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  • 有趣的数学问题-鸽巢原理 鸽巢原理,也称抽屉原理。形象地说明一下:假设有n个鸽笼,有kn+1只鸽子,将所有的鸽子都放入笼子里,那么至少有一个笼子最少装有k+1只鸽子。 常见形式: 1、把多于n+1只鸽子...

    鸽巢原理,也称抽屉原理。形象地说明一下:假设有n个鸽笼,有kn+1只鸽子,将所有的鸽子都放入笼子里,那么至少有一个笼子最少装有k+1只鸽子。

    常见形式:

    1、把多于n+1只鸽子放到n个笼子里,则至少有一个笼子里不少于两只鸽子。

    2、把多于m*n只鸽子放到n个笼子里,则至少有一个笼子里有不少于m+1只鸽子。

    3、把m*n-1只鸽子放到n个笼子中,其中必须有一个笼子至多有m-1只鸽子。

    相关趣味数学题:

    1)同一年出生的400人中至少有2个人的生日相同。

    2) 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理。

    从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔、兔)、(兔、熊猫)、(兔、长颈鹿)、(熊猫、熊猫)、(熊猫、长颈鹿)、(长颈鹿、长颈鹿)。把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据形式1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同。

    3) 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。

    能构成34的偶数对为(4,30)、(6,28)、(8,26)、(10,24)、(12,22)、(14,20)、(16,18)共7对,这样还剩下一个2无法组队。取9个数,假如取2,剩下的数便从7个偶数对中选取8个,将偶数对看作抽屉,选取的8个数看作物品,类似于形式1。所以任意选9个数,必有两个数之和为34。

    4) 从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。

    分析与解答 根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉(显然,它们具有上述性质):
    {1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。
    从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。

    5)某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

    共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次。不管是前一种状态0、1、2、…、n-2,还是后一种状态1、2、3、…、n-1,握手次数都只有n-1种情况。把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。

    6)15个网球分成数量不同的4堆,数量最多的一堆至少有多少个球?

    15可分拆多少种4个互不相同的整数之和,而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6,所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6,其中至少有6个。

    7)证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。

    在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数。根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同。我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉。任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数。

    8)对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。

    任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:【0】、【1】、【2】

    若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数),我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5),其和(3+4+5=12)必能被3整除。

    若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉至少包含有3个余数(抽屉原理),即一个抽屉包含1个余数,另一个包含4个,或者一个包含2个余数另一个抽屉包含3个。从余数多的那个抽屉里选出三个余数,其代数和或为0,或为3,或为6,均为3的倍数,故所对应的3个自然数之和是3的倍数。

    若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,从此抽屉中任意取出三个余数,同情况②,余数之和可被3整除,故其对应的3个自然数之和能被3整除。

    9)任意给定7个不同的自然数,求证其中必有两个整数,其和或差是10的倍数。

    注意到这些数除以10的余数即个位数字,以0,1,…,9为标准制造10个抽屉,标以[0],[1],…,[9]。若有两数落入同一抽屉,其差是10的倍数,只是仅有7个自然数,似不便运用抽屉原则,再作调整:[6],[7],[8],[9]四个抽屉分别与[4],[3],[2],[1]合并,则可保证至少有一个抽屉里有两个数,它们的和或差是10的倍数。

    10)正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同。

    正方形有6个面 由最多[(m-1)÷n]+1,得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3。

    11)有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

    首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况,可以有:3黑,2黑1白,1黑2白,3白共4种配组情况,看作4个抽屉.根据抽屉原理,至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里,也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

    12)木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色不相同,则最少要取出多少个球?

    把3种颜色看作3个抽屉,要符合题意,则小球的数目必须大于7,故至少取出8个小球才能符合要求。

    13)一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?

    点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张,再取大王、小王各1张,一共15张,这15张牌中,没有两张的点数相同。这样,如果任意再取1张的话,它的点数必为1~13中的一个,于是有2张点数相同。

    14)11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同。

    若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同。

    15)有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:一定有两个运动员积分相同。

    设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分,则一定有两名运动员得分相同。

    16)一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?

