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    基于MPC的移动机器人轨迹跟踪控制matlab例程

    github地址

    https://github.com/zzy5510/MPC_control_robot

    移动机器人建模

    因为所有机器人均可转化为独轮车模型,因此本项目采用独轮车模型。
    (x˙cy˙cθ˙c)=(cosθc0sinθc001)(vcωc)\left(\begin{array}{c}\dot{x}_{\mathrm{c}} \\ \dot{y}_{\mathrm{c}} \\ \dot{\theta}_{\mathrm{c}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta_{\mathrm{c}} & 0 \\ \sin \theta_{\mathrm{c}} & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_{\mathrm{c}} \\ \omega_{\mathrm{c}}\end{array}\right)
    vc为输入速度,wc为输入角速度。积分后离散,得到离散化的状态方程:
    (xk+1yk+1φk+1)=(xk+vkTscosφkyk+vkTssinφkφk+wkTs)\left(\begin{array}{c}x_{k+1} \\ y_{k+1} \\ \varphi_{k+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{k}+v_{k} T_{s} \cos \varphi_{k} \\ y_{k}+v_{k} T_{s} \sin \varphi_{k} \\ \varphi_{k}+w_{k} T_{s}\end{array}\right)
    可以看出,该状态方程组是非线性的,角度和位置之间存在耦合。然而基于状态方程的MPC要求方程为线性,因此需要对该方程进行处理。线性化方法参考了文献《基于模型预测控制的自主移动机器人跟踪控制研究_周靖期》。
    将方程绕(xr,ur)\left(x_{\mathrm{r}}, u_{\mathrm{r}}\right)展开,得:
    x˙=f(xr,ur)+fx,r(xxr)+fu,r(uur)\dot{x}=f\left(x_{r}, u_{r}\right)+f_{x, r}\left(x-x_{r}\right)+f_{u, r}\left(u-u_{r}\right)
    其中,xrx_{r},yry_{r}为待跟踪的轨迹位置。fx,rf_{x, r},fy,rf_{y,r}为f对x和y的偏导,即:
    x~˙=fx,rx~+fu,ru~\dot{\tilde{x}}=f_{x, \mathrm{r}} \tilde{x}+f_{u, \mathrm{r}} \tilde{u}
    离散化后,得:
    x~(k+1)=A(k)x~(k)+B(k)u~(k) \tilde{x}(k+1)=A(k) \tilde{x}(k)+B(k) \tilde{u}(k)
    A(k)(10vr(k)sinθr(k)T01vr(k)cosθr(k)T001)B(k)(cosθr(k)T0sinθr(k)T00 T) A(k) \triangleq\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -v_{r}(k) \sin \theta_{r}(k) T \\ 0 & 1 & v_{r}(k) \cos \theta_{r}(k) T \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad B(k) \triangleq\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta_{r}(k) T & 0 \\ \sin \theta_{r}(k) \mathrm{T} & 0 \\ 0 & \mathrm{~T} \end{array}\right)
    离散化的方法参考https://wenku.baidu.com/view/ab37b916fbb069dc5022aaea998fcc22bdd14314.html

    预测模型

    预测模型的过程如下:
    将预测过程中的所有量结合成向量:
    xˉ(k+1)(x~(k+1k)x~(k+2k)x~(k+Nk))uˉ(k)(u~(kk)u~(k+1k)u~(k+N1k)) \bar{x}(k+1) \triangleq\left(\begin{array}{c} \tilde{x}(k+1 \mid k) \\ \tilde{x}(k+2 \mid k) \\ \vdots \\ \tilde{x}(k+N \mid k) \end{array}\right) \quad \bar{u}(k) \triangleq\left(\begin{array}{c} \tilde{u}(k \mid k) \\ \tilde{u}(k+1 \mid k) \\ \vdots \\ \tilde{u}(k+N-1 \mid k) \end{array}\right)
    xˉ(k+1)=Aˉ(k)x~(kk)+Bˉ(k)uˉ(k) \bar{x}(k+1)=\bar{A}(k) \tilde{x}(k \mid k)+\bar{B}(k) \bar{u}(k)
    其中,
    Aˉ(k)(A(kk)A(kk)A(k+1k)A(kk)A(k+1k)...A(k+P1k)) \bar{A}(k) \triangleq\left(\begin{array}{c} A(k \mid k) \\ A(k \mid k) A(k+1 \mid k) \\ \vdots \\ \\A(k \mid k) A(k+1 \mid k)...A(k+P-1\mid k) \end{array}\right)
    Bˉ(k)(B(kk)00A(k+1k)B(kk)B(k+1k)0A(k+1k)...A(k+P1k)B(kk)A(k+2k)...A(k+P1k)B(k+1k)B(k+N1k)) \bar{B}(k) \triangleq\left(\begin{array}{cccc} B(k \mid k) & 0 & \cdots & 0 \\ A(k+1 \mid k) B(k \mid k) & B(k+1 \mid k) & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \\A(k+1 \mid k)...A(k+P-1\mid k) B(k \mid k) & A(k+2 \mid k)...A(k+P-1\mid k) B(k+1 \mid k) & \cdots & B(k+N-1 \mid k) \end{array}\right)
    这里将预测时域和控制时域设为同一个值P。

    反馈校正

    将模型预测的结果与车辆的实际位置做对比,得到误差值e。该值之后会用在滚动优化上。

    滚动优化

    待优化的二次型多项式为:
    ϕ(k)=12uˉT(k)H(k)uˉ(k)+fT(k)uˉ(k)+a(k) \phi(k)=\frac{1}{2} \bar{u}^{\mathrm{T}}(k) H(k) \bar{u}(k)+f^{\mathrm{T}}(k) \bar{u}(k)+a(k)
    其中,
    H(k)2(BˉT(k)QˉBˉ(k)+Rˉ)f(k)2BˉT(k)QˉAˉ(k)x~(kk)a(k)x~T(kk)AˉT(k)QˉAˉ(k)x~(kk) \begin{array}{l} H(k) \triangleq 2\left(\bar{B}^{\mathrm{T}}(k) \bar{Q} \bar{B}(k)+\bar{R}\right) \\ f(k) \triangleq 2 \bar{B}^{\mathrm{T}}(k) \bar{Q} \bar{A}(k) \tilde{x}(k \mid k) \\ a(k) \triangleq \tilde{x}^{\mathrm{T}}(k \mid k) \bar{A}^{\mathrm{T}}(k) \bar{Q} \bar{A}(k) \tilde{x}(k \mid k) \end{array}

    a与待求解的u无关。得到一个标准的QP问题,可以用matlab内置函数直接求解,也可以手动求解。

    展开全文
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