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  • 如果随机试验仅有两可能结果,那么这两结果可以用0和1表示,此时随机变量X将是一0/1变量,其分布是单个二值随机变量分布,称为伯努利分布。注意伯努利分布关注是结果只有0和1,而不管观测条件是什么。...


    一:期望

    引入:
    在这里插入图片描述


    1.1离散型随机变量的期望

    在这里插入图片描述
    注:其实是在等概率的基础上引申来的,等概率下的权重都是1/N。


    1.2连续型随机变量的期望

    在这里插入图片描述
    注:因为对于连续性随机变量其某一点的概率是无意义的,所以要借用密度函数,详情见:https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109563254,其实就是一个期望累计的过程。


    1.3期望的性质

    在这里插入图片描述
    注:其中第三个性质,可以把所有的X+Y的各种情况展开,最后得出的结果就是这样的。


    二:随机变量函数(复合随机)的数学期望

    1.理解

    在这里插入图片描述
    注:其实就是复合随机变量的期望,对于离散型 ,其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍,但是概率不变,所以公式见上面;对于 连续性随机变量,其实是一样的,每个点的概率没有变,所以就是变量本身的值发货所能了改变。


    三:方差

    引入的意义:
    在这里插入图片描述
    求每次相对于均值的波动:
    在这里插入图片描述
    求波动的平方和:
    在这里插入图片描述


    定义:
    在这里插入图片描述
    注:其实就是对X-E(X)方 ,求均值其实就是方差,注意这里的均值也是加权平均,所以方差其实就是一种特殊的期望。


    3.1离散型随机变量的方差

    在这里插入图片描述


    3.2连续性随机变量的方差

    在这里插入图片描述


    3.3方差的性质

    在这里插入图片描述
    注:3)4)5)等性质可以套入定义中就可以得到,这里不多说;对于独立以及协方差见后;8)的证明如下
    在这里插入图片描述


    四:协方差

    4.1定义

    在这里插入图片描述
    注:这里和之前一个变量对比,之前是一个变量的偏移后进行平方,然而这里是两个变量平移后进行相乘。

    4.2离散型二维随机变量的协方差

    在这里插入图片描述


    4.3连续型二维随机变量的协方差

    在这里插入图片描述


    4.4二维随机变量的协方差性质

    在这里插入图片描述
    注:了解即可…


    4.5协方差矩阵

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述


    五:相关系数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    所以: 独立必不相关,但不相关不一定独立,因为这里的不相关指的是线性不相关,可能会有其他非线性关系,具体例子找到再补充-------。


    参考链接:
    https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11097322.html

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  • 题意:花费n时间制作一烟花,然后每烟花点然后完美概率就是p*0.0001,然后每当你完成了一烟花制作后,你就可以选择是继续花费n时间再制作一烟花还是花费m时间把之前所有制作烟花点燃。...

    在这里插入图片描述
    题意:花费n的时间制作一个烟花,然后每个烟花点然后完美的概率就是p*0.0001,然后每当你完成了一个烟花的制作后,你就可以选择是继续花费n的时间再制作一个烟花还是花费m的时间把之前所有制作的烟花点燃。
    然后只要在某次的燃放中,有至少一个烟花完美了,那么就可以结束制作的活动了。
    问你最小的期望结束制作的时间是多少?

    思路:这道题比赛的时候做的时候,因为看到了期望最小,一开始把队友引到了期望DP的误区,确实是这方面解除的题目不够全面,导致拖延了很多思考和调试正解的情况,锅很大qwq。
    根据题目叙述我们可以知道,设我们当前制作了x个烟花,那么这x个烟花至少有一个爆炸的概率就是1 - (1p)x(1-p)^x,然后我们就可以把制作x个烟花看做一个事件,这样每次制作x个烟花假如没爆炸的话,我们就继续制作x个烟花,这样这个事件就符合了独立重复的实验的定义了,它的期望也就是我们的时间去乘上1/P,这是伯努利实验的期望公式,其中P就代表1 - (1p)x(1-p)^x,然后很明显这个事件又是一个关于x的函数,即f(x) = (n*x +m) / (1 - (1p)x(1-p)^x),然后这个函数可以求导证明有零点也可以直接惨单峰然后三分。

