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  • 利用Matlab描述和求解传递函数

    千次阅读 多人点赞 2020-11-07 18:44:09
    有理多项式模型 在MATLAB中,传递函数可以方便地由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量唯一确定出来,即 num = [b0,b1,…bm]; den=[1,a1,…,an]。 则在MATLANB中G(s)可直接用num/den表示,即G(s) = num/...

    系统数学模型表示形式

    • 有理多项式模型
      在这里插入图片描述
      在MATLAB中,传递函数可以方便地由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量唯一确定出来,即 num = [b0,b1,…bm]; den=[1,a1,…,an]。
      则在MATLANB中G(s)可直接用num/den表示,即G(s) = num/den

    • 零-极点模型
      在这里插入图片描述
      在MATLAB下,零-极点模型可以由零点、极点和增益所构成的列向量唯一确定出来,即
      Z = [z1;z2;…;zm]; P = [p1;p2;…;pm]; K = K
      其中,Z为零点,P为极点,K为增益

    MATLAB函数

    1、多项式乘法运算函数:conv()

    • 当传递函数的分子或分母由若干个多项式相乘表示时,可以直接调用

    • 调用格式:p = conv(p1,p2)。其中p1,p2为多项式系数构成的向量

    • conv()允许多级嵌套

      举个例子:某个函数的分子为(s^2+6s+6)(s ^2+6s+6),若p1 = [1,6,6]; p2 = [1,6,6];
      p=conv(p1,p2),则p可表示该函数分子唯一确定的向量。

    2、系统数学模型

    • 传递函数模型(有理多项式):tf()。调用格式:Gtf = tf(num,den)
    • 零-极点模型:zpk()。调用格式:Gzpk = zpk(Z,P,K)或Gzpk = zpk(Gtf)
    • 状态方程模型:ss()。调用格式:Gss = ss(A,B,C,D)或Gss = ss(Gtf)

    3、模型间的转换

    • 传递函数模型转零-极点模型:tf2zp()。调用格式:[Z,P,K] = tf2zp(num,den)或Gzpk = tf2zp(Gtf)
    • 传递函数模型转状态方程模型:tf2ss()。调用格式:[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)或Gss = tf2ss(Gtf)
    • 零-极点模型转传递函数模型:zp2tf()。调用格式:[num,den] = zp2tf(Z,P,K)或Gzpk = zp2tf(Gtf)

    4、化简系统数学模型

    • 串联连接环节合并:series()。调用格式:[num,den] =series(num1,den1,num2,den2)
    • 并联连接环节合并:parallel()。调用格式:[num,den] = parallel(num1,den1,num2,den2)
    • 反馈连接环节合并:feedback()。调用格式:[num,den] = feedback(num1,den1,num2,den2,sign)
    • 下面举一个并联的例子来帮助理解:求G(s)。
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      在MATLAB编写以下代码:
      在这里插入图片描述
      运行如下:
      在这里插入图片描述
      注意:所得的Gtf,可以转换成Gzpk或Gss,可按上面“系统数学模型”或“模型间的转换”中的方法进行转换。

    5、怎么记忆这些函数?
    其实这些函数就是英文的缩写。例如,传递函数模型:tf(),其英文全称为transfer funtion。

    综合举例

    在这里插入图片描述
    在MATLAB中编写以下代码:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    运行结果如下:
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    在MATLAB中编写如下代码:
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    运行结果如下:
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    在MATLAB编写如下代码
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    运行结果如下:
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    使用worldview-2立体像对生成dem和正射影像

    自己虽然本科学习过摄影测量课程,对理论也还是熟悉,但使用卫星影像生成dem还是头一次做,发现光有理论还是很不够的。

    无人机影像与卫片的区别

    卫星影像经常直接给出RPC文件(也就是有理多项式模型的系数),这个在课本上当时真的没学过,因为课本讲的都是无人机影像。我查了一下,基本是说这个文件直接给出了影像行列号和地理坐标的对应关系。这里的地理坐标是3维的,也就是含有高程。
    这样理论上,对卫星影像不需要地面控制点就可以直接正射纠正了,但精度往往不够。无人机影像经常是需要使用地面控制点来计算内、外方位元素。

    选用的软件

    我记得自己上课时用的软件时武大做的,但现在市面上基本不用了。做摄影测量主流的两款软件:TrimblePhotogrammetry和PCI Geomatics。前者主要适用于无人机影像,最新版的也支持卫星影像。但是网上教程不多,关键是它必须要添加地面控制点,否者不能计算。而我这里对精度要求没那么高,况且之前也没去测控制点。所以选用了后者。当然envi貌似也能做,但没有这两款软件强大。

