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  • 有界函数和无界函数

    千次阅读 2019-10-23 21:48:40
    0,使得|ƒ(x)|≤M,则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。例子 正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数,因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1。 什么是无界函数? 函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有...

    什么是有界函数?
    设ƒ(x)是区间E上的函数。若对于任意属于E的x,存在常数M>0,使得|ƒ(x)|≤M,则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。
    例子
    正弦函数sin x 和余弦函数cos x为R上的有界函数,因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1。


    什么是无界函数?
    函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有下界);或者既没有上界又没有下界,称f(x)在定义域上无界,在定义域无界的函数称为无界函数 。
    例子
    f(x)=tanx在(-π/2,π/2)。

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  • 我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。函数的三种运算 函数的四则运算 复合运算 求逆运算函数的基本性质:单调性 有界性 奇偶性 周期性函数的...
    函数的传统定义:

    设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量。

    我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。

    函数的三种运算 函数的四则运算 复合运算 求逆运算
    函数的基本性质:单调性 有界性 奇偶性 周期性

    函数的近代定义:

    设A,B都是非空的数的集合,f:x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,原象集合A叫做函数f(x)的定义域,象集合C叫做函数f(x)的值域,显然有CB。

    符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为:

    x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式,在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表示。

    对函数概念的理解

    函数的两个定义本质是一致的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样,就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

    由函数的近代定义可知,函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。y=f(x)的意义是:y等于x在法则f下的对应值,而f是“对应”得以实现的方法和途径,是联系x与y的纽带,所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则,这是无关紧要的。

    函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围,它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后,函数的值域也就随之确定了。因此,定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可。只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:

    1)定义域不同,两个函数也就不同;

    2)对应法则不同,两个函数也是不同的;

    3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则。

    例如:函数y=x+1与y=2x+1,其定义域都是x∈R,值域都为y∈R。也就是说,这两个函数的定义域和值域相同,但它们的对应法则是不同的,因此不能说这两个函数是同一个函数。

    定义域A,值域C以及从A到C的对应法则f,称为函数的三要素。由于值域可由定义域和对应法则唯一确定。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数。

    例如:在①y=x与 ,② 与 ,③y=x+1与 ,④y=x0与y=1,⑤y=|x|与 这五组函数中,只有⑤表示同一函数。

    f(x)与f(a)的区别与联系

    f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量。而f(x)是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值。如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一常数。

    当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时,该解析式不能正确施加法则。

    比如f(x)=x2+1,左端是对x施加法则,右端也是关于x的解析式,这时此式是以x为自变量的函数的解析式;而对于f(x+1)=3x2+2x+1,左端表示对x+1施加法则,右端是关于x的解析式,二者并不统一,这时此式既不是关于x的函数解析式,也不是关于x+1的函数解析式。

    函数的定义域:

    定义:

    原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,即自变量的允许值范围。

    当函数用解析式给出时,定义域就是使式子有意义的自变量的允许值的集合。

    求定义域:

    求定义域的三种基本方法:

    一是依据函数解析式中所包含的运算(除法、开平方等)对自变量的制约要求,通过解不等式(组)求得定义域;

    二是依据确定函数y=f(x)的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求,通过解不等式(组)求得定义域;

    三是根据问题的实际意义,规定自变量的取值范围,求得定义域。

    如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的,那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合。对含参数的函数求定义域(或已知定义域,求字母参数的取值范围)时,必须对参数的取值进行讨论。

    当函数由实际问题给出时,其定义域由实际问题确定。

    函数的值域:

    定义:

    象的集合C(C B)叫做函数y=f(x)的值域,即函数值的变化范围。

    求值域的基本方法:

    依据各类基本函数的值域,通过不等式的变换,确定函数值的取值范围,在这一过程中,充分利用函数图像的直观性,能有助于结论的得出和检验。从定义域出发,利用函数的单调性,是探求函数值域的通法
    复合函数
    也称为函数的函数

     

     

    反函数 

     

    集合的映射关系:

    单射就是只能一对一,不能多对一

    满射只要Y中的元素在X中都能找到原像就行了(一对一,多对一都行).

    双射就是既是单射又是满射(一个对一个,每个都不漏掉).

     

    反函数定义 

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/jstong/p/8986877.html

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  • 文中给出有界变差函数的定义,并证明至多有可去间断点的单调函数和满足利普希茨条件的函数都是有界变差函数;建立了有界变差函数的小波级数的部分和的收敛性与收敛速度,并得出至多有可去间断点的单调函数与满足利普...
  • δ}= N(a,δ)\{a}二:函数的概念函数的定义:设两个数集 X,Y,f是一个确定的对应规律,x属于X,通过对应法则f 都唯一一个y属于Y,与x对应,记为x->y ,或f(x) = y, 则称对应法则f为定义在X上的函数其中X...
    视频02


