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  • 在网络通信领域,信息包传递的路径选择问题也与最短路径问题息息相关.举个例子,OPSF开放路由选择协议,每个OPSF路由器都维护一个描述自治系统拓扑结构的数据库,通过这个数据库构建最短路径树来计算路由表,从而...
  • 文中给出了一种区域内布点的自动生成算法,可从背景点云中逐个选出符合区域几何特征的内部节点,其疏密变化通过边界点上的节点间距函数进行控制。最终生成的内部点云和边界点既可以用来做无网格计算,也可以结合波前...
  • K 最短路问题

    2020-11-02 20:56:50
    推荐与论文《A SHORTEST PATHS RANKING ALGORITHM》一起看会比较好理解。** 前K个最短路径生成方法: Step 1: 利用Dijkstra算法求得有向图(N,A)中以开始节点s为根的最短路径树,标记从开始节点s到结束节点t之间的...

    **转载sharpdew《https://blog.csdn.net/sharpdew/article/details/446510》
    在此基础上增加了一点自己的理解

    推荐与论文《A SHORTEST PATHS RANKING ALGORITHM》一起看会比较好理解。**

    前K个最短路径生成方法:
    Step 1:
    利用Dijkstra算法求得有向图(N,A)中以开始节点s为根的最短路径树,标记从开始节点s到结束节点t之间的最短路径为pk,K=1。
    在这里插入图片描述
    记录原点到当前节点k的最短路径πk和最短路径中节点k的前驱节点

    Step 2:
    如果k小于要求的最短路径的最大数目K,并且仍然有候选路径存在,令当前路径p=pk,转3。否则,程序结束。

    Step 3:
    找出当前路径p中从第一个节点开始的入度大于1的第一个节点,记为nh。
    如果nh的扩展节点n’h不在节点集N中,则转4;否则找出路径p中nh后面所有节点中,其对应的扩展节点不在N中的第一个节点,记为ni,转5。
    (入度:节点作为头部的连线数量,(i,j):i代表tail,j代表head)

    Step 4:
    为节点nh构建一个扩展节点n’h,并把其添加到集合N中。
    同时从图(N,A)中所有nh的前驱节点连接一条到n’h的弧,弧对应的权重不变,添加这些弧到弧集A中,但nh在p中的前一个节点nh-1除外。
    在这里插入图片描述

    计算从开始节点s到n’h的最短路径,并记ni=nh+1。
    在这里插入图片描述

    Step 5:
    对于p中从ni开始的所有后续节点,不妨记为nj,依次执行如下操作:
    Step 5.1 添加nj的扩展节点n’j到节点集合N中。
    Step 5.2 除了路径p中nj的前一个节点nj-1外,分别连接一条从nj前驱节点到其扩展节点n’j的弧,弧上的权值保持不变,并把这些弧添加到弧集A中。
    另外,如果p中nj的前一个节点nj-1具有扩展节点n’j-1的话,也需要连接一条从n’j-1到n’j的弧,权值和弧(nj-1,nj)的权值相等。
    在这里插入图片描述

    Step 5.3计算从开始节点s到n’j的最短路径。

    注:当节点nj为结束节点t时,由于t没有流出弧,因此去除t和其前驱节点的原有弧,生成新的弧:①前驱节点到t ②nj-1到t
    在这里插入图片描述

    Step 6:
    更新当前最短路径树,求得从开始节点s到结束节点的当前扩展节点之间的最短路径为第k条最短路径,令k=k+1,转2继续。

    注:在上述步骤4、5、6中均需要计算从开始节点到当前扩展节点的最短路径,因为程序开始时便生成了以开始节点为根的最短路径树,那么只要在扩充节点时,记录下每个新节点相对于开始节点的最短路径中其前一个节点编号,以及从开始节点到当前节点的最短路径长度。其中,最短路径长度通过下式计算:
    在这里插入图片描述