    生成dem

    基于worldview-2立体像对用PCI生成dem的论文和教程都很多。我就不在这里说了。大致就是选择选择卫星校正模型(从影像获取),然后导入影像,生成连接点TP(这里没有用控制点)。计算模型,生成核线影像,组后就是生成dem了。这里唯一需要注意的是PCI直接生成的dem地理坐标是不对的,一定要勾选它的地理编码的dem,我当时很奇怪这是个啥意思,也不知道是不是PCI自己起的名字。直接生成dem有两个图层,一个是影像,一个是dem(准确地说是dsm),可以方便地对照影像就行编辑,一般编辑去掉房屋什么的才是真的dem。

    正射纠正

    这里的操作其实也很简单。选好影像与生成的dem就可以了。关键的一个问题是选DEM还是DSM去纠正。特别是在高楼密集的城市里,这个问题比较矛盾。虽然我们平时课本上学的是用dem纠正,但房屋过高时,很明显也会带来比较严重的视差,如果将地面高程直接当作房屋或者道路的高程的话,最后纠正的影像依然会有扭曲。

    这里写图片描述
    按照这个道理必须使用DSM才能得到正确的正射纠正。但这里依然存在一个很大的问题,那就是由于倾斜摄影造成的遮挡是没有办法补全的,而纠正时计算机只能强行从周边像元去采样,因此会造成残影现象:
    这里写图片描述

    所以一个简单的正射纠正里面其实还是有很多问题的,现在主流的方法是利用多角度影像去补偿那些被遮挡的部分。但是PCI软件似乎没有这个功能。所以也就只能作罢了,有兴趣的同学可以搜索一下这方面的论文。提一张别人论文里的通过多张相片补偿后的结果,效果还是较好的:
    这里写图片描述

    PS:第一次写,有不对的地方欢迎拍砖。

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    理论:

    1、在线性系统理论中,常用的描述系统的数学模型为传递函数, 其形式有:

    1)有理多项式分式表达式

    2)零极点增益表达式 这些模型之间都有着内在的联系,可以相互进行转换。

     

    2、不同形式之间模型转换的函数包括:

    1tf2zp:多项式传递函数模型转换为零极点增益模型。

     格式为:[z,p,k]=tf2zp(num,den)

    2zp2tf:零极点增益模型转换为多项式传递函数模型。

     格式为:[num,den]=zp2tf(z,p,k)

    3)环节串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数的求取有多种方式,结果相同。


    实操:

    一、进行 2 例传递函数模型的输入,并实现有理多项式模型和零极点增益模型间的转换。


    1例.

    num=conv([3,2],conv([3,2],[2,4,6])); 
    den=conv([2,0],conv([2,2],conv([2,3,3],[2,3,3])));
    sys=tf(num,den)
    [z,p,k]=tf2zp(num,den); 
    sys=zpk(z,p,k)




    2例.

    num=3*conv([6,6],conv([6,6],[1,2,3])); 
    den=conv([1,2],conv([1,3],conv([2,3,3],[2,3,3])));
    sys=tf(num,den)
    [z,p,k]=tf2zp(num,den); 
    sys=zpk(z,p,k)




    二、自行确定 2 个传递函数,实现传递函数的录入, 求取它们在串联、并联、 (正负)反馈连接时等效的整体传递函数。要求分别采用有理多项式模型和零极点增益模型两种传递函数形式实现。


    num1=3;den1=[5 9];num2=5;den2=[2 3 3];
    G1=tf(num1,den1)
    G2=tf(num2,den2)
    GA=G1*G2
    GB=G1+G2
    [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1), printsys(num,den)
    [z1,p1,k1]=tf2zp(num1,den1); 
    G3=zpk(z1,p1,k1)
    [z2,p2,k2]=tf2zp(num2,den2); 
    G4=zpk(z2,p2,k2)
    GD=series(G3,G4)
    GE=parallel(G3,G4)
    GF=feedback(G3,G4,-1)


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    控制论的基本哲学是:对于一个未知的黑箱系统,仍然可以根据观察建立控制模型,简言之,即控制有理。无论是物理系统,生物系统,社会系统,其控制的机理是一致的。这里所强调的是一种广义的建模,即我们并不寻求该系统本质上的物理模型,而是寻求一种"有用"的模型。实际上,在数学上早已准备好了多种广义模型系列,最典型的Taylor展开可以建立不同级次的多项式模型,我们所要做的只是根据不同的需要去做拟合。
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有理多项式模型