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  • 线性二次型高斯LQG中二次型期望等于迹 在吴恩达LQG问题笔记中,有公式为: E[wtTΦt+1wt]=Tr(ΣtΦt+1)withwt∼N(0,Σt) \mathbb{E}[w_t^T\Phi_{t+1}w_t]=Tr(\Sigma_t\Phi_{t+1}) \quad with \quad w_t\sim\...

    线性二次型规划LQR中二次型期望等于迹

    在吴恩达LQG问题的笔记中,有公式为:
    E[wtTΦt+1wt]=Tr(ΣtΦt+1)withwtN(0,Σt) \mathbb{E}[w_t^T\Phi_{t+1}w_t]=Tr(\Sigma_t\Phi_{t+1}) \quad with \quad w_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma_t)
    证明如下:

    • 引入等式:Tr(xxTA)=Tr(xTAx)=xTAxTr(xx^TA)=Tr(x^TAx)=x^TAx
    • 由上述等式
      (1)E[wtTΦt+1wt]=E[Tr(wtwtTΦt+1)]=Tr(E[wtwtTΦt+1])=Tr(E[wtwtT]Φt+1) \begin{aligned} \mathbb{E}[w_t^T\Phi_{t+1}w_t]&=\mathbb{E}[Tr(w_tw_t^T\Phi_{t+1})]\\ &=Tr(\mathbb{E}[w_tw_t^T\Phi_{t+1}])\\ &=Tr(\mathbb{E}[w_tw_t^T]\Phi_{t+1})\tag{1} \end{aligned}
      其中wt=[wt1,wt2, ,wtn]Tw_t=[w_{t_1},w_{t_2},\cdots,w_{t_n}]^T,且E[wt1]=0\mathbb{E}[w_{t_1}]=0
      (2)wtwtT=[wt1wt1wt1wt2wt1wtnwt2wt1wt2wt2wt2wtnwtnwt1wtnwt2wtnwtn] \begin{aligned} w_tw_t^T=\left[ \begin{array}{cccc} w_{t_1}w_{t_1} & w_{t_1}w_{t_2} & \cdots & w_{t_1}w_{t_n} \\ w_{t_2}w_{t_1} & w_{t_2}w_{t_2} & \cdots & w_{t_2}w_{t_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{t_n}w_{t_1} & w_{t_n}w_{t_2} & \cdots & w_{t_n}w_{t_n} \end{array} \right]\tag{2} \end{aligned}
      所以有
      (3)E[wtwtT]=[E[wtiwtj]]n×n=[E[wtiwtj]E[wti]E[wtj]]n×n=[E[(wtiE[wti])(wtjE[wtj])]]n×n=[cov(wti, wtj)]n×n=Σt \begin{aligned} \mathbb{E}[w_tw_t^T]&=[\mathbb{E}[w_{t_i}w_{t_j}]]_{n\times n}\\ &=[\mathbb{E}[w_{t_i}w_{t_j}]-\mathbb{E}[w_{t_i}]\mathbb{E}[w_{t_j}]]_{n\times n}\\ &=[\mathbb{E}[(w_{t_i}-\mathbb{E}[w_{t_i}])(w_{t_j}-\mathbb{E}[w_{t_j}])]]_{n\times n}\\ &=[cov(w_{t_i},\ w_{t_j})]_{n\times n}\\ &=\Sigma_t\tag{3} \end{aligned}
    • 将公式(3)带入公式(1)得到E[wtTΦt+1wt]=Tr(ΣtΦt+1)\quad\mathbb{E}[w_t^T\Phi_{t+1}w_t]=Tr(\Sigma_t\Phi_{t+1})
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  • 一、期望 在概率论和统计学中,数学期望(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它反映随机变量平均取值的大小。...一般情况下,乘积的期望不等于期望的乘积; 如果X和...

