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  • 这就不可避免的要计算代价函数或者量测模型对旋转矩阵的导数。一般涉及到对旋转矩阵求导,我们首先都会想到李群、李代数、李导数。这里我们用另一种思路来对旋转矩阵求导,不过本质上还是用到了李群、李代数的基础...

    在slam算法当中,我们经常要对载体的姿态进行优化。这就不可避免的要计算代价函数或者量测模型对旋转矩阵的导数。一般涉及到对旋转矩阵求导,我们首先都会想到李群、李代数、李导数。这里我们用另一种思路来对旋转矩阵求导,不过本质上还是用到了李群、李代数的基础理论,只是形式上会更直接一些。

    首先我们要介绍就是著名的罗德里格斯(Rodriguez formula)公式:

    (2.1)

    这里

    为单位矩阵,
    为旋转矩阵的轴角表示,在秦永元老师的《惯性导航》这本书里又叫旋转矢量;

    以上罗德里格斯公式,将轴角与旋转矩阵关联了起来。而轴角其实就是旋转矩阵(特殊三维正交群)对应的李代数。正因为我们如下的推导完全基于该公式,所以说,本文的思路,本质上还是用到了李群李代数的理论。

    为小角度的情况下,根据罗德里格斯公式忽略二阶小量,存在如下常用近似公式:

    (2.2)

    这里

    的叉乘反对称矩阵。

    下面我们来具体求对旋转矩阵的导数。

    slam中涉及到的对旋转矩阵求导,一般都是经旋转矩阵变换后的矢量对旋转矩阵求导。设矢量

    经过旋转矩阵变换后的矢量为:

    (2.3)

    我们的目的是求

    导数。我们从导数的定义出发,给自变量
    一个小的改变量
    ,然后计算该改变量所导致的
    的改变量
    ,最后计算

      我们先来计算

    ,对(2.3)式两侧加上改变量,可有如下等式:

    (2.4)

    当旋转角度很小的时候使用(2.2)对

    进行近似:

    (2.5)

    则:

    (2.6)

    , 所以,由公式(2.6)我们可以进一步得到:

    (2.7)

    对比公式(2.3),我们可以得到:

    (2.8)

    至此,我们可以看到

    可以由
    表示,现在我们考虑将
    也用
    表示。由罗德里格斯公式我们知道,小角度下,
    对应的轴角(旋转矢量)就是
    ,所以:

    (2.9)

    以上结果也相当于大家常说的右扰动。

    本文的推导也许不够严谨,不过可能比较直观,或许容易记忆和使用,仅供大家参考。

    在经典文章《Indirect Kalman Filter for 3D Attitude Estimation》中,也给出了一种对旋转矩阵求导的方法,感觉本文的思路与这篇经典文章描述的对旋转矩阵求导的算法似乎有异曲同工之处。文章中的推导更加严谨,建议感兴趣的同学们可以细读一下。

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    一般来说,方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线,但原点没有移动。线性变换保留直线的同时,其他的几何性质如长度、角度、面积和体 积可能被变换改变了。从非技术意义上说,线性变换可能“拉伸”坐标系,但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。

    矩阵是怎样变换向量的

    向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移,一般来说,任意向量v都能写成“扩展”形式:

    另一种略有差别的形式为:

    注意右边的单位向量就是x,y,z轴,这里只是将概念数学化,向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。

    让我们将上面的向量和重写一遍,这次分别将p、q、r定 义为指向+x,+y和+z方向的单位向量,如下所示:

    v = xp + yq + zr

    现在,向量v就被表示成向量p,q,r的 线性变换了,向量p,q,r称作基向量。这里 基向量是笛卡尔坐标轴,但事实上,一个坐标系能用任意3个基向量定义,当然这三个基向量要线性无关(也就是不在同一平面上)。以p、q、r为 行构建一个3 x 3矩阵M,可得到如下矩阵:

    用一个向量乘以该矩阵,得到:

    如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量,那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换,如果aM=b, 我们就可以说,M将a转换到b。

    从这点看,术语“转换”和“乘法”是等价的。

    坦率地说,矩阵并不神秘,它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数**算。进一步,用线性代数操作矩阵,是一种进行简单转换或导出更复杂转换 的简便方法。

    矩阵的形式:

    基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M:

    用基向量[1, 0, 0]乘以M时,结果是M的第1行。其他两行也有同样 的结果,这是一个关键的发现:矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。

    这个强有力的概念有两条重要性质:

    1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。

    2、有了反向建立矩阵的可能 ---- 给出一个期望的变换(如旋转、缩放等),能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换,然后将变换后的基向量填入矩阵。

    首先来看看2D例子,一个2 x 2矩阵:

    这个矩阵代表的变换是什么?首先,从矩阵中抽出基向量p和q:

    p = [2   1]

    q = [-1  2]

    图7.1以“原”基向量(x轴,y轴)为参考,在笛卡尔平面中展示了这些向量。

    如图7.1所示,x基向量变换至上面的p向量,y基向量变换至q向量。所以 2D中想象矩阵的方法就是想象由行向量构成的“L”形状。这个例子中,能够很清楚的看到,M代表的部分变换是逆时针旋 转26度。

    当然,所有向量都被线性变换所影响,不只是基向量,从“L”形状能够得到变换最直观的印象,把基向量构成的整个2D平行四边形画完整有助于进一步看 到变换对其他向量的影响,如图7.2所示:

    平行四边形称作“偏转盒”,在盒子中画一个物体有助于理解,如图 7.3 所示:

    很明显,矩阵M不仅旋转坐标系,还会拉伸它。

    这种技术也能应用到3D转换中。2D中有两个基向量,构成"L"型;3D中有三个基向量,它们形成一个”三脚架“。首先,让我们展示出一个转换前的 物品。图7.4展示了一个茶壶,一个立方体。基向量在”单位“向量处。

    (为了不使图形混乱,没有标出z轴基向量[0, 0, 1],它被茶壶和立方体挡住了。)

    现在,考虑以下3D变换矩阵:

    从矩阵的行中抽出基向量,能想象出该矩阵所代表的变换。变换后的基向量、立方体、茶壶如图7.5所示:

    这个变换包含z轴顺时针旋转45度和不规则缩放,使得茶壶比以前”高“。注意,变换并没有影响到z轴,因为矩阵的第三行是[0, 0 , 1]。

    我们可以通过让比例因子k按比例放大或缩小来缩放物体。如果在各方向应用同比例的缩放,并且沿原点“膨胀”物体,那么就是均匀缩放。均匀缩放可以保 持物体的角度和比例不变。如果长度增加或减小因子k,则面积增加或减小k^2。在3D中,体积将增加或减小 k^3。

    如果需要“挤压”或"拉伸"物体,在不同的方向应用不同的因子即可,这称作非均匀缩放。非均匀缩放时,物体角度将发生变化。视各方向缩放因子的不 同,长度、面积、体积的变化因子也各不相同。

    如果|k|<1,物体将“变短”;如果|k|>1,物体将“变长”,如果k = 0,就是正交投影,如果k < 0就是镜像。

    应用非均匀缩放的效果类似于切变,事实上,非均匀缩放和切变和很难区分的。

    沿坐标轴的缩放

    最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子,缩放是沿着垂直的轴(2D中)或平面(3D中)进行的。如果每个轴的缩放因子相同,就是均匀 缩放,否则是非均匀缩放。

    2D中有两个不同的缩放因子,Kx和Ky,图8.13展示了应用不同缩放因子后的情况。

    凭直觉就可知道,基向量p,q由相应的缩放因子单独影响:

    p' = Kxp = Kx [1   0] = [Kx   0]

    q' = Kyq = Ky [0   1] = [0   Ky]

    用基向量构造矩阵,结果如公式8.6所示:

    对于3D,需要增加第三个缩放因子Kz,3D缩放矩阵如公式8.7所示:

    沿任意方向缩放

    我们可以不依赖于坐标系而沿任意方向进行缩放,设n为平行于缩放方向的单位向量,k为缩放因子,缩放沿穿过原点 并平行于n的直线(2D中)或平面(3D中)进行。

    我们需要推导出一个表达式,给定向量v,可以通过v,n和 k来计算v'。为了做到这一点,将v分解为两个分量,v|| 和v⊥,分别平行于n和垂直于n,并满足v =v|| + v⊥。v||是v在n上 的投影,由 (v . n)n 可以得到 v||。 因为v⊥垂直于n,它不会被缩放操作影响。因此,v' = v||' + v⊥,剩下的问题就是怎样得到v||'。 由于v||平行于缩放方向,v||'可以由公式kv|| 得出,如图8.14所示:

    总结已知向量并进行代换,得到:

    既然我们知道了怎样对任意向量进行缩放,当然也就可以计算缩放后的基向量。这里只详细列出2D中的一个基向量的求法,其余的基向量依次类推。我们只 给出其结果(注意下面采用列向量形式只是为了使等式的形式好看一些。)