    注意:如果是用浮点数三分的点,那么最后要取一下整,因为根据实际点燃肯定是整数个烟花,只需要比较距它最近的两个点哪个点函数值大就可以了。

    代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const double eps = 1e-8;
    double p,q,n,m;
    
    double f(double x){
    	return (n * x + m) / (1.0 - pow(q,x));
    }
    
    int main(){
    	int T;scanf("%d",&T);
    	while(T--){
    		scanf("%lf%lf%lf",&n,&m,&p);
    		p *= 0.0001;
    		q = 1.0 - p;
    		double l = 1,r = 1e9;
    		while(r - l >= eps) {
    			double mid = l + (r - l) / 3.0;
    			double midmid = r - (r - l) / 3.0;
    			if(f(mid) > f(midmid))
    				l = mid;
    			else 
    				r = midmid;
    		}
    		int t = l;//如果 是浮点数要注意 烟花肯定是整数个 所以 一定是他两侧的整数里小的那个
    		//直接整数三分也是可以的 而且那样快速幂还快一点 所以就直接整数比较好
    		printf("%.10f\n",min(f(t),f(t+1)));
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 荷电轻子质量公式(me +mμ+m... 由于我们通常可以对三个量具有两个关系,因此我们也可以期望带电轻子质量具有另一个关系。 然后,该关系将以memμmτ/(me +mμ+mτ)3形式表示。 根据该推测,推测出标量势模型。
  • problem=495 题意:  有n礼物盒,m个人。  最开始每礼物盒中都有一礼物。 ... m个人依次随机选一盒子,如果有礼物就拿走,然后放回空盒子。... 种做法:期望dp,概率dp,推公式  一、期望d...

    题目链接:http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=495

    题意:

      有n个礼物盒,m个人。

      最开始每个礼物盒中都有一个礼物。

      m个人依次随机选一个盒子,如果有礼物就拿走,然后放回空盒子。

      问你所有人得到总礼物数的期望。

     

    题解:

      三种做法:期望dp,概率dp,推公式

     

      一、期望dp

        表示状态:

          dp[i] = 该第i个人拿箱子时的总礼物的期望

        找出答案:

          ans = dp[m]

        如何转移:

          对于第i个人,拿到礼物或没拿到。

          (1)φ(没拿到) = dp[i]  P(没拿到) = dp[i]/n

          (2)φ(拿到) = dp[i]+1  P(拿到) = (n-dp[i])/n

          综上:dp[i+1] = dp[i] * dp[i]/n + (dp[i]+1) * (n-dp[i])/n

        边界条件:

          dp[0] = 0

          还没开始拿的时候礼物数为0

     

      二、概率dp

        表示状态:

          dp[i] = 第i个人拿到礼物的概率

        找出答案:

          ans = ∑ dp[i]

          每个人得到礼物的概率 * 得到礼物的数量(为1) 之和。

        如何转移:

          对于第i个人,拿到礼物或没拿到。

          (1)没拿到:dp[i+1]依然等于dp[i],没拿到礼物的概率为1-dp[i].

          (2)拿到:dp[i+1] = dp[i] - 1/n,拿到的概率为dp[i].

          综上:dp[i+1] = dp[i] * (1 - dp[i]) + (dp[i] - 1/n) * dp[i]

        边界条件:

          dp[0] = 1

          所有盒子里都有礼物,第0个人一定拿到礼物。

     

      三、推公式

        m个人是独立的。

        对于每个礼物不被人选中的概率为((n-1)/n)^m

        那么不被选中的礼物数的期望就是 n*((n-1)/n)^m

        所以答案就是 n-n*((n-1)/n)^m

     

    AC Code(expectation):

     1 // state expression:
     2 // dp[i] = expectation
     3 // i: considering ith person
     4 //
     5 // find the answer:
     6 // ans = dp[m]
     7 //
     8 // transferring:
     9 // dp[i+1] = dp[i] * dp[i]/n + (dp[i]+1) * (n-dp[i])/n
    10 //
    11 // boundary:
    12 // dp[0] = 0
    13 #include <iostream>
    14 #include <stdio.h>
    15 #include <string.h>
    16 #define MAX_M 100005
    17 
    18 using namespace std;
    19 
    20 int n,m;
    21 double dp[MAX_M];
    22 
    23 int main()
    24 {
    25     scanf("%d%d",&n,&m);
    26     for(int i=0;i<m;i++)
    27     {
    28         dp[i+1]=dp[i]*dp[i]/n+(dp[i]+1.0)*(n-dp[i])/n;
    29     }
    30     printf("%.10f\n",dp[m]);
    31 }

     

    AC Code(probability):

