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  • 解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述,这里...这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件 下,求的最大值。  当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法),然后带入转化为无条件极值问...

       解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述,这里主要讲拉格朗日法,因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。

       例如给定椭球:

                   

        求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件      下,求的最大值。

        当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法),然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难,甚至是做不到的,这时候就需要用拉格朗日乘数法了。  

        首先定义拉格朗日函数F(x):

              ( 其中λk是各个约束条件的待定系数。)                                                           

            然后解变量的偏导方程:

              ......,

       如果有l个约束条件,就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值(高等数学中提到的极值),将结果带回原方程验证就可得到解。

       回到上面的题目,通过拉格朗日乘数法将问题转化为

             

       对求偏导得到

              

       联立前面三个方程得到,带入第四个方程解之

              

       带入解得最大体积为:

              

     

       至于为什么这么做可以求解最优化?维基百科上给出了一个比较好的直观解释。

           举个二维最优化的例子:

             min f(x,y)    

              s.t. g(x,y) = c

          这里画出z=f(x,y)的等高线(函数登高线定义见百度百科):

                        

           绿线标出的是约束g(x,y)=c的点的轨迹。蓝线是f(x,y)的等高线。箭头表示斜率,和等高线的法线平行。从梯度的方向上来看,显然有d1>d2。绿色的线是约束,也就是说,只要正好落在这条绿线上的点才可能是满足要求的点。如果没有这条约束,f(x,y)的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。而现在加上了约束,最小值点应该在哪里呢?显然应该是在f(x,y)的等高线正好和约束线相切的位置,因为如果只是相交意味着肯定还存在其它的等高线在该条等高线的内部或者外部,使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小,只有到等高线与目标函数的曲线相切的时候,可能取得最优值。

      如果我们对约束也求梯度∇g(x,y),则其梯度如图中绿色箭头所示。很容易看出来,要想让目标函数f(x,y)的等高线和约束相切,则他们切点的梯度一定在一条直线上(f和g的斜率平行)。

      也即在最优化解的时候:∇f(x,y)=λ(∇g(x,y)-C)    (其中∇为梯度算子; 即:f(x)的梯度 = λ* g(x)的梯度,λ是常数,可以是任何非0实数,表示左右两边同向。)

          即:▽[f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0λ≠0

      那么拉格朗日函数: F(x,y)=f(x,y)+λ(g(x,y)−c) 在达到极值时与f(x,y)相等,因为F(x,y)达到极值时g(x,y)−c总等于零。

      min( F(x,λ) )取得极小值时其导数为0,即▽f(x)+▽∑ni=λihi(x)=0,也就是说f(x)和h(x)的梯度共线。

      简单的说,在F(x,λ)取得最优化解的时候,即F(x,λ)取极值(导数为0,▽[f(x,y)+λ(g(x,y)−c)]=0)的时候,f(x)与g(x) 梯度共线,此时就是在条件约束g(x)下,f(x)的最优化解。

     

            另附百度百科拉格朗日乘数法介绍:

            https://baike.baidu.com/item/拉格朗日乘数法/8550443?fr=aladdin

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  • 在数学建模与生活实际问题中,我们经常会遇到“优化问题”。而所谓“优化”,就是对于一个目标函数,在给定一些等式或不等式的约束后,求极值的过程。高中学的“线性规划”,就是一种简单的优化问题。 现在我们来...

      在数学建模与生活实际问题中,我们经常会遇到“优化问题”。而所谓“优化”,就是对于一个目标函数,在给定一些等式或不等式的约束后,求极值的过程。高中学的“线性规划”,就是一种简单的优化问题。

      现在我们来看,如何将相对复杂一点的“二次规划问题”(Quadratic Programming)在matlab中得以解决。

    一.遍历法

      这是最简单暴力的方法,根据约束条件得到自变量的取值范围,然后在自变量的取值范围中对自变量进行遍历,当因变量取得极值的时候问题就得到解决。

      但是在整个过程中,需要许多“人工”的操作,比如手算取值范围,然后编程计算因变量的各种值,然后找出极值,balabala一堆事情,很不“自动化”。而且在很多情况下手算会十分复杂,所以不在所有情况下适用。

