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    圆周率π是一个无理数,没有任何一个精确公式能够计算π值,π的计算只能采用近似算法。

    国际公认的π值计算采用蒙特卡洛方法。

    蒙特卡洛方法

    蒙特卡洛(Monte Carlo)方法,又称随机抽样或统计试验方法。当所求解的问题是某种事件出现的概率,或某随机变量的期望值时,可以通过某种“试验”方法求解。

    简单说,蒙特卡洛是利用随机试验求解问题的方法。

    π值的计算

    构造一个单位正方形和一个单位圆的1/4,往整个区域内随机投入点,根据点到原点的距离判断点是落在1/4的圆内还是在圆外,从而根据落在两个不同区域的点的数目,求出两个区域的比值。如此一来,就可以求出1/4单位圆的面积,从而求出圆周率π。

    图片名称

    下面是用Python的实现:

    # pi.py
    from random import random
    from math import sqrt
    from time import clock
    DARTS = 1200
    hits = 0
    clock()
    for i in range(1, DARTS):
        x, y = random(), random();
        dist = sqrt(x**2 + y**2)
        if dist <= 1.0:
            hits = hits + 1
    pi = 4 * (hits/DARTS)
    print('Pi的值是 %s' % pi)
    print('程序的运行时间是 %-5.5ss' % clock())

    代码中用到了random和math库的random()函数和sqrt()函数,为了统计时间,还用到了time库的clock()函数。

    投入的点越多,计算值越精确。

    结语

    蒙特卡洛方法提供了一个利用计算机中随机数和随机试验来解决现实中无法用公式求解问题的思路,广泛应用在金融工程学、宏观经济学、计算物理学等领域。

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  • 这道题网络上的解法似乎存在问题。因此我在这里写出自己的方法

    这是《算法导论》第三版的题目5.2-3:

    利用指示器随机变量计算掷n次骰子总和的期望值。

    解:

    定义事件A为一次投掷结果小于等于1,B为一次投掷结果小于等于2,C为一次投掷结果小于等于3,D为一次投掷结果小于等于4,E为一次投掷结果小于等于5,F为一次投掷结果小于等于6。

    定义指示器随机变量I{·}为:

                                I{x}=1   如果x发生,否则为0

    一次投掷结果的期望E(X1)=E(I(A)+I(B)+I(C)+I(D)+I(E)+I(F))=1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6=3.5

    那么n次投掷结果的期望E(X1+X2+...+Xn)=3.5n

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  • 在matlab中,我们使用qqplot()来生成QQplot图,但是这并不意味这我们能够很容易的计算并得到GIF,我们生成QQplot以后才能从头计算GIF。 第一步就是,我们首先得到正态分布的期望顺序统计量;正态分

    GIF值通常用在GWA过程中,用来控制该过程质量;鉴别出那些低质量的基因标记;例如在统计学中,GIF值大于1.0表示结果有低质量数据的出现;

    那么我们如何计算gwa中的GIF呢;在matlab中,我们使用qqplot()来生成QQplot图,但是这并不意味这我们能够很容易的计算并得到GIF值,我们生成QQplot以后才能从头计算GIF。

    第一步就是,我们首先得到正态分布的期望顺序统计量;正态分布的第i次顺序统计量服从参数(i,n-i+1)的贝塔分布,期望值是:

    E \left\{p_{(i)} \right\} = i / (n+1) \; \; \; \; (i=1,\ldots,n)

    这个是比较容易计算的。下面是个简单的MATLAB程序来显示GWA分析的QQplot并计算GIF:

    function gif=compute_gif(pvals)
     
    % number of p-vals
    n=length(pvals);
     
    % expected order statistics
    es=(1:n)' ./ (n+1);
     
    % x-axis
    x = -log10(es);
    y = -log10(sort(pvals(:)));
     
    % compute GIF
    gif =(x'*y)/(x'*x);
     