    因为从原点到当前节点的最短路径一定通过当前节点,而当前节点仅与前驱节点或前一个扩展节点(如果有)相连,因此,只要分别计算原点到前驱节点和前一个扩展节点的最短路径,再加上前驱节点和前一个扩展节点到当前节点的距离,将二者相比,即可得到当前节点的最短路径πk。
    由此,就可以很容易求得任意时刻有向图中从开始节点到结束节点(或其扩充节点)之间的最短路径(标号法)。

    在这里插入图片描述
    K=1

    在这里插入图片描述
    K=2

    在这里插入图片描述
    K=3
    在这里插入图片描述
    K=4
    在这HIKJO;L里插入图片描述
    K=5

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  • 最短路问题分析

    2017-07-25 15:42:25
    Dijkstra:适用于权值为非负的...SPFA:适用于权值有负值,且没有负圈的图的单源最短路径,论文中的复杂度O(kE),k为每个节点进入Queue的次数,且k一般,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的坏情况应该是O(VE).

    Dijkstra:适用于权值为非负的图的单源最短路径,用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV)
    BellmanFord:适用于权值有负值的图的单源最短路径,并且能够检测负圈,复杂度O(VE)
    SPFA:适用于权值有负值,且没有负圈的图的单源最短路径,论文中的复杂度O(kE),k为每个节点进入Queue的次数,且k一般<=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).
    Floyd:每对节点之间的最短路径。

    先给出结论:
    (1)当权值为非负时,用Dijkstra。
    (2)当权值有负值,且没有负圈,则用SPFA,SPFA能检测负圈,但是不能输出负圈。
    (3)当权值有负值,而且可能存在负圈,则用BellmanFord,能够检测并输出负圈。
    (4)SPFA检测负环:当存在一个点入队大于等于V次,则有负环,后面有证明。
    此段引用于:http://blog.csdn.net/xiazdong/article/details/8193680

    有的地方说SPFA几乎是万能的,但是上面的链接中的博客证明了SPFA最坏的时间复杂度其实是O(VE)的,在国际上SPFA称为Bellman—Ford的队列优化,所以通常来说,应该不会卡这个时间吧? 先用着吧,

    以上属个人见解,如有不对的,望指出,谢谢

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  • 论文研究-无向正权网络最短路模型的建立和理论分析.pdf, 路径问题是运筹学的重要分支, 更是图论学科成立的奠基问题.针对无向网络中的路径问题, 首先, 建立了无向正权...
  • 最短路

    2018-12-27 19:57:13
    Dijkstra:适用于权值为非负的图的单源最短路径,用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV) BellmanFord:适用于权值有负值的图的单源最短路径,并且...=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的坏情况应该是O(VE)....

    Dijkstra:适用于权值为非负的图的单源最短路径,用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV)
    BellmanFord:适用于权值有负值的图的单源最短路径,并且能够检测负圈,复杂度O(VE)
    SPFA:适用于权值有负值,且没有负圈的图的单源最短路径,论文中的复杂度O(kE),k为每个节点进入Queue的次数,且k一般<=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).
    Floyd:每对节点之间的最短路径。

    Bellman-Ford算法

    Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图 G=(V,E),其源点为s,加权函数 w 是边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路,算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径d[v]。

    Bellman-Ford算法流程分为三个阶段:

    (1)初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;
    (2)迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)

    (3)检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

    适用条件和范围:
      1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
      2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
      3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
      4.差分约束系统;

        bool bellman()  
        {  
            bool flag ;  
            for(int i=0;i<n-1;i++)  
            {  
                flag=false;  
                for(int j=0;j<all;j++) //穷举每条边 
                    if(dis[t[j].to]>dis[t[j].from]+t[j].vis) //松弛判断 
                    {  
                        dis[t[j].to]=dis[t[j].from]+t[j].vis;  //松弛操作 
                        flag=true;  
                    }  
                    if(!flag)  
                    break;  
            }  
            for(int k=0;k<all;k++) //对所有边进行一次遍历,判断是否有负回路 
            if(dis[t[k].to]>dis[t[k].from]+t[k].vis)  
            return true;  
            return false;  
        }  
    