    二.使用quadprog()函数

    如图,是quadprog()函数的帮助文档

      

     

    图中的数学公式,表示的是二次规划问题的一般形式。

    而下方的Syntax部分表示的是这个函数的不同调用格式。

    用一个例子具体说明式中各个变量的意思:

    【例】解决二次规划问题

    【分析】

    1.目标函数的表示

    对比文档,首先应该把目标函数表示成如下矩阵形式:

    H矩阵与线性代数中的“二次型”十分相似,要注意的是与二次型不同的地方,这里有个系数1/2,所以矩阵H的元素是二次型中的矩阵元素大小的两倍。

    本例中,,这是由于x1的平方项(即x1x1)系数为1/2,所以第1行第1列的元素为1=2*(1/2),x2的平方(即x2x2)系数为1,所以第2行第2列的元素为2=2*1,x1x2项(即x2x1)的系数为-1,所以第1行第2列和第2行第1列的元素均为-1。

     f矩阵则是目标函数中的一次项,这里写为f=\begin{bmatrix} -2\\ -6 \end{bmatrix}

    2.约束条件的表示

    对比文档,约束条件需要表示成这种格式,而这里只有不等式约束,所以式中的Aeq和Beq为空。(eq的意思是equation,等式)

     而约束条件中对变量x1和x2只给出下限,没有给上限,因此ub为空,(lb的意思是low_b:b的下限;ub的意思是up_b:b的上限)

    3.使用程序解决问题

    通过1.和2.两步,完成了目标函数与约束条件的表示,根据文档中的调用格式,录入程序即可

    H=[1 -1;-1 2];
    f=[-2;-6];
    A=[1 1;-1 2;2 1];
    b=[2;2;3];
    lb=[0;0];
    [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)

    注意最后一行不加分号,方便显示结果

    显示结果如下:

    x =
    
        0.6667
        1.3333
    
    
    fval =
    
       -8.2222
    
    
    exitflag =
    
         1
    
    
    output = 
    
      包含以下字段的 struct:
    
                message: '太长了...省略'
              algorithm: 'interior-point-convex'
          firstorderopt: 2.6645e-14
        constrviolation: 0
             iterations: 4
           cgiterations: []
    
    
    lambda = 
    
      包含以下字段的 struct:
    
        ineqlin: [3×1 double]
          eqlin: [0×1 double]
          lower: [2×1 double]
          upper: [2×1 double]
    

     

    成功完成!

     

     

    另外可以参考:https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598523

    详细解释了二次型,正定矩阵,海塞矩阵的含义

     

     

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  • TensorFlow代码实现霍普菲尔德网络(Hopfield)解决20个城市旅行商问题(TSP),旅行商问题 TSP 是一个典型的组合优化问题,并且是一个 NP 完全问题,其可能 Hamilton 圈的数目是顶点的数目 n 的指数函数,所以一般很难...
  • PCA与Autoencoder

    2021-02-19 10:28:05
    二是等式约束条件解决方法是消元法(即通过等式约束条件消去一个变量,得到其他变量关于该变量的表达式代入目标函数,转化为无约束的极值求解问题)或拉格朗日乘数法;三是不等式约束条件,常用的方法是KKT条件...

    拉格朗日乘数法

    一般情况下,最优化问题会碰到三种情况:是无约束条件,这是最简单的情况,解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可;是等式约束条件,解决方法是消元法(即通过等式约束条件消去一个变量,得到其他变量关于该变量的表达式代入目标函数,转化为无约束的极值求解问题)或拉格朗日乘数法;是不等式约束条件,常用的方法是KKT条件(拉格朗日乘数法的一种泛化)。

    1. 引入拉格朗日乘数\lambda,构造拉格朗日函数;
    2. 令偏微分为零,解方程组,得到可能极值点;
    3. 根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值

    协方差

    协方差:只表示线性相关的方向(变化趋势),取值正无穷到负无穷。也就是说,协方差为正值,说明一个变量变大另一个变量也变大;取负值说明一个变量变大另一个变量变小,取0说明两个变量没有相关关系。

