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  • 杨辉三角知识点详解

    千次阅读 2019-09-29 07:05:19
    杨辉三角(欧洲叫帕斯卡三角)是一个很奇妙东西,它是我国数学家杨辉在1261年发现,欧洲帕斯卡于1654年发现,比我国巨佬数学家杨辉晚了393年。(在此show一下我爱国情怀) 铺垫知识 (1)二项式系数 二项式...

    杨辉三角

    杨辉三角(欧洲叫帕斯卡三角)是一个很奇妙的东西,它是我国数学家杨辉在1261年发现的,欧洲的帕斯卡于1654年发现,比我国的巨佬数学家杨辉晚了393年。(在此show一下我的爱国情怀)

    铺垫知识

    (1)二项式系数

    二项式系数,定义为\((1+x)^n\)展开之后\(x\)的系数。

    通常来讲,二项式系数代表的是从\(n\)件物品中,无序地选取\(k\)件的方法总数,如果你读过我全排列的博客链接,那么你会发现,这就是我们定义的“组合数”。

    证明也比较简单:

    我们假设上述的\(n=4,k=2\),通过组合数公式可以得出组合数为6.

    假如我们把\((1+x)^4\)展开并标记每一个\(x\),就会得到:
    \[ (1+x_1)(1+x_2)(1+x_3)(1+x_4) \]
    上式等于:
    \[ (1+x_1)\cdots(1+x_4)=\cdots+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4+\cdots \]
    我们发现,假如把标记去掉,这个\(x^2\)的系数正好等于6.

    也就证明了:\((1+x)^n\)\(x^k\)的系数正好等于从\(n\)个元素中选取\(k\)个元素的组合数(\(C_n^k\).

    杨辉三角性质

    杨辉三角(帕斯卡三角),是二项式系数在三角形中的几何排列。我们看一发杨辉三角的图,并在此图上进行后续的讲解:(版权:转载自百度)

    1738131-20190816153759883-443543513.jpg

    我们从这张杨辉三角示意图上发现,杨辉三角的每行行首与每行结尾的数都为1.而且,每个数等于其左上及其右上二数的和。这样我们发现,杨辉三角左右对称。

    那么我们就可以通过这些基本概念把这个杨辉三角同我们所说的组合数即二项式系数联系在一起:

    通过刚才的知识铺垫,我们发现,第i行的第j个数,我们可以用\(C_{i}^{j}\)来表示从\(i\)个元素中选取\(j\)个元素的组合数。(注意,这里的第i行是从0计数)并且,由于对称性,我们可以发现,杨辉三角中第n行的第m个数恒等于本行的第n-m+1个数。

    与二项式系数知识点进行结合,我们会发现\((1+x)^n\)展开后,各次数的系数正好对应第\(n\)行的每一项。

    杨辉三角代码实现的递推公式

    在很多题目中,我们常常需要用打表的形式先处理出杨辉三角矩阵,然后再以此为基础进行程序求解。那么我们打表的时候如果手存表格的话,不仅浪费考试时间,而且保证不了空间范围和正确性,这个时候需要我们使用递推的手段用程序处理出表格。

    根据杨辉三角的性质,我们推出以下的递推公式:(如果看完了上面这些,这个还看不懂的话,就退役吧)
    \[ C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1]; \]

    杨辉三角的基本知识点大约是这个样子。

    大家需要用一些例题巩固。

    转载于:https://www.cnblogs.com/fusiwei/p/11364292.html

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  • 杨辉三角的解法

    2021-05-19 10:39:54
    给定一个非负整数numRows,生成杨辉三角的前numRows行。 在杨辉三角中,每个数是它左上方和右上方的数的和。 示例: 输入: 5 输出: [ [1], [1,1], [1,2,1], [1,3,3,1], [1,4,6,4,1] ] 按照定义直接写就行...