    Dijkstra算法

    算法流程:
    (a) 初始化:用起点v到该顶点w的直接边(弧)初始化最短路径,否则设为∞;
    (b) 从未求得最短路径的终点中选择路径长度最小的终点u:即求得v到u的最短路径;
    © 修改最短路径:计算u的邻接点的最短路径,若(v,…,u)+(u,w)<(v,…,w),则以(v,…,u,w)代替。
    (d) 重复(b)-©,直到求得v到其余所有顶点的最短路径。
    特点:总是按照从小到大的顺序求得最短路径。

    假设一共有N个节点,出发结点为s,需要一个一维数组vis[N]来记录前一个节点序号,一个一维数组dis[N]来记录从原点到当前节点最短路径(初始值为s到Vi的边的权值,没有则为+∞),一个二维数组map[N][N]来记录各点之间边的权重,按以上流程更新map[N]和dis[N]。

        void dijs(int v)//v为原点   
        {  
            int i,j,k;  
            for(i=1;i<=n;i++)  
            dis[i]=map[v][i];//初始化   
            memset(vis,0,sizeof(vis));  
            vis[v]=1;  
            for(i=2;i<=n;i++)  
            {  
                int min=INF;  
                k=v;  
                for(j=1;j<=n;j++)  
                {  
                    if(!vis[j]&&min>dis[j])  
                    {  
                        k=j;  
                        min=dis[j];//在dis中找出最小值   
                     }   
                }  
                vis[k]=1;//使k为已生成终点   
                for(j=1;j<=n;j++)//修改dis   
                {  
                    if(dis[j]>dis[k]+map[k][j])  
                    dis[j]=dis[k]+map[k][j];  
                }  
            }  
        }  
    

    SPFA算法

    求最短路径的算法有许多种,除了排序外,恐怕是OI界中解决同一类问题算法最多的了。最熟悉的无疑是Dijkstra,接着是Bellman-Ford,它们都可以求出由一个源点向其他各点的最短路径;如果我们想要求出每一对顶点之间的最短路径的话,还可以用Floyd-Warshall。

    SPFA是这篇日志要写的一种算法,它的性能非常好,代码实现也并不复杂。特别是当图的规模大,用邻接矩阵存不下的时候,用SPFA则可以很方便地面对临接表。每个人都写过广搜,SPFA的实现和广搜非常相似。

    如何求得最短路径的长度值?

    首先说明,SPFA是一种单源最短路径算法,所以以下所说的“某点的最短路径长度”,指的是“某点到源点的最短路径长度”。

    我们记源点为S,由源点到达点i的“当前最短路径”为D[i],开始时将所有D[i]初始化为无穷大,D[S]则初始化为0。算法所要做的,就是在运行过程中,不断尝试减小D[]数组的元素,最终将其中每一个元素减小到实际的最短路径。

    过程中,我们要维护一个队列,开始时将源点置于队首,然后反复进行这样的操作,直到队列为空:

    (1)从队首取出一个结点u,扫描所有由u结点可以一步到达的结点,具体的扫描过程,随存储方式的不同而不同;

    (2)一旦发现有这样一个结点,记为v,满足D[v] > D[u] + w(u, v),则将D[v]的值减小,减小到和D[u] + w(u, v)相等。其中,w(u, v)为图中的边u-v的长度,由于u-v必相邻,所以这个长度一定已知(不然我们得到的也不叫一个完整的图);这种操作叫做松弛。

    引用内容 引用内容
    松弛操作的原理是著名的定理:“三角形两边之和大于第三边”,在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对i,j进行松弛,就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j],如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j],否则不动。

