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  • 有限元计算原理 5. 实例问题 5.1 E是(X,Y)的函数 首先假设杨氏模量为常量E0,积分计算就是乘法: so 应变矩阵由节点坐标确定 单元刚度矩阵给出: 那么对于E为变量的情况,假设E的方程为 so 从解析角度来说...

    有限元计算原理

    5. 实例问题

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    5.1 E是(X,Y)的函数

    首先假设杨氏模量为常量E0,积分计算就是乘法:
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    so
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    应变矩阵由节点坐标确定
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    单元刚度矩阵给出:
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    那么对于E为变量的情况,假设E的方程为
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    so
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    从解析角度来说,需要使用二重积分
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    从数值计算角度来说,使用高斯近似
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    在示例问题下,一个高斯点足矣。

    结合前面所知道的值,就可以求出单元刚度矩阵:
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    施加外力:
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    引起的势能:
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    边缘处的牵引力引起的势能变化:
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    在边缘处,插值一维线性形函数:
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    其表达式为:
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    换为势能表达式:
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    其中:
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    简写:
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    5.2 T是(X,Y)的函数

    如果T是常量T0,用一个高斯点求解:
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    但对于以下情况:
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    需要至少两个高斯点。

    对于QX1:
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    对于QX2:
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    单元上的点力:
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    外部施加体积力引起的势能变化:
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    5.3 B是(X,Y)的函数

    计算出点力
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    其中
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    如果B是常数,
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    同理
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    如果B有如下关系式
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    需要3个高斯点。

    微元的总能量

    根据最小能量原理,需要6个方程。

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    5.4 施加面积力

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    单元刚度矩阵:
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    全局系统:
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    牵引引起的节点力:
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    边界条件:
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    以上描述都归为线性三角形网格。

    6. 线性四边形网格

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    直观而言,在有限元分析中,普遍认为四边形网格比三角形网格更精确。具体原因是什么,百度了一下,没有看到专业的回答。猜测可能是因为三角形网格会出现极差的分割情况吧。

    6.1 形函数

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    四个形函数:
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    映射到现实点:
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    插值方法和位移类似:
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    简写:
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    6.2 应力-位移矩阵

    回忆到应变:
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    形函数换元:
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    其中[J]为Jacobian矩阵。

    微元内:
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  • 有限元计算原理 4. 桁架结构 4.1 2D问题中的结构分析 有必要声明一下已经定义的值:全局坐标(X,Y); local坐标(x,y);全局坐标下的力和位移。 一个二力杆只能受沿杆方向的力。 在local坐标下: 4.1.1 坐标变换 ...

    有限元计算原理

    4. 桁架结构

    4.1 2D问题中的结构分析

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    有必要声明一下已经定义的值:全局坐标(X,Y); local坐标(x,y);全局坐标下的力和位移。

    一个二力杆只能受沿杆方向的力。
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    在local坐标下:
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    4.1.1 坐标变换

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    写成矩阵形式:
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    矩阵A比较特殊————
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    4.1.2 单元刚度

    在1D问题中单元刚度等式为
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    拓展到2D空间【y方向的力都是0】:
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    写成矩阵形式:
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    利用坐标变换表达出全局坐标下的单元矩阵:
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    全局坐标下的等式:
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    4.2 求出指定点的位移

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    4.2.1 点3处固定【杆3不存在】

    以杆1为例:写出它的单元刚度矩阵:
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    变换为全局坐标:
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    杆2解法同上,但是多一条坐标变换。
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    连接矩阵:
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    组合起两个全局刚度矩阵:
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    边界条件:
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    点2上的力:
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    求得点2的位移:
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    4.2.2 点3处只能上下滑动【杆3存在】

    这种情况比4.2.1多一个杆3。

    连接矩阵:
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    组合起全局刚度矩阵:
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    边界条件:
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    负载条件:
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    求得点2,点3的位移:
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    5. 线弹性【广义胡克定律的二三事】

    在x方向施加非0压力:
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    3个方向:
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    剪切应力:
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    各向同性材料的3D胡克定律:
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    回忆到这个关系式:
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    求得刚度矩阵:
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    6. 2D平面应力

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    消除3D矩阵中为0的行列,得到塑性矩阵:
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    求逆得刚度矩阵:
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    注意到两切应力=0:
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    3D应力状态:
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    求逆得塑性矩阵:
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    7. 线性三角微元

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    通过插值得到位移场:
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    简化形式写成:
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    [N]为(2X6)矩阵; {de}为(6X1)向量。