     1 // state expression:
     2 // dp[i] = probability
     3 // i: ith person got a gift
     4 //
     5 // find the answer:
     6 // sigma dp[i]
     7 //
     8 // transferring:
     9 // dp[i+1] = dp[i] * (1 - dp[i]) + (dp[i] - 1/n) * dp[i]
    10 //
    11 // boundary:
    12 // dp[0] = 1
    13 #include <iostream>
    14 #include <stdio.h>
    15 #include <string.h>
    16 #define MAX_M 100005
    17 
    18 using namespace std;
    19 
    20 int n,m;
    21 double ans=0;
    22 double dp[MAX_M];
    23 
    24 int main()
    25 {
    26     scanf("%d%d",&n,&m);
    27     dp[0]=1;
    28     for(int i=0;i<m;i++)
    29     {
    30         dp[i+1]=dp[i]*(1.0-dp[i])+(dp[i]-1.0/n)*dp[i];
    31         ans+=dp[i];
    32     }
    33     printf("%.10f\n",ans);
    34 }

     

    AC Code(公式):

     1 #include <iostream>
     2 #include <stdio.h>
     3 #include <string.h>
     4 #include <math.h>
     5 
     6 using namespace std;
     7 
     8 int n,m;
     9 
    10 int main()
    11 {
    12     scanf("%d%d",&n,&m);
    13     printf("%.10f\n",n-n*pow((n-1.0)/n,m));
    14 }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/Leohh/p/7566376.html

    展开全文
  • 在概率论中,我们把一随机事件可能结果称为其样本点,其所有样本点构成集合称之为样本空间。(注意,随机事件并不一定只有一种可能结果)在样本空间中,我们称事件所包含子集为随机事件。 概率定义就...

    初见安~~~又开启数论的探索啦~~:)

    一。概率

    1.基本定义

    在概率论中,我们把一个随机事件的一个可能结果称为其样本点,其所有样本点构成的集合称之为样本空间。(注意,随机事件并不一定只有一种可能结果)在样本空间中,我们称事件所包含的子集为随机事件

    概率的定义就很简单了,我们也都知道样本空间中的任意随机事件的概率不会超过1不会小于0.

    就比如我们抛硬币连续扔三次(不考虑侧面稳落地),有8中可能:AAA,AAB,ABB,BAA,BBA, ABA, BAB, BBB。对于这个大小为8样本空间,事件A“至少有两次正面朝上”的可能为:AAA,AAB,ABA,BAA 4种。所以P(A)= 0.5 。

     

    2.贝叶斯定理

    P(A | B) =\frac{ P(B | A) * P(A)}{P(B)}

    其中,P(A | B)是指在事件B发生的前提下事件A发生的概率。也就是条件概率。

    这个定理怎么证明呢~会利用到一个叫做条件概率公式的东西。

    P(A | B) = \frac{P(A\bigcap B)}{P(B)}

    P(B | A) = \frac{P(A\bigcap B)}{P(A)}

    两式整理即可得到叶贝斯定理。

    可能这两个式子(当然原理就是一个)不太好理解,这里我们也区分一下:

    P( A | B), P( B | A)和P(AB)的区别。

    首先P(AB)也就是图中AB相交的部分的概率了。

    对于P(B|A),首先得确保A事件发生,再者才是B事件,也就是说必须是在P(A)的前提下发生P(AB),所以P(B|A)相当于是在P(A)一定发生,也就是概率为1的情况下发生P(AB)的概率,套用我们之前对于概率的认识,所以就有了P(B|A)=P(AB)/P(A)。如果这样都理解不了的话,那就把等式移项成乘法再想想:)

    所以这三个变量一般情况下是不相等的,如果AB有包含的关系才可能存在某两个量相等。

    3.全概率公式

    把样本空间划分成若干个不相交的部分B1,B2,……,Bn;则有:

    P(A) = P(A | B1) * P(B1) + P(A | B2) * P(B2)+...+P(A | Bn) * P(Bn)

    证明方法类似于乘法分配律,就不解释了:)以上基本上都是数学理论基础。

     

    二。数学期望

    1.定义

    随机变量x的期望值E(x)为其所有可能值乘上其概率的和。

    2.公式

    期望是线性规划,所以这个公式是满足的:

    E(ax + by) = a * E(x) + b * E(y)

    这个公式其实非常方便,很多时候也并不是直接套用公式,化用的情况更多,比如下面这个例题——

    3.绿豆蛙的归宿

    题目来自洛谷P4316

    题目描述

    给出一个有向无环图,起点为1终点为N,每条边都有一个长度,并且从起点出发能够到达所有的点,所有的点也都能够到达终点。绿豆蛙从起点出发,走向终点。 到达每一个顶点时,如果有K条离开该点的道路,绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点,并且走向每条路的概率为 1/K 。 现在绿豆蛙想知道,从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少?