    % QQ-plot
    figure;
    hold;
    grid;
    maxh=ceil(log10(n));
    xlim([0 maxh]);
    ylim([0 maxh]);
    plot(x,y,'bx');
    plot(x,x,'r-');
    xlabel('-log10(Expected Order Statistics)');                                      
    ylabel('-log10(Observed Order Statistics)');
    title('QQ Plot');
     
    % done
    return;
    函数compute_gif() 只有一个参数,这是p值的list,对p值进行排序并使用该排序生成QQplot计算GIF。

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  • 对非经典分布的随机变量,当然可以按博文《自定义离散型分布》中介绍的方法,自定义rv_discrete(离散型)或rv_continuos(连续型)的子类(详见博文《自定义连续型分布》),然后调用其expect函数计算数学期望。...

    对非经典分布的随机变量,当然可以按博文《自定义离散型分布》中介绍的方法,自定义rv_discrete(离散型)或rv_continuos(连续型)的子类(详见博文《自定义连续型分布》),然后调用其expect函数计算数学期望。如果仅为计算随机变量的数学期望,也可以对表示分布律的数组(离散型)或密度函数(连续型),按定义直接计算。
    注意到,对于取有限多个值离散型随机变量
    X˜(x1x2xnp1p2pn)X\text{\~{}}\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\\p_1&p_2&\cdots&p_n\end{pmatrix}
    其函数Y=g(X)Y=g(X)的期望E(g(X))=i=1ng(xi)piE(g(X))=\sum\limits_{i=1}^ng(x_i)p_i是数组[g(x1),g(x2),,g(xn)][g(x_1),g(x_2),\cdots,g(x_n)]与数组[p1,p2,,pn][p_1,p_2,\cdots,p_n]按元素相乘后所得数组[g(x1)p1,g(x2)p2,,g(xn)pn][g(x_1)p_1,g(x_2)p_2,\cdots,g(x_n)p_n]元素的和。而联合分布律为
    在这里插入图片描述
    的2-维离散型随机向量(X,Y)(X,Y),其函数g(X,Y)g(X,Y)的数学期望E(g(X,Y))=i=1mj=1ng(xi,yj)pijE(g(X,Y))=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^ng(x_i,y_j)p_{ij}是2-维数组(g(x1,y1)g(x1,y2)g(x1,yn)g(x2,y1)g(x2,y2)g(x2,yn)g(xm,y1)g(xm,y2)g(xm,yn))\begin{pmatrix}g(x_1,y_1)&g(x_1,y_2)&\cdots&g(x_1,y_n)\\g(x_2,y_1)&g(x_2,y_2)&\cdots&g(x_2,y_n)\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)&g(x_m,y_2)&\cdots&g(x_m,y_n)\end{pmatrix}(p11p12p1np21p22p2npm1pm2pmn)\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&\cdots&p_{1n}\\p_{21}&p_{22}&\cdots&p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\p_{m1}&p_{m2}&\cdots&p_{mn}\end{pmatrix}按元素相乘所得2-维数组(g(x1,y1)p11g(x1,y2)p12g(x1,yn)p1ng(x2,y1)p21g(x2,y2)p22g(x2,yn)p2ng(xm,y1)pm1g(xm,y2)pm2g(xm,yn)pmn)\begin{pmatrix}g(x_1,y_1)p_{11}&g(x_1,y_2)p_{12}&\cdots&g(x_1,y_n)p_{1n}\\g(x_2,y_1)p_{21}&g(x_2,y_2)p_{22}&\cdots&g(x_2,y_n)p_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\g(x_m,y_1)p_{m1}&g(x_m,y_2)p_{m2}&\cdots&g(x_m,y_n)p_{mn}\end{pmatrix}的元素之和。
    对比两者,仅仅是参加计算的数组结构(前者是1-维数组,后者是2-维数组)与函数自变量个数(前者是一元函数,后者是二元函数)不同,计算方法是一样的。我们可以写成一个统一的计算数学期望的函数

    def expect(P, Xv=None, Yv=None, func=lambda x, y: x):
        stru=P.shape                                #获取P的结构
        arrayType=type(np.array([]))                #数组类型
        if (len(stru)>1) and (type(Xv)==arrayType): #2维向量且需计算X
            Xv=Xv.reshape(Xv.size,1)
        if type(Yv)==arrayType:                     #2维向量且需计算Y
            Yv=Yv.reshape(1, Yv.size)
        mean=(func(Xv,Yv)*P).sum()                  #计算期望
        return mean
    