    线性函数们:
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    简写形式:
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    以N1为例:
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    得到
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    求得
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    A是微元的面积:
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    代入得到N1:
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    同理可得N2、N3:
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    8. 力-位移 矩阵

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    9. 高斯积分

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    10. 应变能

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    octave 基本操作

    算数运算的符号:+,-,*,/,^,()

    注释用%标出,行内行间注释方法相同。

    普通的函数:
    sin, cos,tan,asin, acos,atan,exp,log,sqrt,abs

    矩阵:[ ] 【行间用隔开】

    矩阵计算使用的符号:+,-,*,,’

    有限元计算的原理

    1. 最简单的情况

    1.1 一维杆两端受力:

    已知杨氏模量E,横截面积A,杆的长度L。
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    有杆两端的位移(u1,u2)和力(F1,F2),可以通过物理公式求得刚度矩阵。
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    1.2 一维杆中间+一端受力:

    已知杨氏模量E,横截面积A,杆的长度L,力的位置。
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    有施加的两个力的方向和大小,求结点位移。
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    1.3 一维变截面杆中间两处受力

    已知杨氏模量E,横截面积A1、A2,杆的长度L,力的位置。
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    求结点位移和两端的支持力。
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    2与3横截面积相同:
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    从以上几个例子中可以看出,力与位移之间存在正相关关系,系数即为单元刚度矩阵。在越来越复杂的受力情况中,我们通过分段(有限元法)求出答案。
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    2. 能量法

    能量法的适用范围更广,比方说有弹性形变的问题。

    2.1 伸长量与位移线性相关

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    线性形函数可以表示为:
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    在local坐标系之下,X的函数可以表示为x的函数:
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    这时候力就由位移对位置的导数得出。
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    计算应变能:

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    其中E和A可以是x的导数。

    单元刚度:
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    2.2 横截面积是x的函数的情况

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    各自积分求和。

    2.3 施加外部力

    在点1处施加外部力R1:
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    在点2处施加外部力R2:
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    引起的势能:
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    2.4 施加外部牵引力(这里指的是,施加沿杆方向大小变化的连续力)

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    和2.3不同的是这一步需要积分计算:

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    总能量:
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    存在这样的关系:
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    3. 高斯积分

    尽管从全局坐标更换到local坐标不难,但有时候求积分也是挺难的。这时候就要用到高斯积分来近似一下,简化计算过程。这是计算机采用的方法。
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    仍需注意:N个高斯点能求解2N-1阶的精确结果。

    高斯表:
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    3.1 intrinsic 坐标

    即坐标范围在[-1,1]之间,和local坐标是线性对应关系。
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    3.2 高斯积分计算T(x)变化的情况

    已知杨氏模量E,横截面积A,杆的长度L。
    题面:
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    i:

    用一个高斯点:
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    用两个高斯点:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    可见一个高斯点足以达到精确值。

    ii:

    用一个高斯点:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    用两个高斯点:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    这里两个高斯点才是准确值。

    3.3 用分段解决问题

    已知杨氏模量E,横截面积A,杆的长度L。
    在这里插入图片描述
    其中T(x)为常数。

    分两段:
    在这里插入图片描述
    连接矩阵:
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    分三段:
    在这里插入图片描述
    连接矩阵:
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    展开全文
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    单元分析
    对求解区域内的每个单元,分别计算其能量函数对三个节点磁位的一阶导数。当该单元所有的边都不在第二类边界条件上时,其能量泛函只有重积分没有线积分。
    (1)(1)
    在这里插入图片描述(2)
    将2式带入(1),并求能量泛函对三个节点的导数:
    在这里插入图片描述(3)
    式中:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    当该三角形边缘的一条边jm落在第二类边界上,jm的边界长度为Si,则式(1)中线积分项对节点磁位的导数为:
    在这里插入图片描述
    叠加到(3)则:
    在这里插入图片描述
    建立一个n*n的系数矩阵【k】,和一个n行的矩阵{P},其中n为求解区域内节点总数,将其所有的元素清零,然后将各单元系数矩阵和向量的各元素,分别按其下标的地址叠加到系数矩阵k和P
    在这里插入图片描述
    当系统的能量最小时,满足:
    在这里插入图片描述
    上式是关于求解区域内所有节点磁位的方程组。

    参考文献:永磁电机(王秀和)
    PS:对于电磁场有限元分析的基本原理,我也是正在学习中

    展开全文
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  • 该文档为word文档,是有限元也是计算力学比较全面的资料,对学习有限元计算力学都是很重要的资料!
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空空如也

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