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  • 图论基础之有向图出入度计算

    千次阅读 2015-01-19 20:48:45
    题目是说,对于一个有向图,请用邻接矩阵存储并且输出各个顶点的出度和入度. 解题思路: 这题写出来就是为了好好学习下邻接矩阵的写法,毕竟邻接矩阵也是后续学习图论内容非常重要的一个知识环节. 什么是了...

    马上就开始去老校区进行数模培训了,听韩老师说,美赛很多题都是图论和网络流,于是打算近期恶补图论的相关知识了.

    题目是说,对于一个有向图,请用邻接矩阵存储并且输出各个顶点的出度和入度.


    解题思路:

    这题写出来就是为了好好学习下邻接矩阵的写法,毕竟邻接矩阵也是后续学习图论内容非常重要的一个知识环节.

    什么是了邻接矩阵呢?邻接矩阵说的就是对于一个图,把他的所有顶点都抽象出来成为V,把顶点与顶点间的关系抽象出来成为E,

    那么不同顶点间肯定会存在边的关系,于是这样,我们就能把这样的一个图通过二维矩阵来描述出来了,如果Edge[i][j]=1,表示这两个顶点之间有边相互连接,

    如果表示为0,表示这两个顶点之间没有边相互连接,好了,介绍完邻接矩阵后,再来看看顶点的出入度怎么求解了,我们知道,一个顶点的出入度可以分别从邻接矩阵中读出来了,究竟这个该怎么读呢?我们这样想,把第i个顶点的这一行的值加起来,就对这应了该顶点的出度,把第i个顶点的这一列的值加起来就对应了这个顶点的入度,那么这样一看的话,我们就能够很容易的计算出一个顶点的入度和出度了..



    代码:

    # include<cstdio>
    # include<iostream>
    # include<cstring>
    
    using namespace std;
    
    # define MAX 100
    
    int Edge[MAX][MAX];
    
    int main(void)
    {
        int n,m;//顶点和边数
        while ( cin>>n>>m )
        {
            int u,v;//边的起点和终点
            int od,id;//顶点的入度和出度
            if ( n == 0 && m == 0 )
                {
                    break;
                }
                memset( Edge,0,sizeof(Edge) );
                for ( int i = 1;i <= m;i++ )
                    {
                        cin>>u>>v;
                        Edge[u-1][v-1] = 1;
                    }
                    for ( int i = 0;i < n;i++ )
                        {
                            od = 0;
                            for ( int j = 0;j < m;j++ )
                                {
                                    od += Edge[i][j];
                                }
                            if ( i==0 )
                                cout<<od;
                                else
                                    cout<<" "<<od;
    
                        }
                        cout<<endl;
    
                        for ( int i = 0;i < n;i++ )
                            {
                                id = 0;
                                for ( int j = 0;j < n;j++ )
                                    {
                                        id += Edge[j][i];
                                    }
                                    if ( i == 0 )
                                        cout<<id;
                                        else
                                            cout<<" "<<id;
                            }
                            cout<<endl;
    
        }
    
        return 0;
    }
    


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  • Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得中任意一对顶点uv,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。 下是一个拓扑排序: 下不是一个拓扑排序: 如何获得一...
    1. 拓扑排序:对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。
      下图是一个拓扑排序:

      下图不是一个拓扑排序:


    2. 如何获得一个图的拓扑排序:找到图中所有入度为0的点,放入序列,删除这些点和以这些点为出度的边,再找所有入度为0的点,依次循环。
    3. 如何通过拓扑排序判断图中是否有环:拓扑排序之后,若还剩有点,则表示有环。

    4. leetcode代码:
      bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
              vector<set<int>> matrix(numCourses);
              for(int i=0; i<prerequisites.size(); i++)
                  matrix[prerequisites[i].second].insert(prerequisites[i].first);
                  
              vector<int> degree(numCourses, 0);
              for(int i=0; i<numCourses; i++)
                  for(auto it:matrix[i])
                      ++degree[it];
                      
              for(int i=0; i<numCourses; i++)
              {
                  int j;
                  for(j=0; j<numCourses && degree[j]!=0; ++j);
                  
                  if(j==numCourses) return false;
                  
                  degree[j] = -1;
                  
                  for(auto it:matrix[j])
                      --degree[it];
              }
                  
              return true;
          }

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    邻接矩阵
      邻接矩阵是为图服务的,记录了图间定顶点间的关系。图又分为有向图无向图