    函数expect的4个参数中P表示分布律中的概率序列。Xv和Yv分别表示随机变量XXYY的取值序列,缺省为None。func表示函数关系Z=g(X,Y)Z=g(X,Y),缺省值为函数g(X,Y)=Xg(X,Y)=X。之所以表示成二元函数,是因为我们用统一的形式,计算随机变量的函数或随机向量的函数。第2行读取表示概率序列的数组P的结构,P.shape是一个元组,其长度大于1表示P是一个矩阵。第3行获取numpy的数组类型,记为arrayType,若参数Xv或Yv传递的是数组,则其类型type(Xv)(或type(Yv))就与arrayType一致。第4~5行的if语句对2-维随机向量(len(stru)>1)且需计算XX期望(type(Xv)==arrayType)的情形,将Xv设置成m×1m\times1的列向量,以保证矩阵按元素计算的正确性。出于同样的目的,第6~7行的if语句对需要计算YY的期望(此时,P一定是2-维数组),将Yv设置成1×n1\times n的行向量。第8行将数组func(Xv,Yv)*P元素之和(func(Xv,Yv)*P).sum()记为返回值mean。第9行将计算结果返回。
    例1 有3只球,4个盒子,盒子的编号为1、2、3。将球逐个独立地,随机地放入4个盒子中去。以XX表示其中至少有一只球的盒子的最小号码(例如X=3X=3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一只球),计算E(X)E(X)
    解: 显然,XX的取值为{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}。设AiA_i表示ii号盒是空的(i=1,2,3,4i=1, 2, 3, 4)。每个球放入1号盒的概率为1/41/4,没有放入1号盒的概率为3/43/4
    P(X=1)=P(A1)=1P(A1)=1(34)3=3764P(X=1)=P(\overline{A}_1)=1-P(A_1)=1-\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{37}{64}
    P(X=2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)=P(A1)(1P(A2A1))=(34)3[1(23)3]=27641927=1964P(X=2)=P(A_1\overline{A}_2)=P(A_1)P(\overline{A}_2|A_1)\\ =P(A_1)(1-P(A_2|A_1))=\left(\frac{3}{4}\right)^3\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^3\right]\\ =\frac{27}{64}\cdot\frac{19}{27}=\frac{19}{64}
    P(X=3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)=(34)3(23)3[1(12)3]=764P(X=3)=P(A_1A_2\overline{A}_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(\overline{A}_3|A_1A_2)\\ =\left(\frac{3}{4}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]=\frac{7}{64}
    P(X=4)=P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(A4A1A2A3)=(34)3(23)3(12)3=164P(X=4)=P(A_1A_2A_3\overline{A}_4)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)P(\overline{A}_4|A_1A_2A_3)\\ =\left(\frac{3}{4}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{64}
    XX~(123437641964764164)\begin{pmatrix}1&2&3&4\\\frac{37}{64}&\frac{19}{64}&\frac{7}{64}&\frac{1}{64}\end{pmatrix}E(X)=13764+21964+3764+4164=2516E(X)=1\cdot\frac{37}{64}+2\cdot\frac{19}{64}+3\cdot\frac{7}{64}+4\cdot\frac{1}{64}=\frac{25}{16}。下列代码调用上列程序定义的expect函数验算E(X)E(X)

    import numpy as np                              #导入numpy
    from sympy import Rational                      #导入Rational
    X=np.array([1, 2, 3, 4])                        #设置X的取值
    P=np.array([Rational(37,64), Rational(19, 64),  #设置取值对应的概率
                Rational(7,64), Rational(1,64)])
    mean=expect(P, X)                               #计算数学期望
    print('E(X)=%s'%mean)
    