    通过基向量构造矩阵,得到以单位向量n为缩放方向,k为因子的缩放矩阵,如公式8.8所示:

    3D中,基向量为:

    以单位向量n为缩放方向,k为因子的3D缩放矩阵如公式8.9所示:

    一般来说,投影意味着降维操作,有一种投影方法是在某个方向上用0作为缩放因子。这种情况下,所有点都被拉平至垂直的轴(2D)或平面(3D)上。 这种类型的投影称作正交投影(或者平行投影),因为从原来的点到投影点的直线相互平行。

    向坐标轴或平面投影

    最简单的投影方式是向坐标轴(2D)或平面(3D)投影,如图8.15所示:

    向坐标轴或平面投影在实际变换中不常发生,大多数情况是向低维的变换赋值,且要抛弃维数时。例如,将3D点赋值给2D点,抛弃z分量,只复制x和 y。

    通过使垂直方向上的缩放因子为零,就能向坐标轴或平面投影。考虑到完整性,下面列出这些变换矩阵,见公式8.10 - 8.14。

    向任意直线或平面投影

    也能向任意直线或平面投影,像往常一样,由于不考虑平移,这些直线或平面必须通过原点。投影由垂直于直线或平面的单位向量n定 义。

    通过使该方向的缩放因子为0能够导出向任意方向投影的矩阵,2D中的情况如公式8.15所示:

    记住这里n垂直于投影直线,而不是平行。3D中,向垂直于n的平面投影的矩 阵如公式8.16所示:

    镜像

    镜像(也叫做反射)是一种变换,其作用是将物体沿直线(2D中)或平面(3D中)“翻折”,图8.16展示了镜像的效果。

    使缩放因子为-1能够很容易地实现镜像变换,设n为2D单位向量,公式8.17所示的矩阵将沿通过原点且垂直于n的 反射轴来进行镜像变换。

    3D中,用反射平面代替直线。公式8.18中的矩阵将沿通过原点且垂直于n的平面来进行镜像变换:

    注意一个物体只能“镜像”一次,如果再次镜像(当沿不同的轴或平面的时候),物体将翻回“正面”(用一张纸来想象),这和在原位置旋转物体的效果一 样。

    切变

    切变是一种坐标系“扭曲”变换,非均匀地拉伸它。切变的时候角度会发生变化,但令人惊奇的是面积和体积却保持不变。基本思想是将某一坐标的乘积加到 另一个上。例如,2D中将y乘以某个因子然后加到x上,得到 x' = x + sy,如图8.17所示:

    实现这个切变变换的矩阵为:

    变换的组合

    设想世界中有一个任意方向、任意位置的物体,我们要把它渲染到任意方向、任意位置的摄像机中。为了做到这一点,必须将物体的所有顶点从物体坐标系变 换到世界坐标系,接着再从世界坐标系变换到摄像机坐标系。其中的数学变换总结如下:

    矩阵乘法满足结合律,所以我们能用一个矩阵直接从物体坐标系变换到摄像机坐标系:

    这样就能在渲染的循环外先将所有矩阵组合起来,使循环内作矩阵乘法的时候只需要和一个矩阵相乘即可(物体有很多顶点,省一次矩阵乘法就会提高不少效 率),如下:

    所以矩阵组合从代数角度看是利用了矩阵乘法的结合律。矩阵的行向量就是变换后的基向量,这在多个变换的情况下也是成立的。考虑矩阵乘法AB, 结果中的每一行都是A中相应的行与矩阵B相乘的结果。换言之,设a1, a2, a3为A的行,矩阵乘法能够写为:

    这使得结论更加清晰,AB结果中的行向量确实是对A的基向量进行B变 换的结果。

    变换分类

    变换的类别并不是互斥的,也不存在一定的“次序”或“层次”使得某一类比另一类多或少一些限制。

    当讨论一般意义上的变换时,我们将使用类似的术语:映射或函数。在最一般的意义上,映射就是一种简单的规则,接受输入,产生输出。我们把从a到b的F映 射记作F(a) = b。

    线性变换

    在数学上,如果满足下式,那么映射F(a)就是线性的:

    F(a + b) = F(a) + F(b)   以及  F(ka) = kF(a)

    如果映射F保持了基本运算:加法和数量乘,那么就可以称该映射为线性的。在这种情况下,将两个向量相加然后再进行变换得到的结果和先分别进行变换再 将变换后的向量相加得到的结果相同。同样,将一个向量数量乘再进行变换和先进行变换再数量乘的结果也是一样的。

