怎样使用最合理。
    在这里插入图片描述

    2.构造判断矩阵

    `在这里插入图片描述
    该厂认为根据总目标重要性排名为:C2>C3>C1
    构造判断矩阵细化:

    A C1 C2 C3
    C1 1 1/5 1/3
    C2 5 1 3
    C3 3 1/3 1

    该矩阵代表C2重要性最高,并分别是C1重要性的5倍、C3重要性的3倍。
    使用和积法得到特征向量W,以及最大特征值λmax=3.0385
    在这里插入图片描述

    3.一致性检验

    经过一致性检验得到CI(n=3),并且根据查表,RI=0.58,所以CR=(CI/RI)=0.0332<0.1,所以可以认为A-C具有满意的一致性。
    在这里插入图片描述
    所以三个准则的权重确定下来:

    W
    C1 0.1042
    C2 0.6372
    C3 0.2583

    4.对方案层P使用第二步同样方式求解,最终得到层次总排序计算结果。

    在这里插入图片描述
    这张表中的0意味着该方案对该层次无贡献,比如P1(发奖金)对C2(提升企业技术水平)没有贡献。
    所以从表中可得,最优的方案为方案P3:办业余学校

    5.层次总排序计算结果的一致性检验

    在这里插入图片描述
    其中C3的CR=0代表其具有完全一致性。
    由此可得,办业余学校是最合理的方式。

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空空如也

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层次分析法实例