    注意第6行调用上列程序定义的expect函数,仅传递参数P和X,其余参数均缺省,计算随机变量XX的数学期望E(X)E(X)。运行程序,输出

    E(X)=25/16
    

    对于二维离散型随机向量(X,Y)(X,Y)函数g(X,Y)g(X,Y)的数学期望的计算,调用expect函数时,需正确传递参数。
    例2(X,Y)(X, Y)的联合分布律为
    在这里插入图片描述
    计算E(X)E(X)E(Y)E(Y)E(X3Y2)E(X^3Y^2)
    解: 为计算E(X)E(X)E(Y)E(Y),先计算XXYY的边缘分布。不难解得XX~(015838)\begin{pmatrix}0&1\\\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix}YY~(123382838)\begin{pmatrix}1&2&3\\\frac{3}{8}&\frac{2}{8}&\frac{3}{8}\end{pmatrix}。所以
    E(X)=0×58+1×38=38E(X)=0\times\frac{5}{8}+1\times\frac{3}{8}=\frac{3}{8},
    E(Y)=1×38+2×28+3×38=2E(Y)=1\times\frac{3}{8}+2\times\frac{2}{8}+3\times\frac{3}{8}=2
    为计算E(X3Y2)E(X^3Y^2),可以运用先计算Z=X3Y2Z=X^3Y^2的分布律,然后计算E(Z)E(Z)。根据(X,Y)(X,Y)的联合分布律,不难算得ZZ~(014954181818)\begin{pmatrix}0&1&4&9\\\frac{5}{4}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{pmatrix}。于是E(X3Y2)=E(Z)=0×54+1×18+4×18+9×18=74E(X^3Y^2)=E(Z)=0\times\frac{5}{4}+1\times\frac{1}{8}+4\times\frac{1}{8}+9\times\frac{1}{8}=\frac{7}{4}。下列代码验算本例计算结果。

    import numpy as np                      #导入numpy
    from sympy import Rational as R         #导入Rational
    X=np.array([0, 1])                      #设置X取值
    Y=np.array([1, 2, 3])                   #设置Y取值
    Pxy=np.array([[R(1,4), R(1,8), R(1,4)], #设置分布律中概率矩阵
                  [R(1,8), R(1,8), R(1,8)]])
    meanx=expect(Pxy, X)                    #计算E(X)
    g=lambda x, y: y                        #设置函数g(X,Y)=Y
    meany=expect(Pxy, Yv=Y, Py)             #计算E(Y)
    g=lambda x, y: (x**3)*(y**2)            #设置函数g(X, Y)=X^3Y^2
    mean=expect(Pxy, X, Y, g)               #计算E(X^3Y^2)
    print('E(X)=%.4f'%meanx)
    print('E(Y)=%.4f'%meany)
    print('E(X^3Y^2)=%.4f'%mean)
    

    程序中第3~6行设置(X,Y)(X,Y)的联合分布律。第7行调用函数expect,传递参数Pxy和X计算XX的边缘分布的期望E(X)E(X),记为meanx。为计算YY的边缘分布期望E(Y)E(Y),第8行设置函数g(X,Y)=Yg(X,Y)=Y,第9行调用函数expect传递参数Pxy,Y和g,计算结果记为meany。第10行定义函数g(x,y)=x3y2g(x,y)=x^3y^2,第11行调用函数expect传递参数Pxy,X,Y和g计算E(X3Y2)E(X^3Y^2),记为mean。运行程序,输出

    E(X)=3/8
    E(Y)=2
    E(X^3Y^2)=7/4
    

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期望值计算方法