    有向图:

      概念:
       图中的每条边都是由方向的 ,所有边都有方向的图称为有向图。

      例图:
    在这里插入图片描述

    无向图:

      概念:
       图中的每一条边都是无方向的,以此构成的图就是无向图

      例图:
    ![在这里插入图片描述---(https://img-blog.csdnimg.cn/20190901085541378.png)

    怎么在邻接矩阵中查看度呢?
    概念:
       邻接矩阵就是为了表示图中各个顶点间的关系,有关系是1,没有关系是0.
      
    度:
       顶点的度就是该顶点的入度和出度之和
      
    入度:
       以该顶点为终点的有向边的数目。(其实就是被指向。——>自己)
      
    出度:
       以该顶点为起点的有向边的数目。(其实就是指出去 自己——>)

    看图:
      有向图邻接矩阵
      (与上图有向图例图一致)
    在这里插入图片描述
      如何依据临界矩阵推出某点的入度、出度、度呢

      以A为例。A的入度为1,出度为3。对应临界矩阵如下图
      A的入度:
        在这里插入图片描述
      A的出度:
        在这里插入图片描述
        总结:;邻接矩阵横向为该顶点的出度,纵向为该节点的入度,度=横向+纵向
    无向图邻接矩阵
        无向图没有入度和出度的概念,所以只涉及到度,下面叙述如何通过邻接矩阵找出无向图的度。
        无向图是一个中线对称的。
    在这里插入图片描述
        通过邻接矩阵我们可以看出,无向图是一个中埃及
        依旧以A为例,查看A的度。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
        因为无向图的特殊性所以它的横向和纵向是一一对应的,看度的话我们只需要选择其一看接可以

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  • 2019-10-28

    2019-10-28 10:48:49
    简单图: 1、图中没有环 2、图中不存在多重边,即起点和重点相同的边不能... 2、有向图中的所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。 无向图某个顶点度最多n-1,有向图某个顶点最多为2(n-1) 所有顶点的度之...
        

    简单图:

    1、图中没有环

    2、图中不存在多重边,即起点和重点相同的边不能多于一条。

    有向图顶点的度:

    1、有向图中顶点的度等于该顶点的入度和出度之和;

    2、有向图中的所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。

    无向图某个顶点度最多n-1,有向图某个顶点最多为2(n-1)

    所有顶点的度之和等于边数之和的2倍。

    1、有向图所有顶点的入度之和等于边数之和,所有顶点的出度之和等于边数之和

    2、任意一个图一定有偶数个(或零个)奇点。

    n个顶点,e条边的有向图,邻接表表示需要(n+e)个链表结点;

    对于n个顶点,e条边的无向图,邻接表表示需要(n+2e)个链表结点;

    //深度优先遍历

    void dfs(GRAPH &G,int v)

    {

    G.visited[v] = true;

    for(int t = FirstAdjVex(G,v);t != -1;t = NextAdjVex(G,v,t))

    {

        if(G.visited[t] == false)

                dfs(G,t);

    }

    }


    //广度优先遍历

    void bfs(GRAPH &G,int v)

    {

    CirQueue cq;

    InitQueue(cq);

    int t,k;

    if(G.visited[v] == false)

        G.visited[v] = true;

    EnQueue(cq,v);

    while(!IsEmpty(cq))

    {

        DeQueue(cq,&k);

      for(t = FirstAdjVex(G,k); t != -1; t = NextAdjVex(G,k,t))

    {

        if(G.visited[k] == false)

          {

                G.visited[t] = true;

                EnQueue(cq,t);

            }

    }

    }

    DestoryQueue(cq);

    }


    图的遍历的应用--从顶点v到顶点w找简单路径(深度优先遍历)

    图的遍历的应用--无权图中从顶点v到顶点w的最短路径(广度优先遍历)


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