    输入格式:

    第一行: 两个整数 N M,代表图中有N个点、M条边 第二行到第 1+M 行: 每行3个整数 a b c,代表从a到b有一条长度为c的有向边

    输出格式:

    从起点到终点路径总长度的期望值,四舍五入保留两位小数。

    输入样例: 

    4 4 
    1 2 1 
    1 3 2 
    2 3 3 
    3 4 4

    输出样例: 

    7.00

    说明

    对于100%的数据 N<=100000,M<=2*N

     

    题解

    求期望的题可能一般考的就是你怎么求而不是反应过来要求。这道题的话要求从1出发走到n的路径长度的期望值,看似我们需要枚举各个路并计算出值最后来求期望,看到 N <= 100000 的时候相信你也明白了绝对不能这么做。

    我们试着模拟一下——从1出发,经过各个点,再从各个点发散出路——是不是想到什么了!!(反正我当时没有)如果我们先看期望,会发现:如果各个路径长度的概率是一样的,那么我们求的期望就是各个路径之和的平均值。尽管我们可能会遇到同一长度多次出现,我们也多次计算即可。所以这道题就跟概率没什么关系了——我们需要思考的只是怎么维护各个路径的长度来计算期望。

    如果我们设dis[ x ]表示从x到n的路径长度,那么一个变量的位置绝对存不下;存路径之和是行得通的,但是题目并没有说路径长度的范围,所以很有可能一累加就RE了,所以我们最后采取得方法是——边找边算期望边累加。这一思路是基于期望的定义的,加之我们视其等概率不计出现次数,在乘法分配律下求平均值就可以了。

    按照我们对dis的定义,我们要求的是dis[ 1 ]。所以要从点n开始找,建一个反图(但是每个点连出去的k条边的存储不能反过来),拓扑遍历即可。

    下面就是代码及详解啦!!!!——

    #include<bits/stdc++.h>//参考lyd代码
    #define maxn 100005
    using namespace std;
    int n, m, in[maxn], deg[maxn];
    struct edge//邻接表
    {
    	int to, far, nxt;
    	edge(){}
    	edge(int tt, int ff, int nn)
    	{
    		to = tt; far = ff; nxt = nn;
    	}
    	
    }e[maxn << 2];
    
    queue<int> q;
    double dis[maxn];
    
    int head[maxn], k = 0; 
    void add(int u, int v, int w)
    {
    	e[k] = edge(v, w, head[u]);
    	head[u] = k++;
    }
    
    int main()
    {
    	memset(head, -1, sizeof head);
    	scanf("%d%d", &n, &m);
    	int a, b, c;
    	for(int i = 1; i <= m; i++)
    	{
    		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
    		add(b, a, c);
    		in[a]++; deg[a]++;//in反,deg正
    	}
    	
    	q.push(n);
    	
    	while(q.size())
    	{
    		int x = q.front();
    		q.pop();
    		for(int i = head[x]; ~i ;i = e[i].nxt)
    		{
    			int y = e[i].to;
    			dis[y] += (e[i].far + dis[x]) / deg[y];//反图中y是入读,事实上是出度
    			in[y]--;
    			if(!in[y]) q.push(y);//拓扑
    		}
    	}
    	
    	printf("%.2f\n", dis[1]);
    	return 0;
    }

    简洁的清新脱俗~

    做的题多了你就会发现其实期望只是一个概念,很多时候求期望都是要用到动态规划的。(所以回去刷动规一百题吧。

    迎评:)
    ——End——

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    贝塞尔公式,是在两点之间...比如由三个点构成一个曲线中,期望生成一条由100个点组成曲线,那么就需要这么搞,首先假设点A为(0,0),点B为(100,0),点C为(100,-100),后续点都依次递增,D,E,F... 0.01是百...
  • 对三点估算法理解

    2014-10-29 17:29:00
    用PERT法计算工期,我们必须记住下面三个公式(P代表最悲观工期;M代表最可能工期;O代表最乐观工期) PERT公式 标准差公式: 方差公式: 用PERT公式计算出来是完成某活动平...

空空如也

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期望的三个公式