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  • 可以用它来理解条件概率、先后验概率、全概率公式和贝叶斯公式,非常划算。 大概是一个这样的问题:有一个信号的发射端和接收端。发射端只发射A、B两种信号,其中发射信号A的概率为0.6,发射信号B的概率为0.4。当...

    一、例子

    这个例子是从网上看到的,感觉非常典型。可以用它来理解条件概率、先后验概率、全概率公式和贝叶斯公式,非常划算。

    大概是一个这样的问题:有一个信号的发射端和接收端。发射端只发射A、B两种信号,其中发射信号A的概率为0.6,发射信号B的概率为0.4。当发射信号A时,接收端接收到信号A的概率是0.9,接收到信号B的概率是0.1。当发射信号B时,接收端接收到信号B的概率为0.8,接收到信号A的概率为0.2。求当接收到信号A时,发射信号为A的概率。

    这是一道非常简单的题目,当你看完问题后,你可能已经知道要如何计算,但是本文的重点不是在解这道题目,而是介绍这些概念。

    二、数学符号表示

    发射信号为A的概率:P\left ( send A \right )=0.6

    发射信号为B的概率:P\left ( send B \right )=0.4

    发射信号A时,接收到信号A的概率:P\left ( receiveA|sendA \right )=0.9

    发射信号A时,接收到信号B的概率:P\left ( receiveB|sendA \right )=0.1

    发射信号B时,接收到信号B的概率:P\left ( receiveB|sendB \right )=0.8

    发射信号B时,接收到信号A的概率:P\left ( receiveA|sendB \right )=0.2

    接收到信号A时,发射信号为A的概率:P\left ( sendA|receiveA \right )=?

    三、条件概率

    P\left ( A|B \right )=\frac{P\left ( AB \right )}{P\left ( B \right )}=\frac{P\left ( A\bigcap B \right )}{P\left ( B \right )}                                                                                                                      (1)

    含义:当条件B成立时,事件A发生的概率。等于事件AB同时发生的概率除以事件B发生的概率。

    第二节

     

     

     

    中的数学符号除了前两个,其余都是条件概率

    四、先验概率

    这里的发射信号A的概率P\left ( send A \right )和发射信号B的概率P\left ( send B \right ),虽然没详细叙述怎么得到的,但是可以猜测出这是根据一些先前的观测或者经验得到的。这种概率在这里被称为先验概率。

    五、后验概率

    后验概率是指在得到一些观测信息后,某事件发生的概率。

    这个例子,接收到信号A时,发射信号为A的概率:P\left ( sendA|receiveA \right )就是个后验概率。就是当已知发射的结果“接收到信号”后,发射信号A的概率。这已与不知道接收到什么信号时发射信号A的概率不同了,当不知道接收到什么信号时,发射A的概率就是先验概率P\left ( send A \right )

    下面我们可以开始对这个问题进行推导了:由于后验概率通常是个条件概率,因此根据式(1)调用两次得

    P\left ( sendA|receiveA \right )=\frac{P\left ( receiveA\bigcap sendA \right )}{P\left ( receiveA \right )}=\frac{P\left ( sendA \right )P\left ( receiveA|sendA \right )}{P\left ( receiveA \right )}                  (2)

     

    现在分子P\left ( receiveA|sendA \right )=0.9是发射信号A时接收到信号A的概率;P\left ( send A \right )=0.6是发射A的概率,这两个已知。若想求分母就要用到全概率公式了。

    六、全概率公式

    全概率公式为:

    P\left ( B \right )=\sum_{i}^{n}P\left ( A_i \right )P\left ( B|A_i \right )                                                                                                                       (3)

    ,其中P\left ( A_1\bigcap A_2\bigcap ...\bigcap A_n \right )=0P\left ( A_1\bigcup A_2\bigcup ...\bigcup A_n \right )=1。可以认为事件A_i\left ( i=1,2,...,n \right )为对全概率“1”的一个划分。这也是全概率公式名称的由来。条件概率可以将一个概率转化为在一个已知的全概率划分下的条件概率P\left ( B|A_i \right )与这个全概率划分P\left ( A_i \right )内积(内积含义同向量内积,不懂的话百度吧)。

    发射信号A的概率P\left ( send A \right )和发射信号B的概率P\left ( send B \right )是全概率“1”的一个划分,因为只可能发射这两种信号。我们用全概率公式(3),对(2)式的分母进行分解,得到

    P\left ( receiveA \right )=P\left ( sendA \right )P\left ( receiveA|sendA \right )+P\left ( sendB \right )P\left ( receiveA|sendB \right )                   (4)