     

    一、期望

    在概率论和统计学中,数学期望(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它反映随机变量平均取值的大小。

    线性运算

    推广形式

    函数期望:设f(x)为x的函数,则f(x)的期望为

      离散函数:

        

      连续函数:

        

    注意:

    函数的期望不等于期望的函数;

    一般情况下,乘积的期望不等于期望的乘积;

    如果X和Y相互独立,则E(xy)=E(x)E(y)

    二、方差

    概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。方差是一种特殊的期望。定义为:

    方差性质:

    1)

    2)常数的方差为0;

    3)方差不满足线性性质;

    4)如果X和Y相互独立,则:

    三、协方差

    ​协方差衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。 两个随机变量的协方差定义为:

    方差是一种特殊的协方差。当X=Y时,

    协方差性质:

    1)独立变量的协方差为0。

    2)协方差计算公式:

    3)特殊情况:

    四、相关系数

    相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。两个随机变量的相关系数定义为:

    相关系数的性质:

    1)有界性。相关系数的取值范围是 ,可以看成无量纲的协方差。

    2)值越接近1,说明两个变量正相关性(线性)越强。越接近-1,说明负相关性越强,当为0时,表示两个变量没有相关性。

    转载于:https://www.cnblogs.com/ariel-dreamland/p/10562948.html

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  • 然后通过计算顶点算子某些乘积的真空期望值,我们得到特殊变量xi = t i-1(i = 0,1,2,)Macdonald函数。 因此,当n为有限以及n变为无穷大时,我们获得了特殊Macdonald函数Pλ(1,t ,, tn-1; q,t)算子乘积...
  • 乘积最大子数组

    2020-10-31 10:30:06
    LeetCode152乘积最大子数组 方法一:动态规划 引出:根据经验[LeetCode53, 最大子序和],很容易... 如果当前值为负数,期望以它前一个位置结尾某个段积也是个负数,而且尽可能小(负数绝对值越大)。 因此我们.

     LeetCode152乘积最大子数组

    方法一:动态规划

    引出:根据经验[LeetCode53, 最大子序和],很容易推导出如下的状态转移方程:

    • f_{max}(i)=max(f_{max}(i-1) \times a_i, a_i)

    但这样的推导是错误的?为什么呢?:不满足最优子结构

    • 比如a=[{5, 6, -3, 4, -3}], 对应的f_{max}=[5, 30, -3, 4, -3], 其中的最大值为30, 很明显正确的答案应该是5 \times 6 \times -3 \times 4 \times -3 = 30 \times 36 = 1080

    如何 解决这个问题呢?从正负性角度出发来分析

    • 如果当前值a_i为正数,期望以它前一个位置结尾的某个段的积也是个正数,而且尽可能大。
    • 如果当前值a_i为负数,期望以它前一个位置结尾的某个段的积也是个负数,而且尽可能小(负数的绝对值越大)。
    • 因此我们可以再维护一个f_{min}(i),表示以第i个元素为结尾的最小子数组的乘积,可以得到如下完整的动态规划转移方程,分别为取三个值的最值。

    \\f_{max}(i) = Max(f_{max}(i-1)\times a_i, f_{min}(i-1)\times a_i, a_i)\\ f_{min}(i) = Min(f_{max}(i-1)\times a_i, f_{min}(i-1)\times a_i, a_i)

    实现代码

    class Solution {
        public int maxProduct(int[] nums) {
            if(nums == null || nums.length == 0){
                return 0;
            }
            int length = nums.length;
            int[] fmax = new int[length];
            fmax[0] = nums[0];
            int[] fmin = new int[length];
            fmin[0] = nums[0];
            int ans = fmax[0];
    
            for(int i = 1; i <= length - 1; i++){
                fmax[i] = Math.max(fmax[i-1] * nums[i], Math.max(fmin[i-1] * nums[i], nums[i]));
                fmin[i] = Math.min(fmax[i-1] * nums[i], Math.min(fmin[i-1] * nums[i], nums[i]));
                ans = Math.max(ans, fmax[i]);
            }
            return ans;
        }
    }

    优化空间

    i个状态之和第i-1个状态相关,我们可以只用两个变量来维护i-1时刻的状态,一个维护f_{max},一个维护f_{min}

    实现代码

    public class Solution {
        public double maxProduct(double[] arr) {
            double res = Double.MIN_VALUE;
            if(arr == null || arr.length == 0){
                return res;
            }
            int len = arr.length;
            double fmax = arr[0];
            double fmin = arr[0];
            res = fmax;
            for(int i = 1; i < len; i++){
                double newFmax = Math.max(Math.max(fmax * arr[i], fmin * arr[i]), arr[i]);
                double newFmin = Math.min(Math.min(fmax * arr[i], fmin * arr[i]), arr[i]);
                fmax = newFmax;
                fmin = newFmin;
                res = Math.max(res, fmax);
            }
            return res;
        }
    }

