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    CSR完全空间随机性最近邻距离分布理论(上)

    一、完全空间随机性

    满足以下两个假设条件的空间点模式,称为完全空间随机性(CSR–Complete space randomness ):
    (1)面积为|A|的平面区域A中的事件数量服从均为为 λ|A|的泊松分布(λ表示强度,每个单区域内的事件数量);
    (2)假设区域|A|中的N个事件为xi,那么xi是一个区域A上均匀分布的独立随机样本。
    通过(1),CSR可推断出事件的强度在平面上并不发生变化,由(2)CSR可推断出事件之间并没有内在的相互影响。

    二、CSR随机性检验

    若不采用图解法,而采用几种互补检验的非正式结合来对CSR进行检验,那么我们要求对显著性做单一评估,此时可假设达到的K阶显著水平(并不一定通过CSR独立检验)表示为 pj:1,...,k,并且令pmin 作为上述pj中的最小值,对应于CSR检验中的最显著检验,则有,在CSR下:

    pP{pminp}kp............(1)
    结合顺序统计量分布函数分析即:X(1) 为最小顺序统计量,X(n) 为最大顺序统计量,同时F(1)(x)F(n)(x)分别表示随机变量X(1)X(n) 的分布函数,则对任意的实数x,则有:
    F(n)(x)=P(X(n)x)=P(X(1)x,...,X(n)x)=i=1nP(Xix)=i=1nP(Xx)=Fn(x).....(2)
    F(1)(x)=P(X(1)x)=1P(X(1)>x)=1P(X(1)>x,...,X(n)>x)=1i=1nP(Xi>x)=1i=1nP(X>x)=1(P(X>x))n=1(1F(x))n...........(3)

    所以得到,在CSR下,对于K阶独立检验,(1)式概率严格表达如下:
    P{pminp}=1(1p)k..........(4)

    三、最近邻距离分布

    对于区域A中的n个事件,令yi 为从第 i 个事件到区域A中最近事件的距离。yi被称为“最近邻距离”。
    在CSR下,最近邻距离Y的理论分布取决于n和A,因为存在复杂的边界效应,该理论分布是不能用显示的数学形式表达。在CSR下,记|A|为区域A的面积。一个忽略边界效应的粗略估计给出一个事件落在一个特定事件距离小于y的概率为πy2|A|1.因为事件是独立分布的,加上参考上述分布函数分析,Y的一个近似分布函数则为:

    G(y)=1(1πy2|A|1)n1
    ,当n极大的时候,若记 λ=n|A|1,则分布函数可进一步近似为:
    G(y)=1expλπy2:y0.
    该步近似参照高数中等价无穷小,x 时,1λx)xeλ

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  • 计算布尔输入图像中每个区域与其最近邻居之间的最短距离。 还返回每对最近邻区域的最近 (x,y) 点对。
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    1.打开ArcMap软件。
    2.按照图片中的步骤操作输入最邻近分析Average Nearest Neighbor。
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    3.选中要操作的要素文件(点文件)。
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    4.按照要求选择和点击。
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    5.按照路径找到结果保存的html文件,双击html文件。
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  • 这里是采用依次寻找的方法,即第一个位置就放在x[0],依次放入后面的位置,如果满足的解的个数大于C,说明这个距离不够大,若否则说明这个d值取得最大。 所以程序最外层while 是个标准的二分程序,上面方的过程一...

    1:Aggressive cows

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    1000ms

     

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    描述

    Farmer John has built a new long barn, with N (2 <= N <= 100,000) stalls. The stalls are located along a straight line at positions x1,...,xN (0 <= xi <= 1,000,000,000).

    His C (2 <= C <= N) cows don't like this barn layout and become aggressive towards each other once put into a stall. To prevent the cows from hurting each other, FJ want to assign the cows to the stalls, such that the minimum distance between any two of them is as large as possible. What is the largest minimum distance?

    输入

    * Line 1: Two space-separated integers: N and C

    * Lines 2..N+1: Line i+1 contains an integer stall location, xi

    输出

    * Line 1: One integer: the largest minimum distance

    样例输入

    5 3
    1
    2
    8
    4
    9

    样例输出

    3

    提示

    OUTPUT DETAILS:

    FJ can put his 3 cows in the stalls at positions 1, 4 and 8, resulting in a minimum distance of 3.

    Huge input data,scanf is recommended.

     

    max(min\left | x_{i}-x_{j} \right |)

    题目求这个函数的极值,思路是直接枚举这个极大值d,假设这个最大值是d,那么寻找C个满足这个值的数组,直到找到目标。这里是采用依次寻找的方法,即第一个位置就放在x[0],依次放入后面的位置,如果满足的解的个数大于C,说明这个距离不够大,若否则说明这个d值取得最大。

    所以程序最外层while 是个标准的二分程序,上面方的过程一个for循环就能实现

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    #define maxn 100010
    int x[maxn];
    
    int main()
    {
    	int n, c;
    	scanf_s("%d %d", &n, &c);
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		scanf_s("%d", &x[i]);
    	}
    	sort(x, x + n);
    	int l = x[0];
    	int r = x[n - 1];
    	while (l<r)
    	{
    		int last = x[0];
    		int cnt = 1;
    		int mid = (l + r) / 2;
    		for (int i = 0; i<n; i++)
    		{
    			if (x[i] - last >= mid) 
    			{
    				cnt++;
    				last = x[i];
    			}
    		}
    		if (cnt >= c)
    			l = mid + 1;//在此最小距离下足以系下c头牛,说明可以尝试继续增大
    		else
    			r = mid;
    	}
    	printf("%d\n", l-1);
    	return 0;
    }

     

     

     

     

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  • 先求最近邻距离为 k k 的概率,任意一个样本点距离原点距离大于 k k 的概率为 r p − ( k r ) p r p = 1 − k r \frac{r^p-(kr)^p}{r^p} = 1-k^r ,那么全部样本点距离均大于 k k 的概率为 ( 1 − k p ) N (1-k^p)^N...

    本文章基本是对https://stats.stackexchange.com/questions/130998/explanation-of-formula-for-median-closest-point-to-origin-of-n-samples-from-unit 的翻译。
    解决问题为Element of Statistical Learning (ESL, https://web.stanford.edu/~hastie/ElemStatLearn/)课后习题2.3.


    题目简介

    Consider N data points uniformly distributed in a p-dimensional unit ball centered at the origin. Suppose we consider a nearest-neighbor estimate at the origin. The median distance from the origin to the closest data point is given by the expression

    d(p,N)=(1121/N)1/p

    简单翻译一下,p维空间有N个样本点,均匀分布。求离原点最近的点(/最近邻)到原点的距离的中值。

    解答

    先求最近邻距离为k的概率,任意一个样本点距离原点距离大于k的概率为rp(kr)prp=1kr,那么全部样本点距离均大于k的概率为(1kp)N
    对于连续变量,中值的意思是概率为1/2的点,所以解(1kp)N=1/2即可得到公式:

    d(p,N)=(1121/N)1/p

    另注:中值与期望不同,这里为了解题方便,使用中值近似整个数据集的性质。

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空空如也

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最近邻距离