    要求返回前n行的杨辉三角所有值

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    118. 杨辉三角

    难度简单493

    给定一个非负整数 numRows,生成杨辉三角的前 numRows 行。

    在杨辉三角中,每个数是它左上方和右上方的数的和。

    示例:

    输入: 5
    输出:
    [
         [1],
        [1,1],
       [1,2,1],
      [1,3,3,1],
     [1,4,6,4,1]
    ]

    按照定义直接写就行。每进入下一行就重新增加一个对应个数的数组,并将第一个和最后一个置为1,其余位res[n][i] = res[n-1][i-1] + res[n-1][i]。由于对称,还可以对其进行优化。

     

    // class Solution {
    // public:
    //     vector<vector<int>> generate(int numRows) {
    //         vector<vector<int>> res;
    //         if(numRows == 0) return res;
    //         for(int n = 0; n < numRows; n++){
    //             res.push_back(vector<int>(n+1));
    //             res[n][0] = res[n][n] = 1;
    //             for(int i = 1; i <= n/2; i++){//可以只计算前一半
    //                 res[n][n-i] = res[n][i] = res[n-1][i-1] + res[n-1][i];
    //             }
    //         }
    //         return res;
    //     }
    // };
    
    class Solution {
    public:
        vector<vector<int>> generate(int numRows) {
            vector<vector<int>> res;
            if(numRows == 0) return res;
            for(int n = 0; n < numRows; n++){
                res.push_back(vector<int>(n+1));
                res[n][0] = res[n][n] = 1;
                for(int i = 1; i < n; i++){//算整行的话就不能取到n
                    res[n][i] = res[n-1][i-1] + res[n-1][i];
                }
            }
            return res;
        }
    };

     

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  • 神奇的杨辉三角

    2020-12-08 19:12:52
    这个杨辉三角的规律就是: 1. 最左边的数和最右边的数都是1 2. 当前行的第二个数肯定是上一行的第一个数和第二个数的和 这个时候,我们就知道,我们可以创建一个二维数组,因为行数我们是清楚的,然后列数我们不清楚...

    神奇的杨辉三角,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。

    那么如何用代码实现杨辉三角呢?

    首先,我们需要找规律,为什么一定要找规律呢,肯定是为了遇到很大的值,我们仍然很快计算出结果。

    这个杨辉三角的规律就是:
    1. 最左边的数和最右边的数都是1
    2. 当前行的第二个数肯定是上一行的第一个数和第二个数的和

    这个时候,我们就知道,我们可以创建一个二维数组,因为行数我们是清楚的,然后列数我们不清楚,所以我们就不能直接定义列数。提到这里,我突然想多讲一个知识点,就是二维数组的三种存数据的方式:

    1. 第一种: 一个一个元素来
    int [][] arr=new int[3][5];//这种方式下,列(一维数组的个数)的位置必须写,不然会报错的
    arr[0][0]=1;
    arr[1][4]=11;
    arr[2][3]=12;
    
    
    1. 第二种:一个一个数组来
    int arr2[][]=new int[3][]; //这种方式下,一维数组的长度可以不声明
    arr2[0]=new int[3]{1,2,3}; 
    arr2[1]=new int[2]{1,2};
    arr2[2]=new int[1]{6};
    
    1. 第三种:一次性都来
    int [][]arr2=new int[][]{{1,2,3},{1,2},{1,2,3,4}};
    //可简写为:
    int [][]arr2={{1,2,3},{1,2},{1,2,3,4}};
    
        //杨辉三角
        private static void d() {
            int [][]arr=new int[10][];  //因为列数不确定,我们选择定义方式为:一个数组一个数组来
            //行数和个数的关系
            for(int i=0;i<arr.length;i++){
                arr[i]=new int[i+1];  //arr[i]表示一个一维数组
            }
            for(int i=0;i<arr.length;i++){
                for(int j=0;j<arr[i].length;j++){
                    if(j==0||j==arr[i].length-1){
                        arr[i][j]=1;
                    }else{
                        arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j];
                    }
                }
            }
            //输出
            for(int i=0;i<arr.length;i++){
                //输出每行前面的空格
                for(int j=0;j<10-i;j++){
                    System.out.print(" ");
                }
                for(int j=0;j<arr[i].length;j++){
                        System.out.print(arr[i][j]+"   ");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    

    运行结果:

    控制台

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  • 杨辉三角

    2019-10-04 05:00:05
     关于杨辉三角,相信大家都很熟悉,忘记同学请自行Wiki。下面引用一张 Wiki 上图作为知识回顾。 上面这张图可以简要概括出以下几点: 1.每行数左右对称,且都是以1开始和结束正整数。 2.行数递增同时...