    (3)上一步中,我们认为我们“改进了”结点v的最短路径,结点v的当前路径长度D[v]相比于以前减小了一些,于是,与v相连的一些结点的路径长度可能会相应地减小。注意,是可能,而不是一定。但即使如此,我们仍然要将v加入到队列中等待处理,以保证这些结点的路径值在算法结束时被降至最优。当然,如果连接至v的边较多,算法运行中,结点v的路径长度可能会多次被改进,如果我们因此而将v加入队列多次,后续的工作无疑是冗余的。这样,就需要我们维护一个bool数组Inqueue[],来记录每一个结点是否已经在队列中。我们仅将尚未加入队列的点加入队列。

        void spfa()
        {
        	int i,k;
        	memset(vis,0,sizeof(vis));
        	for(i=1;i<=n;i++)
        		dis[i]=INF;//初始化 
        	dis[1]=0;
        	queue<int>q;//创建队列 
        	vis[1]=1;
        	q.push(1);//源点放入队尾 
        	 
        	while(!q.empty())
        	{
        		k=q.front();//从队首取出一个节点,扫描所有从该节点可以到达的终点 
        		q.pop();
        		vis[k]=0;
        		for(i=1;i<=n;i++)
        		{
        			if(dis[i]>dis[k]+map[k][i])//松弛判断 
        			{
        				dis[i]=dis[k]+map[k][i];//松弛操作 
        			    if(vis[i]==0)//判断这个点是否在队列里面,如果不在加入队列 
        			    {
        				    q.push(i);
        				    vis[i]=1;
        			    }
        			}
        			
        		}
        	}	
        }
    

    Floyd算法

    这里需要用到动态规划的思想,对于任何一个城市而言,i 到 j 的最短距离不外乎存在经过 i 与 j 之间的k和不经过k两种可能,所以可以令k=1,2,3,…,n(n是城市的数目),再检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值;在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的 i 到 k 与 k 到 j 的最短距离,因此d(ik)+d(kj)就是 i 到 j 经过k的最短距离。所以,若有d(ij)>d(ik)+d(kj),就表示从 i 出发经过 k 再到j的距离要比原来的 i 到 j 距离短,自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)<这里就是动态规划中的决策>,每当一个k查完了,d(ij)就是目前的 i 到 j 的最短距离。重复这一过程,最后当查完所有的k时,d(ij)里面存放的就是 i 到 j 之间的最短距离了<这就是动态规划中的记忆化搜索>。利用一个三重循环产生一个存储每个结点最短距离的矩阵.
    用三个for循环把问题解决了,但是有一个问题需要注意,那就是for循环的嵌套的顺序:我们可能随手就会写出这样的枚举程序,但是仔细考虑的话,会发现是有问题的:
    for i:=1 to n do
    for j:=1 to n do
    for k:=1 to n do
    问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了,假设一旦找到了i-p-j最短的距离后,i到j就相当处理完了,以后不会在改变了,一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了,所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序:
    for k:=1 to n do
    for i:=1 to n do
    for j:=1 to n do
    if …
    这样作的意义在于固定了k,把所有i到j而经过k的距离找出来,然后象开头所提到的那样进行比较和重写,因为k是在最外层的,所以会把所有的i到j都处理完后,才会移动到下一个K。

                for(i=0;i<=m;i++)
                for(j=0;j<=n;j++)
                map[i][j]=INF;//初始化 
        		for(k=1;k<=n;k++)//动态规划的思想  
                for(i=1;i<=n;i++)  
                for(j=1;j<=n;j++)  
                {  
                    if(i==j)  
                    continue;  
                    if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j])  
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];  
                }  
    

    作者:Calm微笑
    来源:CSDN
    原文:https://blog.csdn.net/yao1373446012/article/details/50773450

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  • 有关SPFA的介绍就掠过了吧,不是很赞同一些博主说是国内某人最先提出来,Bellman算法论文后面提及过队列优化的问题。 另外,不建议在没有负边权的情况下使用SPFA算法,某些水(sang)平(xin)很(bing)高(kuang...