    皮尔逊相关系数:相关系数是标准化后的协方差,两个变量之间的皮尔逊相关系数定义为两个变量的协方差除以它们标准差的乘积;标准系数不仅表示线性相关的方向,还表示线性相关的程度,取值[-1,1]。也就是说,相关系数为正值,说明一个变量变大另一个变量也变大;取负值说明一个变量变大另一个变量变小,取0说明两个变量没有相关关系。同时,相关系数的绝对值越接近1,线性关系越显著。

    协方差矩阵:对多维随机变量我们往往需要计算各维度两两之间的协方差,这样各协方差组成了一个n\times n的矩阵,即为协方差矩阵;协方差矩阵是个对称矩阵,对角线上的元素是各维度上随机变量的方差,协方差矩阵被定义为\sum(与求和符号相同)。

    特征值与特征向量

    特征值与特征向量:对于一个给定的方阵A,它的特征向量v经过这个线性变换后,得到的新向量仍然与原来的v保持在同一条直线上,但其长度或方向也许會改变,即Av=\lambda v\lambda为纯量,即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,即特征向量v对应的特征值。

    特征值分解:特征值分解可以得到特征值与特征向量。即A=Q\Lambda Q^{T}Q是矩阵A的特征向量组成的矩阵;\Lambda是对角阵,每一个对角线上的元素就是一个特征值,里面的特征值是由大到小排列的。特征值分解也有局限,比如变换的矩阵必须是方阵(参考奇异值分解)。

     

    根据目标值(target)的参与与否,分为有监督降维和无监督降维;根据高维空间与低维空间的关系(降维过程是否可以通过一个线性变换表示),分为线性降维和非线性降维。

    线性降维

    PCA

    推导

    • 当B为单位向量时,内积A和B的内积其实就是向量A在向量B的方向上的投影的长度。
    • 最大化投影后方差
    • 拉格朗日乘数法解决最值问题(限制条件:投影向量为单位向量)
    • 由公式可知,方差的值只由\lambda决定,\lambda的值越大,方差越大,也就是说我们需要找到最大的特征值与对应的特征向量。
    • (将一组N维向量降为K维,其目标是选择K个单位正交基,使得原始数据变换到这组基上后,各字段两两间协方差为0,而字段的方差则尽可能大(在正交的约束下,取最大的K个方差);等价于将协方差矩阵对角化:即除对角线外的其它元素化为0,并且在对角线上将元素按大小 从上到下排列)

    计算步骤

    • 中心化数据集
    • 求协方差矩阵
    • 求协方差矩阵的特征值和特征向量
    • 将特征值由大到小排序,保留前k个特征值对应的特征向量
    • 用特征向量构造投影矩阵

    kernal PCA(非线性降维)

     在PCA算法中,我们假设存在一个线性的超平面,可以让我们对数据进行投影。但有些时候数据不是线性可分的(不存在划分超平面),不能直接进行PCA降维。此时需要用到核函数的思想,先把数据集从n维映射到线性可分的高维N(>=n),再在高维空间中进行PCA降维

    Linear Discriminant Analysis

    与PCA区别

    • 出发点:PCA主要是从特征的协方差角度,去找到比较好的投影方式,即选择样本点投影具有最大方差的方向;而LDA则更多的是考虑了分类标签信息,寻求投影后不同类别之间数据点距离更大化以及同一类别数据点距离最小化,即选择分类性能最好的方向。
    • 学习模式:PCA属于无监督式(无参数),大多场景下只作为数据处理过程的一部分;LDA是一种有监督式学习方法

    推导

    • 定义目标函数:投影后类间距离最大,类内方差最小
    • 定义类内散度矩阵和类间散度矩阵

    计算步骤

    • 对数据进行标准化处理
    • 计算各类均值
    • 计算类内散度矩阵S_{b }和类间散度矩阵S_{w}
    • 计算矩阵S_{w}^{-1}S_{b},并对该矩阵进行特征分解,选取最大的k个特征值对应的特征向量组成W
    • 计算投影后的数据点Y=W^{T}X

     

    非线性降维

    Autoencoder

    其他非线性降维方法:等距离映射(Isomap),局部线性嵌入(LLE)

    Keras Autoencoder

     

    Reference

    拉格朗日乘数法

    最优化方法

    如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念

    如何理解矩阵特征值?