    杨辉三角

     

    前言

      关于杨辉三角,相信大家都很熟悉,忘记的同学请自行Wiki。下面引用一张 Wiki 上的图作为知识回顾。

    上面这张图可以简要概括出以下几点:

    1.每行数左右对称,且都是以1开始和结束的正整数。

    2.行数递增的同时,列数也在递增。

    3.两条斜边上的1除外,其它的元素值均由其上部两个数之和。

    如何用编程的方式实现打印(下三角)

    首先来看一下运行结果的截图:

    如上图,这是一个以下三角(直角三角形)的形式打印出来的,观察上面这张图,很容易就会使人联想到用一个矩阵来存储所有的数值,打印的时候只打印下三角即可。

    第1步:首先构建一个10x10的矩阵

    第2步:观察发现列下标为0的元素都为1,且行列下标值相等的元素也都为1

    第3步:其余元素均可由 array[i][j] = array[i-1][j] + array[i-1][j-1] 计算得到

    开始编写代码:【C语言实现】

    void PrintTriangle()
    {
        int arr[10][10]={0};
        int i,j;
        for(i=0;i<10;i++)
        {
            for(j=0;j<=i;j++)
            {
                if(j==0 || i==j)
                    arr[i][j]=1;
                else
                    arr[i][j]=arr[i-1][j]+arr[i-1][j-1];
                printf("%-4d", arr[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }

    现在,我们固定了数组的大小。如果我们想拥有一个可以通过输入,选择打印行数的的方法,怎么办呢?把方法改为 PrintTriangle(int n) { int arr[n][n]={0}; ... } 不幸的是,这段代码在 C 中编译无法通过,因为 C 语言中数组定义要求的是一个常量表达式。

    那么,我们换成 C# 来试试:

    static void PrintTriangle(int n)
    {
        int[,] arr = new int[n, n];
        int i, j;
        for (i = 0; i < arr.GetLength(0); i++)
        {
            for (j = 0; j <= i; j++)
            {
                if (j == 0 || i == j)
                    arr[i, j] = 1;
                else
                    arr[i, j] = arr[i - 1, j] + arr[i - 1, j - 1];
                Console.Write(arr[i, j].ToString().PadRight(3));
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }

    令人欣慰的是 C# 没有编译错误,我们完全可以在 C# 中使用变量定义数组。为什么 C# 支持而 C 不支持呢?这个已经超出本文的主旨了,有兴趣的同学可以搜索相关资料。

    现在,我们来思考另一个问题:我们只使用了一半的数组空间,而另一半却白白浪费掉了,实在可惜。有没有一种方式,可以让我们直接计算出相关元素的值,而无需用数组来做临时存储呢?为了阅读方便,我把上面的图贴在此处,仔细观察,是否可以用数学计算来表示每个元素的值。

    现在以列作为单位来观察其中的规律,每次循环进来都会首先打印 1,那么,我们就可以在每次内层循环进入的时候打印出 1,解决第1列。

    第2列参考循环中 i,j 值得变化,恰好 i-j 是第2列的值。

    第3列,继续来验证并总结这个规律,想啊想,想啊想。数学没学好,是硬伤啊。。呵呵

     

    你想到了吗?^_^  【C】

    void PrintTriangle(int n)
    {
        int num, i, j;
    
        for(i=0; i < n; i++)
        {
            num = 1;
            for(j=0; j <= i; j++)
            {
                printf("%-3d ", num);
                num = num * (i-j)/(j+1);
            }
            printf("\n");
        }
    }


    是的,重点就是这个:num = num * (i-j)/(j+1) 。

    最后,我们来看另一种实现方式:

    1

    =======

    1 1

       1 1

    -----------

    1  2  1

    =======

    1  2  1

        1  2  1

    -------------

    1 3   3   1

    以此类推,我们只要在第2行开始,对 11 进行移位后相加运算就可以了。

    看一段 Python 的实现:

     def triangle(n):
         row = [1]
         k = [0]
         for x in range(n):
             print row
             row = [l+r for l,r in zip(row+k, k+row)]

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/kanlei/p/3426767.html

    展开全文
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