    根据抽屉原理,当每次取出4张牌时,则至少可以保障每种花色一样一张,按此类推,当取出12张牌时,则至少可以保障每种花色一样三张,但还要加上大小怪,所以当抽取第15张牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4张牌是同一种花色。

    posted on 2016-04-07 16:52 RunningSnail 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

    转载于:https://www.cnblogs.com/tgycoder/p/5364305.html

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  • “SKU”在商业活动中几乎无处不在,开发过商品系统开发者也一定接触过。简而言之,SKU就是商品编码,它在企业系统体系内具有唯一性。业务场景有时,企业需要两套甚至多套SKU,例如,编号为ABC商品,在企业...

    “SKU”在商业活动中几乎无处不在,开发过商品系统的开发者也一定接触过。简而言之,SKU就是商品编码,它在企业的系统体系内具有唯一性。



    业务场景

    有时,企业需要两套甚至多套的SKU,例如,编号为ABC的商品,在企业内部使用ABC作为编码,在大陆销售时用ABC-1,但在海外销售时用ABC-2。甚至,由于业务需要,每套编码要看起来完全没有关联、没有规律可循,例如,编码ABC转化后变成CKR。



    问题

    在信息化系统中,要如何架构商品的SKU模块,以保证相关的SKU最终能够回溯到原初的那个SKU编码?



    方案

    方法

    说明

    优劣

    数据库记录

    一一对应记录原始SKU和转化后的SKU。

    数据量大、需要保全关联数据的安全。

    算法

    算法能够将SKU转化成输出编码,同时输出编码也能还原成原始SKU。

    无需数据库、只需保证初始配置、算法不泄露。


    我采用的是“算法”的方案:SKU有且只有一套,针对不同的应用场景配置不同的算法,得到新的SKU;反之,算法逆运算也能从新SKU还原出原始SKU(简称原SKU)。



    算法


    格式约束

    SKU只允许由字母、数字、横杆线组成,横杆线不参与格式转化。


    单元编码(转化原料)

    字母(序列): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

    数字(序列): 0123456789

    符号(序列): -


    示例

    原SKU: X-A68NB


    偏移法

    这是最简单的算法。假设偏移值为2,那么A转化为C,Z转化为B,6转化为8,8转化为0,以此类推。负数偏移的情形也是一样,D转化为B,5转化为3。


    翻转法

    想象一下单元编码中的字母都写在纸张上,将纸张180°翻转后,得到倒序排列的字母序列:Z-A。两个序列字母数量一样,原序列中的每个字母根据自身的位置都能在倒序序列中找到对应字母,本文中,我将这种方式称作“倒序匹配”。数字的情形也是一样,值得一题的是,每个字母(或数字)在倒序序列中对应的字母一定和自己不一样,因为字母的总数是偶数。

    翻转法,就是用倒序序列中的对应字母、数字替代原来的字母、数字。例如,A转化为Z,4转化为5,0转化为9。


    数学原理

    翻转其实也是偏移法,只是计算的方式有区,偏移法是在直接偏移原有的位置,翻转法是用原位置到终点的距离作为偏移值。例如,X在26个字母中的位置是24,它和终点字母Z有2个偏移的距离。

    单元编码是有序的,算法规则也是有序并且可逆的,那么所有的设计算法这一定也是有序的。算法的本质,是找出单个字符的对应字符,其方法不是在有序的原序列中找对应字符,就是在有序的倒序序列中找对应字符。据此分析,我们可以推断:偏移法是所有复杂算法的根基,其他算法最终肯定会使用到偏移法。



    高级算法


    混合法

    偏移翻转或翻转偏移,前者是先偏移再翻转,后者是先翻转再偏移。


    截断偏移法

    假设截断点为3,那么,前3位按照偏移值“2”转化,3位之后的字符都按照“-1”的偏移值转化。


    截断翻转偏移法

    假设截断点为3,那么,前3位用偏移法,3位之后用翻转法。


    奇偶数位置混合法

    每个字符在原序列中的位置,不是奇数就是偶数,如果偏移值是奇数,那么转化后,奇数位置一定变为偶数位置,,偶数位置也变为奇数位置。例如,偏移值为1,那么A将转化为B,位置由偶数0变为奇数1,4转化为5,位置由奇数5变为偶数6。

    同时,一旦使用翻转法,奇数位置的字符转化后的字母在原序列中一定是偶数位置,反之也成立。例如,A的位置是0,翻转后是Z,位置是25;7的位置是7,翻转后是位置为2的2。