    参考:https://blog.csdn.net/xunalove/article/details/70045815

    有关SPFA的介绍就掠过了吧,不是很赞同一些博主说是国内某人最先提出来,Bellman算法论文后面提及过队列优化的问题。

    另外,不建议在没有负边权的情况下使用SPFA算法,某些水(sang)平(xin)很(bing)高(kuang)的出题人可能会出卡SPFA的常数- -

    所以,在题目没有提及说有负边权的情况下,请使用堆优化的dijkstra。

    下面用图说一下SPFA的运行:

     

    #include<bits/stdc++.h>
    const long long inf=2147483647;
    const int maxn=10005;
    const int maxm=500005;
    using namespace std;
    int n,m,s,num_edge=0;
    int dis[maxn],vis[maxn],head[maxm],outqueue[maxm];//head表示边的序号,指的是当前以x为起点所最后引出的一条边。
    struct Edge
    {
      int next,to,dis;
    }edge[maxm];
    void addedge(int from,int to,int dis)
    { //倒着遍历
      edge[++num_edge].next=head[from]; //存储下一条出边
      edge[num_edge].to=to; 
      edge[num_edge].dis=dis; //权值
      head[from]=num_edge; //记录下一次的出边情况
    }
    bool spfa()
    {
      queue<int> q;
     
      for(int i=1; i<=n; i++)
      {
        dis[i]=inf; //初始化
        vis[i]=0;
      }
     
      q.push(s); dis[s]=0; vis[s]=1; //第一个顶点入队,进行标记
      while(!q.empty())
      {
        int u=q.front(); //取出队首
        q.pop(); vis[u]=0; //出队标记
        
       outqueue[u]++;
      if(outqueue[u]>n) return 0;//判断是否有负边权
       
        for(int i=head[u];i!=0;i=edge[i].next)//找这条边的同起点的上一条边
        {
          int v=edge[i].to;
          if(dis[v]>dis[u]+edge[i].dis) //如果有最短路就更改
          {
            dis[v]=dis[u]+edge[i].dis;
            if(vis[v]==0) //未入队则入队
            {
              vis[v]=1; //标记入队
              q.push(v);
            }
          }
        }
      }
      return 1;
    }
    int main()
    {
      cin>>n>>m>>s;
      for(int i=1; i<=m; i++)
      {
        int f,g,w;
        cin>>f>>g>>w;
        addedge(f,g,w);//无向边中结构体数组要开到边数的两倍
      }
      spfa();
      for(int i=1; i<=n; i++)
        if(s==i) cout<<0<<" ";
          else cout<<dis[i]<<" ";
      return 0;
    }

     head[x]是边的序号,指的是当前以x为起点所最后引出的一条边。

    转载于:https://www.cnblogs.com/Fylsea/p/9872961.html

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  • Dijkstra:适用于权值为非负的图的单源最短路径,用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV) BellmanFord:适用于权值有负值的图的单源最短路径,并且能够...=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的坏情况应该是O(VE...
  • 看到的结论: Dijkstra:适用于权值为非负的图的单源最短路径,用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV) BellmanFord:适用于权值有负值的图的单源最短路径,...=2,但此处的复杂度证明是有问题的,其实SPFA的坏情况应该...
  • 利用MATLAB/Simulink及播音主持论文http://www.xyclww.com/post/29.html,其仿真工具实现了包含风电场的电力系统动态仿真,仿真可以模拟风电场在各种风速扰动、负荷扰动下的出力变化,以及网络发生三相短路故障、断线...
  • 考虑到对带时间窗的有限车辆调度问题研究不足的事实,在建立了数学模型的基础上对传统的遗传算法(GA)进行改进:提出采用BellmanFord求最短路算法找出染色体所表示路径的最优组合形式;变异操作应用禁忌搜索算法(TS...
  • 小L的牛栏【题目描述】 小L通过泥萌的帮助,成功解决了二叉树的修改问题,并因此写了一篇论文, 成功报送了叉院(羡慕不?)。勤奋又勤思的他在研究生时期成功转系,考入了北京大学光华管理学院!毕业后,凭着自己...
  • jdfz-2978 第k短路(强)