    去心邻域 把N(a,δ)的中心店a去掉,称为a的去心邻域,记为N(a^,δ) = {x|0<|x-a|<δ}
    = N(a,δ)\{a}


    二:函数的概念
    函数的定义:
    设有两个数集 X,Y,f是一个确定的对应规律,x属于X,通过对应法则f 都有唯一一个y属于Y,
    与x对应,记为x->y ,或f(x) = y, 则称对应法则f为定义在X上的函数
    其中X称为函数f的定义域,常记为Df
    x-自变量-y 因变量当x 遍取X 中的一切数时,那么与之对应的y值构成一个数集,
    记为Vf={y|y=f(x),x属于X}
    则称Vf为函数f 的值域


    注意:一个函数是由x,y 的对应法则,与x的取值范围X所确定的,把对应法则f还有函数的定义域称为
    函数定义中的两个要素


    y=arcsin(x^2+2) : 无定义域 不构成函数
    判断两个函数是否相同
    y=lnx^2 Df=(-∞,0),(0,∞)
    y=2lnx Df=(0,+∞)


    (2) 函数的值域
    函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的


    (3) 求函数的定义域应该注意两点
    函数有实际的意义, 依据实际的问题是否有意义来确定
    A=πx^2 x 属于 0,+∞
    没有实际意义 ,使函数y=f(x)成立的一切实数所构成的集合
    函数几何意义 设函数y=f(x),定义域为Df,x属于Df,对应的函数值y
    在xo一面上得点(x,y),当x遍取Df中的一切实数时,就得点集P。
    P={(x,y)|y=f(x),x属于Df}
    点集P称为函数y=f(x)的图形


    三、函数的几个简单性质
    1、函数的有界性
    若存在 M >0 . 使得 |f(x)| <= M,x 属于I,
    则称y=f(x)上在区间I 上是有界的。否则成f(x)上是无界的,即
    对任何一个正数M,(无论多么大),总存在一个点x属于I,始终存在|f(x)|>M
    ,则称f(x)在区间I上无界。
    例如:y=sinx 在 I= (-∞,+∞) 上 是有界的 
    y=1/x^2+1


    y=1/x 在区间(0,1)上是无界的
    证明



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  • 定义于区问1二[-1,1]上的实值函数f,若它的一切Lagrange插值多项式在BMO(1)范数下一致有界,则称f为完全BMO一有界函数。本文引人这一概念并讨论这类函数的性质。
  • 有界的振动函数不确定走势下的确定结果,王小舟,,本文给出了振动函数的定义,找到了有界的振动函数不确定走势下的确定的结果。在股票市场上如果以博取差价为赢利的手段,这个结果
  • 证明一元函数有界方法

    千次阅读 2019-09-08 17:00:05
    有界函数是设f(x)是区间E上函数,若对于任意x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上下界,M称为f(x)在区间E上上界。 有界函数并不一定是连续。根据...

    大学生数学竞赛(非数学)证明一元函数有界性常用方法

    什么是有界函数:

    有界函数是设f(x)是区间E上的函数,若对于任意的x属于E,存在常数m、M,使得m≤f(x)≤M,则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界,M称为f(x)在区间E上的上界。
    有界函数并不一定是连续的。根据定义,ƒ在D上有上(下)界,则意味着值域ƒ(D)是一个有上(下)界的数集。根据确界原理,ƒ在定义域上有上(下)确界。一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。

    1.闭区间的连续函数必有界

    2.可积函数必有界

    此处的可积函数是指函数普通的定积分,广义积分不包括在内。
    反之不成立,有界函数不一定可积。

    原因如下:

    可以假设这样一个函数
    f(x)=1(x是有理数的时候);=0(x是无理数的时候)(该函数为狄利克雷函数)
    那么f(x)在x为任意实数的时候,只有1和0两种取值,所以f(x)是有界的。
    但是在任意区间内(无论是开区间还是闭区间),都有无数个有理数和无理数。所以f(x)在任意区间内有无数个间断点,所以这个函数在任意区间内不可积。

    3.可导函数一定有界

    一元函数中,可导函数即能推出连续,由连续性,使用1,即可推出函数有界。

    总结:

    一元微积分里面,可积<连续<可微=可导,而可积必有界,
    对连续函数而言,需要在一定条件下才是有界的(如闭区间上的连续)

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  • 则称函数y=f(x)在D上有界,亦称f(x)在D上是有界函数.如果不存在这样正数M,则称函数y=f(x)在D上无界,亦称f(x)在D上是无界函数。 下面看例题: 例1:y=x/(1+x^2) 解: 定义域为R 整理为y=1/[(1/x)+x] 因为分母中 [(1/...
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  • 算法:有关函数渐近的界

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  • 函数

    2018-12-05 15:02:08
    定义:设y=f(x),x∈Dy=f(x),x\in Dy=f(x),x∈D,∃\exist∃常数N≤MN\leq MN≤M,∀x∈D\forall x \in D∀x∈D,都有N≤f(x)≤MN\leq f(x) \leq MN≤f(x)≤M,称f(x)f(x)f(x)是DDD上的有界函数,NNN称为f(x)f(x)f(x)一...
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    2021-01-24 15:35:51
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空空如也

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有界函数的定义