    这个线性变换的定义有两条重要的引理:

    (1) 映射F(a) = aM,当M为 任意方阵时,说映是一个线性变换,这是因为:

    F(a + b) = (a + b)M = aM + bM = F(a) + F(b)

    F(ka) = (ka)M = k(aM) = kF(a)

    (2) 零向量的任意线性变换的结果仍然是零向量。(如果F(0) = a,a ≠ 0。那么F不可能是线性变换。因为F(k0) = a,但F(k0) ≠ kF(0)), 因此线性变换不会导致平移(原点位置上不会变化)。

    在某些文献中,线性变换的定义是平行线变换后仍然是平行线。大多数情况下它是对的,但有一个小小的例外:投影(当一条直线投影后变成一个点,能认为 这个点 平行于什么?)除了这点理论上的例外,这种定义是正确的。线性变换可能造成“拉伸”,但直线不会”弯折“,所以平行线仍然保持平行。

    仿射变换

    仿射变换是指线性变换后接着平移。因此仿射变换的集合是线性变换的超集,任何线性变换都是仿射变换,但不是所有仿射变换都是线性变换。

    任何具有形式 v' = vM + b的 变换都是仿射变换。

    可逆变换

    如果存在一个逆变换可以”撤销“原变换,那么该变换是可逆的。换句话说,如果存在逆变换G,使得G(F(a)) = a,对于任意a,映射F(a) 是可逆的。

    存在非仿射变换的可逆变换,但暂不考虑它们。现在,我们集中精力于检测一个仿射变换是否可逆。一个仿射变换就是一个线性变换加上平移,显然,可以用 相反的量”撤销“平移部分,所以问题变为一个线性变换是否可逆。

    显然,除了投影以外,其他变换都能”撤销“。当物体被投影时,某一维有用的信息被抛弃了,而这些信息时不可能恢复的。因此,所有基本变换除了投影都 是可逆的。

    因为任意线性变换都能表达为矩阵,所以求逆变换等价于求矩阵的逆。如果矩阵是奇异的,则变换不可逆;可逆矩阵的行列式不为0。

    等角变换

    如果变换前后两向量夹角的大小和方向都不改变,该变换是等角的。只有平移,旋转和均匀缩放是等角变换。等角变换将会保持比例不变,镜像并不是等角变 换,因为尽管两向量夹角的大小不变,但夹角的方向改变了。所有等角变换都是仿射和可逆的。

    正交变换

    术语“正交”用来描述具有某种性质的矩阵。正交变换的基本思想是轴保持互相垂直,而且不进行缩放变换。

    平移、旋转和镜像是仅有的正交变换。长度、角度、面积和体积都保持不变。(尽管如此,但因为镜像变换被认为是正交变换,所以一定要密切注意角度、面 积和体积的准确定义)。

    正交矩阵的行列式为1或者负1,所有正交矩阵都是仿射和可逆的。

    刚体变换

    刚体变换只改变物体的位置和方向,不包括形状。所有长度、角度、面积和体积都不变。平移和旋转是仅有的刚体变换,镜像并不被认为是刚体变换。刚体变 换也被称作正规变换,所有刚体变换都是正交、等角、可逆和仿射的,某些刚体变换旋转矩阵的行列式为1。

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  • 旋转矩阵求欧拉角

    2015-09-06 20:40:22
    旋转矩阵求欧拉角, 用于有已知的旋转矩阵推算旋转角度。 对于任何形式的旋转矩阵有一定的参考价值。
  • 旋转矩阵算法

    千次阅读 2015-07-31 17:47:55
    旋转矩阵是计算机图形学里面的基础内容。之前我还写过一篇计算机图形学基础知识的总结 操作的步骤可以分为两部,一是沿正对角线对称,二是沿水平对称轴对称 原图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =...

    旋转矩阵是计算机图形学里面的基础内容。之前我还写过一篇计算机图形学基础知识的总结
    操作的步骤可以分为两部,一是沿正对角线对称,二是沿水平对称轴对称

    原图
    1 2 3 4
    5 6 7 8
    9 10 11 12
    13 14 15 16
    ==》第一步之后:

    1 5 9 13
    2 6 10 14
    3 7 11 15
    4 8 12 16

    ==》第二步之后:

    4 8 12 16
    3 7 11 15
    2 6 10 14
    1 5 9 13

    算法实现

    void swap(int& a, int&b){
        int temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }
    void rotate(int **a, int n){
        //n*n的矩阵
        //以主对角线为交换对称元素
        for (int row = 0; row < n-1; row++)
        {
            for (int col = row+1; col < n; col++)
            {
                swap(a[row][col], a[col][row]);
            }
        }
    
        for (int col = 0; col < n; col++)
        {
            for (int row = 0; row < n/2; row++)
            {
                swap(a[row][col], a[n - 1-row][col]);
            }
        }
    }

    实例测试

    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #include<cstring>
    void rotate(int** a, int n);
    int main(){
        int **a=(int**)malloc(sizeof(int*)*4);
    
        int num = 1;
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            a[i] = (int*)malloc(sizeof(int)* 4);
            for (int j = 0; j < 4; j++)
                a[i][j] = num++;
        }
    
        rotate(a, 4);
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            printf("\n");
            for (int j = 0; j < 4; j++)
                printf("%d ", a[i][j]);
        }
        system("pause");
        return 0;
    
    }

    多余的话
    有心人可以注意到一点,其实如果把函数rotate(int** a,int n)中的a类型修改为a[][4]的话会简单不少。这样在测试用例中传入a[4][4]即可,但是这样又限制了n。

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  • 三 计算旋转量 将(8)式用矩阵表示形式展开,可得: (由于旋转矩阵R是正交矩阵,因而有RRT= I)。同时可以知道上式中yiTRxi和xiTRTyi都是标量,而一个标量的转置仍然等于标量本身,因而有: 现在变成要求(11)式的...

    参考文献:http://igl.ethz.ch/projects/ARAP/svd_rot.pdf

    一 问题描述

    假设P={p1,p2,...,pn}和Q={q1,q2,...,qn}是两组Rd空间中的对应点集,现在想要根据这个两个点集的数据来计算出它们之间的刚性转置信息,可以知道这其实是一个最小二乘求优问题,问题可以用如下计算式描述:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    其中wi>0,是点集中每个点对的权重。

    要求(1)式中的最小值,即为求式中对R和t求导数为0的解。

    二 计算位移

    将(1)式中的R设为不变量对t进行求导,同时令F(t)=(R,t),对F(t)求导可得:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    从上可以看出,问题经过转化后变得更加简单,对原来的点集做一个减中心点的预处理,然后再求两个最小二乘的旋转量。

    三 计算旋转量

    将(8)式用矩阵表示形式展开,可得:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    (由于旋转矩阵R是正交矩阵,因而有RRT= I)。同时可以知道上式中yiTRxi和xiTRTyi都是标量,而一个标量的转置仍然等于标量本身,因而有:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    现在变成要求(11)式的最小值,而该式中只有一项与R有关,其他两项(xiTxi和yiTyi)都是常量,所以问题转换为求其中一项可变量的最小值,即

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    (14)式中的转换是将累加转换成矩阵相乘,其中W是n×n的对角矩阵,X和Y是3×n的矩阵,这些矩阵相乘后的迹就等于等式左边的值。同时,对于矩阵的迹,有如下变换关系:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    (18)式中最后一步的变换也用到了(15)式的性质。由于U、R、V都是正交矩阵,那么M=VTRU也是正交矩阵。

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    由上述两式可以知道,要求最大迹,就必须使得mii的值等于1,而M又是正交矩阵,那么M就必然是单位矩阵,即有

    I = M = VTRU  => V = RU ⇒ R = VUT(21)

    四 旋转结果校正

    到上面(21)式为止,求得的R是最优的正交矩阵,但是这个正交矩阵既可以是旋转矩阵,也可以是反射矩阵。反射矩阵参见博文“

    根据R的行列式值可以判断该结果是旋转矩阵还是反射矩阵,假如是反射矩阵,那么其行列式值就为-1。如果我们严格限定我们求解的必须是旋转矩阵,那么当前求解出来的反射矩阵就不符合要求。这个时候就必须求解下一个符合要求的最优解。

    将目标问题重新组织成如下形式:

    0818b9ca8b590ca3270a3433284dd417.png

    如果我们将mii当作变量,它的取值范围就是[-1,1]。函数f对于mii来说是线性的,所以它在定义域的边界上才取得极值。很显然对于所有的mii来说,所有都取1能取得最大的极值,但是该取值必须被排除(用这个得出的R是反射矩阵),那么下一个最优的(m11,m22,...,mdd)取值就是(1,1,...1,-1),即除最后一个值取-1外,其他的值仍然为1。

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    为什么是取最后一个mdd为-1,这是进行SVD分解之后,Σ矩阵里对角线上的值经过了排序的,即σd的值最小。