    可以理解为,接收到一个信号为A的概率=发射信号A且发射信号A时接收到信号A+发射信号B且发射信号B时接收到信号A。

    现在分母的各项也是已知的了,将(4)带入(2)中就可以求解这个后验概率:

    P\left ( sendA|receiveA \right )=\frac{P\left ( sendA \right )P\left ( receiveA|sendA \right )}{P\left ( sendA \right )P\left ( reseiveA|sendA \right )+P\left ( sendB \right )P\left ( receiveA|sendB \right )}=\frac{0.6\times 0.9}{0.6\times 0.9+0.4\times 0.2}=0.87      (5)

    其实这个问题就算出来了,但同时这也引出了本文的最后一个问题:贝叶斯公式

    七、贝叶斯公式

    贝叶斯公式表示为:

    P\left ( A_i|B \right )=\frac{P\left ( A_i \right )P\left ( B|A_i \right )}{\sum_{k}^{n}P\left ( A_k \right )P\left ( B|A_k \right )}                                                                                                                      (6)

    与全概率公式一样,A_i\left ( i=1,2,...,n \right )为对全概率“1”的一个划分贝叶斯公式常用于求解后验概率

    这与(5)式有着相同的形式。其实我们本题推导的思路就是贝叶斯公式推导的思路。我们可以把(5)式后验概率的求解理解成:接收到信号A时可能是发射信号A且接收到信号A,或者发射了信号B且接收到信号A,而其中只有前者符合所求概率的条件。因此接收到一个信号A时发射的信号也是A的概率=发射了一个信号A的概率\times发射信号A时接收到信号A的概率\div(发射了一个信号A的概率\times发射信号A时接收到信号A的概率+发射一个信号B的概率\times发射信号B时接收到信号)

    与(5)式类似。贝叶斯公式的理解为:B发生时,可能全概率的划分A1、A2、...、An都会发生。当B发生时Ai发生的概率=Ai发生的概率\timesAi发生时B发生的概率\div求和k(Ak发生的概率\timesAk发生时B发生的概率)。

    贝叶斯公式的特点就是能够通过先验概率条件概率后验概率,在许多场合都会用到。不过贝叶斯公式其实刚开始总是不太好理解,需要借助前面通过条件概率全概率公式的推导来理解。这种例子碰到得多了应该能更加熟练。

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  • 条件概率

    2019-08-27 09:35:54
    一、条件概率 1.1、条件概率定义 1.2、性质 1.3、乘法公式 二、全概率公式与贝叶斯公式 2.1、问题引入 抽签问题例子:   一袋中有a个白球,b个黄球,记a+b=n.设每次摸到各球的概率相等,每次从袋中...

    一、条件概率

    1.1、条件概率定义

    在这里插入图片描述

    1.2、性质

    在这里插入图片描述

    1.3、乘法公式

    在这里插入图片描述

    二、全概率公式

    2.1、问题引入

    抽签问题例子:
      一袋中有a个白球,b个黄球,记a+b=n.设每次摸到各球的概率相等,每次从袋中摸一球,不放回地摸n次.则第k次摸到白球的概率均为a/n.

    2.1.1、方式一: 使用组合求取频数,计算概率在这里插入图片描述

    2.1.2、另一种方式

    在这里插入图片描述

    2.2、全概率公式

    在这里插入图片描述
    全概率公式: A 为任意事件

    在这里插入图片描述

    三、贝叶斯公式

      与全概率公式解决的问题相反,贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因(即大事件A已经发生的条件下,分割中的小事件Bi的概率),设B1,B2,…是样本空间Ω的一个划分,则对任一事件A(P(A)>0),有
    根据乘法公式得:
    在这里插入图片描述
    P(A)使用全概率公式替换得:

    在这里插入图片描述

    简化后的贝叶斯公式:
    在这里插入图片描述

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  • 边际概率:事件发生的概率(p(A)),可以认为是无条件概率。它不以其他事件为条件。例如:一张纸牌是红色的概率(p(red)= 0.5)。另一个例子:一张纸牌的概率是4(p(four)= 1/13)。 联合概率:p(A和B)。...