    PCA原理详细讲解

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  • 在这个基础上扩展并运用相关的软件解决实际生产中的一些问题。简单的说,就是一些最大、最小的问题。在这类问题中,重点在于写出目标函数、设置好决策变量、找对找全约束关系以及运用好相关软件。 1、单一生产问题...

    最简单的规划问题其实就是函数的求极值的问题。在这个基础上扩展并运用相关的软件解决实际生产中的一些问题。简单的说,就是一些最大、最小的问题。在这类问题中,重点在于写出目标函数、设置好决策变量、找对找全约束关系以及运用好相关软件。
    1、单一生产问题(高中学的线性规划)
    这种问题比较简单,所谓单一是指生产条件、市场需求等外界因素不随时间的变化而变化。
    *求解工具的简单介绍:
    1)lindo
    !注释内容,可用中文
    !目标函数:最大-max,最小-min,大小写不分
    max 3 x1+5 x2+4 x3
    !约束,以subject to开始
    subject to
    2 x1+3 x2<=1500
    2 x2+4 x3<=800
    3 x1+2 x2 +5 x3<=2000
    end
    *注意事项:
    变量以字母开头,下标写在后面,系数与变量之间加空格
    不等号为:<= ( <),>=( >) , =, <=与 <等同
    变量非负约束可省略
    结束时以end标示
    2)lingo
    model:
    MAX=3*x1+5*x2+4*x3;
    2*x1+3*x2<=1500;
    2*x2+4*x3<=800;
    3*x1+2*x2+5*x3<=2000;
    end
    *注意事项:
    目标函数中加等号
    变量与系数之间用“*”
    Model:-end可省略
    3)结果分析:
    举例:
    OBJECTIVE FUNCTION VALUE
    1) 3360.000
    VARIABLE VALUE REDUCED COST
    X1 20.000000 0.000000
    X2 30.000000 0.000000
    ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
    2) 0.000000 48.000000
    3) 0.000000 2.000000
    4) 40.000000 0.000000
    NO. ITERATIONS= 2
    分析:
    假设第二行(2))表示的是原料的约束条件,第三行(3))表示的是时间的约束条件,第四行(4))表示的是加工能力的约束条件。则:
    1、达到最优化时,原料无剩余,时间无剩余,加工能力剩余了40。
    2、原料增加1单位时,利润增加48,时间增加1单位时,利润增加2,加工能力增长不影响利润。
    所以,如果35元可买到1桶牛奶,要卖吗?35 <48, 应该买!聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元。
    4)敏感性范围的分析:
    最优解不变时目标函数系数允许变化范围
    分析目标函数中未知数的系数以及约束条件中未知数的系数
    X1 72.000000(X1的系数)
    24.000000(增加)
    8.000000(减少)
    x1系数范围(64,96) 在这个范围变化时,最优计划是不变的!
    Objective Coefficient Ranges
    Current Allowable Allowable
    Variable Coefficient Increase Decrease
    X1 3.000000 1.666667 1.000000
    X2 5.000000 1.500000 2.500000
    X3 4.000000 7.000000 3.000000

             Righthand Side Ranges
            Row          Current        Allowable        Allowable
                          RHS            Increase         Decrease
              2         1500.000         500.0000         833.3333
              3         800.0000         1000.000         600.0000
              4         2000.000         1250.000         750.0000
    
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  • 配电网络重构在数学上是一个多目标非线性混合优化问题,基于人工鱼群算法研究配电网重构,解决多目标投资组合问题,对并网后的配电网优化运行管理具有重要的理论意义和实际意义: 1、 首先求出多目标优化问题的...
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    所以,寻求新的解决最优问题的算法一直是研究热点。对约束优化问题的求解,已有许多算法被提出。传统的方法有梯度映射法、梯度下降法、惩罚函数法、障碍函数法等,但是单纯使用这些方法不是效率很低就是适用范围有限...
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    2012-11-25 17:06:01
    如果想很快查到函数的极值或看出其发展趋势,给出的数据点也不一定非得是等差的,可以根据需要任意给定。从简单的三角函数到复杂的对数、指数函数,都可以用EXCEL画出曲线。如果用得到,你还可以利用EXCEL来完成行列...

空空如也

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条件极值解决实际问题