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  • 简单的旋转矩阵,用于彩票,包含源码,在配置文件中可以自定义旋转矩阵显示结果的格式 我的另一个资源,用算法自己生成: http://download.csdn.net/source/2773562
  • 全网唯一单文件旋转矩阵计算查询工具,可查询最多43选4到选7保3到保7所有组合的方案数据。
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  • java旋转矩阵

    千次阅读 2018-03-16 16:09:40
    旋转矩阵思路比较简单,其实就是按照人的思维方法(可能有更优解,但是我比较笨)其实就是一个数组,先从左到右,然后从上到下,然后从右到左,最后从下到上,循坏一周后减二接着循环,直到最大值到达n*n代码如下:...
  • 中六保六旋转方案 并不是用排列矩阵计算,而是用穷举法 还有中六保5 中六保4 中五保5 矩阵算法 复式奖金计算等
  • 这种方法没有平方根或三角函数调用,据报道比 Moller 和 Hughes 测试的任何其他矢量旋转矩阵方法都快。 实际上,在转换速度测试中,Goldman 方法(测试的最快方法)比此例程慢 50%。 工作示例: 单位向量 f: >> ...
  • #include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int data[100][100]; void Full(int number,int begin,int size) // 起始数字,起始下标,阶乘大小 { if(size==0){ ... d...
  • 给定一幅由N × N矩阵表示的图像,其中每个像素的大小为4字节,编写一种方法,将图像旋转90度。 不占用额外内存空间能否做到? 示例 1: 给定 matrix = [ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9] ], 原地旋转输入矩阵,使其...
  • 旋转矩阵求欧拉角的简单算法

    热门讨论 2009-12-14 19:29:37
    在视觉研究中,通常需要将解出的摄像机旋转矩阵(9元素表示)转换成欧拉角(3元素表示),以减少非线性自由度。这里提供了一种非常简单的求解方法,给定旋转矩阵,即可方便求出三个欧拉角(Z-Y-X旋转次序)。
  • 在求解涉及旋转的优化问题过程中,通过解线性方程组或者采用优化方法得到的旋转矩阵的数值解,往往没有考虑到正交约束,会得到一个存在误差的近似旋转矩阵,也就是说这个矩阵并不是一个严格正交的标准正交矩阵,不...
  • 旋转矩阵算法

    千次阅读 2007-04-24 13:23:00
    QUESTION:/* 1 2 3 412 13 14 511 16 15 610 9 8 7*/void func(int n)要求:通过传入的n,输出一个4*4的矩阵, 顺序如上图所示. CODE://NXN矩阵#include using namespace std;#include //#define MAXSIZE 4 ...
  • 六轴机器人空间旋转矩阵与欧拉角之间转换公式,算法在实际应用中得到了验证。
  • 旋转矩阵

    千次阅读 2019-10-29 12:07:46
    输入一个自然数N(2≤N≤9),要求输出旋转矩阵,即边长为N,元素取值为1至N*N,1在左上角,呈顺时针方向依次放置各元素。
  • 三维坐标系旋转——旋转矩阵到旋转角之间的换算

    万次阅读 多人点赞 2019-04-23 20:38:18
    旋转矩阵到旋转角之间的换算 solvepnp 单目三维位姿估计--------利用二维码求解相机世界坐标 solvepnp 单目三维位姿估计--------理论 在做单目三维位姿估计(即估计目标物相对相机的姿态或相机相对目标物的姿态...
  • 旋转向量求解旋转矩阵当刚体在三维空间中运动时,如果已知旋转向量,根据罗德里格斯公式是比较容易求得旋转矩阵的.罗德里格斯公式如图所示 其中,I 是单位矩阵,n 是旋转向量的单位向量, theta是旋转向量的模长.2. 旋转...
  • 想知道旋转矩阵的带入公式

    千次阅读 2020-12-30 17:12:34
    展开全部旋转矩阵是一种号码的组合方法,而不是选号方法旋转矩阵是根据数学的覆盖原理进e69da5e887aa3231313335323631343130323136353331333264623166行数字组合的一种方法,其核心是以最低的成本实现最大的效果。...
  • 已知不共线的三点在两个坐标系下面的坐标,求解 两个坐标系的转换参数,精度可满足一般程度上的定位需求。步骤清楚,可直接上手code
  • 旋转矩阵求导

    千次阅读 2016-05-11 11:46:03
    旋转矩阵求导,用于L-M优化

空空如也

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旋转矩阵算法