    概率可以是边际的,联合的或有条件的。理解它们之间的差异以及如何在它们之间进行操纵是成功理解统计基础的关键。

    边际概率:事件发生的概率(p(A)),可以认为是无条件概率。它不以其他事件为条件。例如:一张纸牌是红色的概率(p(red)= 0.5)。另一个例子:一张纸牌的概率是4(p(four)= 1/13)。

    联合概率:p(A和B)。事件A和事件B发生的概率。它是两个或多个事件相交的概率。 A和B相交的概率可以写成p(A∩B)。示例:一张牌是四张红牌的概率= p(四张红牌)= 2/52 = 1/26。 (在52张套牌中有两个红色四号,四个心形和四个钻石)。

    条件概率:p(A | B)是事件B发生的事件A发生的概率。例如:假设您画了一张红牌,那么它变成四(p(four | red))= 2/26 = 1/13的概率是多少。因此,在26张红牌(给定红牌)中,有两个四分之一,所以2/26 = 1/13。

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  • 条件概率公式 Ω样本空间中,A,B两个事件P(B)>0,在B已经发生的条件下A发生的概率,A对B的条件概率P(A|B)。 P(A)是无条件概率->样本空间为Ω P(A|B)是条件概率->样本空间发生变化,B发生的前提下,以B为样本...

    本人是初学者一枚,写下笔记分享自己的一些见解,若有错误之处希望各位大神多多海涵,并请指出理解有误的地方,谢谢

    条件概率公式

    Ω样本空间中,A,B两个事件P(B)>0,在B已经发生的条件下A发生的概率,A对B的条件概率P(A|B)。
    P(A)是无条件概率->样本空间为Ω
    P(A|B)是条件概率->样本空间发生变化,B发生的前提下,以B为样本空间

    方法一:
    在这里插入图片描述其中nB代表B中的样本点数量,nAB代表B发生的前提下A也发生,也就是AB都发生。

    方法二:
    在这里插入图片描述
    注意条件概率就是样本空间发生了变化。

    例子:

    编号1-6号的球总共6个,从中随机取一个观察其号码,B事件代表从中取到的球编号为偶数,A1事件取到1号球,A2事件取到2号球,A3事件取到的球编号大于4
    问题1:P(A1)=1/6,P(A1|B)=0(取到偶数编号球的前提下,取到1号球的概率)
    问题2:P(A2)=1/6,P(A2|B)=1/3(取到偶数编号球的前提下,取到2号球的概率)
    问题3:P(A3)=1/3,P(A3|B)=1/3(A3事件会取到5、6号球,而B事件取到2、4、6号球,也就是不会出现5号球)

    乘法公式

    由之前的条件概率可以推出:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    前提条件P(A)>0,P(B)>0,则可以得出乘法公式为:
    在这里插入图片描述
    这个公式可以这么理解,笼统的概括把它分为n步,假设A1,A2…An都正确,第一步是正确的也就是P(A1),然后在第一步是正确的前提下,第二步是正确的也就是P(A2|A1),然后在第一第二步都正确的前提下,第三步是正确的,P(A3|A1A2)…如此类推,直到后面的在第一第二…第n-1步都正确的前提下,第n步是正确的P(An|A1A2…An-1)。

    图示

    在这里插入图片描述

    全概率公式

    A1,A2…An是实验E的完备事件组,完备事件组条件1、事件之间互不相容,2、全部事件的并集是样本空间Ω,且P(Ai)>0,则全概率公式P(B):
    在这里插入图片描述

    例子

    在这里插入图片描述
    事件B为性别是男生的事件,而A1、A2、A3,把样本点分成三排,分别对应上面第一列,第二列,第三列。则有全概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=40/10015/40+50/10010/50+10/100*5/10,相当于把要求得事件B分成三部分,每一小部分取求解。

    贝叶斯公式

    全概率公式是知道事件的原因推出结果(因->果),而贝叶斯公式是知道事件的结果再推出原因(果->因)。
    A1,A2…An是实验E的完备事件组,B是其中任意的一个事件,且P(Ai)>0,P(B)>0,求P(Ak|B),已经知道结果B事件发生,求是Ak个原因导致的。
    在这里插入图片描述
    其中P(Ai)是先验概率,已经明确的概率,P(Ai|B)是后验概率,不明确的概率,已知结果求解原因。
    仔细观察上面的公式会发现,在乘法公式(利用条件概率推出的)的时候出现过的两条公式:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    其中结果都是P(AB),也就是可以通过变形得到:
    在这里插入图片描述
    移动一下就会发现,这样得出来的刚好就是贝叶斯公式。

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    这个例子很好理解,A是熬夜,C是懒床,B是迟到。一般情况下,熬夜会增加懒床的概率,懒床会增加迟到的概率。当然,天气冷也会增加懒床的概率,堵车也会增加迟到的概率,现实生活中的可能性是很多的,我们现在只关注A...
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空空如也

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条件概率例子