     

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  • Matrix-chain product 矩阵链乘积

    千次阅读 2015-07-01 14:24:51
    1.Matrix-chain product....给定一序列矩阵,期望求出相乘这些矩阵最有效方法。此问题并不是真去执行其乘法,而只是决定执行乘法顺序而已。 因为矩阵乘法具有结合律,所有其运算顺序有很多种

    1.Matrix-chain product. The following are some instances.

    a)      <3, 5, 2, 1,10>

    b)     <2, 7, 3, 6, 10>

    c)      <10, 3, 15, 12, 7, 2>

    d)     <7, 2, 4, 15, 20, 5>

    矩阵链乘积是可用动态规划解决的最佳化问题。给定一序列矩阵,期望求出相乘这些矩阵的最有效方法。此问题并不是真的去执行其乘法,而只是决定执行乘法的顺序而已。

    因为矩阵乘法具有结合律,所有其运算顺序有很多种选择。换句话说,不论如何括号其乘积,最后结果都会是一样的。例如,若有四个矩阵A、B、C和D,将可以有:

    (ABC)D = (AB)(CD) = A(BCD) = A(BC)D =...

    但括号其乘积的顺序是会影响到需计算乘积所需简单算术运算的数目,即其效率。例如,设A为一10×30矩阵,B为30×5矩阵与C为5×60矩阵,则

    (AB)C 有 (10×30×5) + (10×5×60) =1500 + 3000 = 4500 个运算

    A(BC) 有 (30×5×60)+ (10×30×60) = 9000 + 18000 =27000 个运算

    明显地,第一种方式要有效多了。既然已确认过此问题了,那要如何决定n个矩阵相乘的最佳顺序呢?可以比较每一顺序的运算量(使用蛮力),但这将需要时间O(2n),是一种非常慢且对大n不实在的方法。那解决方法,如我们将看到的,是将问题分成一套相关的子问题。以解答子问题一次而再使用其解答数次,即可以彻底地得出其所需时间。此一方法称为动态规划。代码如下:

    #include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    #define SIZE 10
    #define MAX 999999
    int m[SIZE][SIZE],s[SIZE][SIZE];
    int Matrix_chain_order(int p[]){
    	int n = p[0]- 1;
    	for (int i = 1;i<= n;++i){
    		m[i][i] = 0;
    	}
    	for(int l = 2;l<= n;++l){
    		for(int i = 1,j;i<=n-l+1;++i){
    			j = i+l-1;
    			m[i][j] = MAX;
    			for(int k = i;k<= j-1;++k){
    				int q = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1];    
    				if (q<m[i][j]){
    					m[i][j]= q;
    					s[i][j] = k;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	return 0 ;
    }
    int Print_Optimal_Parens(int i,int j){
    	if (i==j)printf("A");
    	else {
    		printf("(");
    		Print_Optimal_Parens(i,s[i][j]);
    		Print_Optimal_Parens(s[i][j]+1,j);
    		printf(")");
    	}
    	return 0;
    }
    int main (){
    	int p[SIZE+1];
    	
    	int size;
    	printf("input the size of the chain:\n");
    	scanf("%d",&size);
    	if(size>SIZE){
    		printf("the size is too big!\n");
    		system("pause");
    		return 0;
    	}
    	p[0]= size;
    	printf("please input the chain:");
    	for(int i = 1,j;i<=size;++i){
    		scanf("%d",&j);
    		p[i] = j;
    	}
    	Matrix_chain_order(p);
     	Print_Optimal_Parens(1,size-1);
    	printf("\n");
    	system("pause");
    	return 0;
    }
    



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  • 绿豆蛙归宿(期望dp)

    2020-09-10 16:59:00
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  • 数学期望

    2018-08-27 20:18:00
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  • 漫步数理统计十三——特殊的期望

    千次阅读 2017-04-11 19:04:33
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  • 概率和数学期望小结

    2018-07-30 21:07:00
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空空如也

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期望的乘积