    基于上述特征,当偏移值为奇数时,偶数位置的字符采用翻转法,强制转化为奇数位置的字符,奇数位置的字符采用偏移法,位置转化为偶数。还原的时候,则要按照偶数偏移成奇数、奇数翻转成偶数的规则。


    更多

    现在,我们能够基于最基本“偏移法”开始衍生出更多复杂的算法,但务必保证算法是可逆的。假设使用“甲->乙->丙”3个方法转换出新SKU,还原的时候就必须要以“丙->乙->甲”的顺序转化,否则算法有误。



    实用

    事实上,不需要那么多眼花缭乱的算法,单凭“偏移法”就能够转化出和原SKU毫无关联的新SKU,仅需要打乱单元编码:

    字母(序列): KCEBHFGAMZJLNODYSQITUVPXRW

    数字(序列): 1024573968


    然而,这些分析不仅有趣、锻炼思维,而且能够练习代码的构架能力,这才是真正的乐趣。
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  • 全世界只有3.14 %人关注了爆炸吧知识下面12张数学动图你能看懂几个,反正知识君是都看懂了。1.被简单证明勾股定理给三角形加上一点厚度。从面积问题,跳转到了具象体积问题。2....

    全世界只有3.14 % 的人关注了

    爆炸吧知识

    下面的12张数学动图你能看懂几个,反正知识君是都看懂了。

    1.被简单证明的勾股定理

    给三角形加上一点厚度。从面积问题,跳转到了具象的体积问题。

    2.勾股定理的面积证明法

    It's a long story……慢慢看。

    3.周长和直径的π点小事

    4.圆的面积=2πr?

    首先,把圆解剖为一个三角形。底边是周长。然后根据三角形的面积推出圆的面积,so easy~

    5.正切值曲线

    这是一个正切线被θ牢牢控制,一辈子都逃不出其手掌心的故事。

    6.看懂上面那个,就不解释这个了

    7.圆规和正方形的爱恨纠缠

    又称:圆规在考试中唯一拿得出手的用途。

    8.认识椭圆的第一天,每个老师都会做的事

    两个绿点,代表了坐在第一排,强制被叫上讲台按线头的两位同学。

    9.考赛因和赛因的你追我赶

    10.谢尔宾斯基三角形


    这是一种分形,在等边三角形里挖掉等边三角形再挖掉等边三角形再挖掉等边三角形……最后它得以永生。

    11.得到永生的证明

    12.最数学家很会玩之胖子超人的诞生

    心头浮现出浅浅欣慰又淡淡失落的感觉……这就是数学啊!

    转载来源:数学与人工智能

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  • 有趣的数学(一)

    2016-12-13 16:00:03
    这是一个非常简单的问题,一个循环就可以实现,或者利用某些语言自带的数学类函数也可以完成。 这里介绍一个有趣的算法: 利用递归,可以完成n个m相乘,并且如果把 return 1改为return 0,且把*改为+,既可以...

    如何计算n个m相加,或n个m相乘?
    这本是一个非常简单的问题,一个循环就可以实现,或者利用某些语言自带的数学类函数也可以完成。
    但是这里介绍一个有趣的算法,提供不同的思路:

    punlic stmtic int mystery(int m, int n) {
    
            if (n <= 0) {
                return 1;
            }
            if (n % 2 == 0) {
                return mystery(m * m, n / 2);
            }
            return mystery(m * m, n / 2) * m;
        }

    利用递归,可以完成n个m相乘,并且如果把 return 1改为return 0,且把*改为+,既可以完成n个m相加的计算。

    那么这个方法的原理是什么呢?
    我思考的是这样的,这个算法的本质是求出n个二进制表示,把二进制为1的位代表的整数,进行相加,相乘,结果正好是n个m相加,或n个m相乘。
    举个例子 m=3, n=11。则n的二进制表示为1011,而执行算法的过程是:(m^2,5)*m,(m^4,2)*m*m^2,(m^8,1)*m*m^2*m^8,
    可见正好对应n的二进制表示位。
    其原理解释为如果二进制位为0,则乘m=m^2,如果二进制位为1则乘以当前值m。

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有趣的数学原理