    千次阅读 2015-08-27 10:25:35
    给出一个n个点m条边的有向图,求这个图点1到点n的严格第K短路; n 边权 链接 题解: 这是一个似乎十分经典的问题,但是普通的A*算法是会被卡的; 坏复杂度会达到O(SPFA(n,m)+KMlog(K+M))的(大概); ...
  • 在此基础上,针对两个状态间的最短路问题,给出了一种可并行运算且运算量较小的函数空间二分迭代法.为进一步地降低运算量,还讨论各权值之间的关系,并给出了一种能有效地简化网络结构的权值预处理方法.
  • 最短路问题的简便算法 用原始-对偶算法求解 用遗传算法求解最短路径问题 用遗传算法进行路径规划 遗传算法用于从EM雷达数据提取地下 等等......
  • 论文研究- 公共交通线路网多条最短路径算法.pdf, 一、引言 借助计算机这一先进工具,采用模拟方法进行公交线网的评价,是运用系统...传统上多采取求两小区间最短路的简化方法来解决该问题,这样的仿真结果一般和实际情况
  • 这是一片数学建模的论文,关于选址问题。用到了,图论的方法,关于最短路问题
  • 余远铭 -《最短路算法及其应用》 俞 鑫 -《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》 周戈林 -《浅谈类比思想》 周以苏 -《论反汇编在时间常数优化中的应用》 朱晨光 -《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 朱泽...
  • 用蚁群算法来解决网络可靠性优化中遍历所有节点的最短路可靠度问题和最可靠路径问题的研究中,并给出网络可靠度下界的一个估计。用MATLAB语言编程进行算法的实现和仿真。结果表明,用蚁群算法解决网络的可靠性问题是...
  • + [最短路](#最短路) + [欧拉路](#欧拉路) + [差分约束系统](#差分约束系统) + [平面图](#平面图) + [2-SAT](#2-sat) + [最小生成树](#最小生成树) + [二分图](#二分图) + [Voronoi图](#voronoi图) + [偶图...
  • 一种低能耗无线传感器网络QoS路由协议,郭琳,李腊元,为了解决无线传感器网络的能量瓶颈和QoS保障问题,本文提出了一种新的协议—MEC路由协议。该协议通过记录邻居节点到Sink节点的最短路
  • 余远铭:《最短路算法及其应用》 俞鑫:《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》 周戈林:《浅谈类比思想》 周以苏:《论反汇编在时间常数优化中的应用》 朱晨光:《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》 朱泽园:...
  • 考虑了给定费用下单设施点的灾民安置问题, 假设城市道路交通稳定的情况下转换成最短路树来处理, 结合反向定位的思想给出数学模型, 以最低费用安置所有的灾民。在此基础上以最小费用改善最大距离贪婪的原则来调整解, ...
  • 非线性降维方法是目前对降维研究有着重要影响的方法,但在降维过程中经常会遇到局部邻域信息量不足、短路和噪声干扰等问题,严重影响降维效果,很难广泛应用于真实数据的处理中。对以上问题分析发现,其主要原因在于...
  • 蚁群算法及其在TSP问题中的应用

    千次阅读 2018-07-01 21:42:38
    1、什么是蚁群算法 蚁群算法(ant colony optimization,ACO),又称蚂蚁算法,是一种用来在...自然界中蚁群觅食要经过若干条路径从蚁穴到达食物源,但是最终所有蚂蚁选择了一条最短路进行觅食。蚁群算法就是模拟自...
  • 蚁群算法在数学建模的应用,利用蚁群算法解决出租车路径规划问题,旅行商问题,背包问题,最短路问题,组合优化问题。文件内包含10篇论文

空空如也

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