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  • 杨辉三角的重要结论

    千次阅读 2019-04-17 00:02:34
    第n行m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中...可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行第i个数等于第n行第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。 (a+b...
    1. 第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
    2. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ,为组合数性质之一。

    3. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)

    4. (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

    5. 将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

     

    在程序中,将杨辉三角横着放,即

    1     1     1     1     1     1     1     1     1
    1     2     3     4     5     6     7     8     9
    1     3     6    10    15    21    28    36    45
    1     4    10    20    35    56    84   120   165
    1     5    15    35    70   126   210   330   495
    1     6    21    56   126   252   462   792  1287
    1     7    28    84   210   462   924  1716  3003
    1     8    36   120   330   792  1716  3432  6435
    1     9    45   165   495  1287  3003  6435 12870

    可得到第 i 行第 j 列的数为  C(i + j - 2,j - 1)

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  • 杨辉三角的性质

    2020-10-05 20:36:09
    杨辉三角 杨辉三角有 第0层, 所以第n层,与第n行含义不同 第n行 为第n-1 层,下面结论 要分辨 行与层 第0层 1 第1层 1 1 第2层 1 2 1 第3层 1 3 3 1 第4层 1 4 6 4 1 第5层 1 5 10 10 5 1 第6层 1 6 15 20 15 6 1 ...

    杨辉三角

    杨辉三角有 第0层, 所以第n层,与第n行含义不同
    第n行 为第n-1 层,下面结论 要分辨  行与层
    
    第0层  1
    第1层  1 1
    第2层  1 2 1
    第3层  1 3 3 1
    第4层  1 4 6 4 1
    第5层  1 5 10 10 5 1
    第6层  1 6 15 20 15 6 1
    第7层  1 7 21 35 35 21 7 1
    第8层  1 8 28 56 70 56 28 8 1
    第9层  1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
        
    

    (a+b)0=1   (a+b)1=a+b                 (a+b)2=a2+2ab+b2                                (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)^0=1 \\ \quad\ \ \ (a+b)^1=a+b \\ \quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ \quad\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

    1. 杨辉三角的第n层的数,对应二项式 (a+b)n(a+b)^n 展开式n的系数

    1. 每一层 对应元素 Cn0C_n^0  Cn1C_n^1 \cdots CnkC_n^k  \cdotsCnn1C_n^{n-1}   CnnC_n^n

    1. 两条斜边数字 都为1 ,而其余数 为上层两数之和Cnk=Cn1k1+Cn1kC_n^k =C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k

    1. 第n层的 第m个数 与第n-m 个数 相等 Cnm=CnnmC_n^m= C_n^{n-m}

    1. 每层数字和2n2^n (n为层数)

    1. 依据 性质5 ,可得出 前n 行(0层到n-1 层)的和 符合 公比为2

      等比公式 Sn=a1(1qn)(1q)=2n+11     20+21+22+23+24=251S_n =\frac{a1*(1-q^n)}{(1-q)} =2^{n + 1}-1 \quad \ \ \ \ \ 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4=2^5-1


    1. 前n 行 共有多少个数字 ,(即前n-1层),符合等差 数列公式,公差为1

      Sn=na1+n(n1)2d=n+n2n2=n(n+1)2S_n= na_1+\frac{n(n-1)}{2}d= n+\frac{n^2-n}{2}= \frac{n(n+1)}{2} (n 为行 ,即n-1 层)


    1. 前n行 所有 偶数的个数,

    (注意公式计算的结果 是 从0 层开始的 前n行的 偶数个数)

    (前4行 对应的 从0 层到 第 3层)

    S0=S1=0S2n=3Sn+n(n1)2S2n+1=2Sn+Sn+1+n(n+1)2\quad S_0 = S_1=0 \\ \quad S_{2n}=3S_n+\frac{n(n-1)}{2} \\\quad S_{2n+1}= 2S_n+S_{n+1}+\frac{n(n+1)}{2}

    ​ 知道每一层 偶数的个数,递归+记忆化(解决多组数据) +大数

    ​ 就可以求 前n行 一共的个数

    具体代码:https://blog.csdn.net/nefu__lian/article/details/108931799


    1. 思考 前n行 所有 奇数个数, 可以由 性质 7,8 共同得到
    展开全文
  • 确实是个组合数应用结论。(帖子下就不要讨论科学上网了 再结合官方题解。也就是说通过组合数就可以知道最底下数对顶端贡献。 比如绿色0,蓝色1,红色2. 顶端答案就是 0+1*4+6*0+4*0+1*2=6 6mod3...

    https://atcoder.jp/contests/arc117/tasks/arc117_c


    思路:

    讲真..很结论。

    再结合官方题解。也就是说通过组合数就可以知道最底下的数对顶端的数的贡献。

    比如绿色0,蓝色1,红色2.

    顶端的答案就是 0+1*4+6*0+4*0+1*2=6  6mod3=0;

    所以是绿色。

    然后%3的组合数用lucas

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<queue>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<map>
    #include<set>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #define debug(a) cout<<#a<<"="<<a<<endl;
    using namespace std;
    const int maxn=4e5+1000;
    typedef long long LL;
    const LL mod=3;
    inline LL read(){LL x=0,f=1;char ch=getchar();	while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;}
    map<char,LL>map1;
    LL fac[maxn];
    LL ksm(LL a,LL k){
       LL res=1;
       while(k>0){
          if(k&1) res=res*a%mod;
          k>>=1;
          a=a*a%mod;
       }return res%mod;
    }
    LL C(LL n,LL m){
       if(m>n) return 0;
       return (fac[n]*ksm(fac[m],mod-2)%mod*ksm(fac[n-m],mod-2)%mod)%mod;
    }
    LL lucas(LL n,LL m){
        if(!m) return 1;
        return C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
    }
    int main(void){
       cin.tie(0);std::ios::sync_with_stdio(false);
       fac[0]=1;
       for(LL i=1;i<=3;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
       map1['B']=0;map1['W']=1;map1['R']=2;
       LL n;cin>>n;
       LL ans=0;
       for(LL i=0;i<n;i++){
          char op;cin>>op;
          LL d=map1[op];
          ans=(ans+d*lucas(n-1,i))%mod;
       }
       if(n%2==0) ans=(3-ans)%3;///ans*=(-1)^(n-1)
       if(ans==0){
          cout<<"B"<<"\n";
       }
       else if(ans==1){
          cout<<"W"<<"\n";
       }
       else if(ans==2){
          cout<<"R"<<"\n";
       }
       return 0;
    }
    

     

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  • 杨辉三角 x

    2019-10-01 11:14:57
    杨辉三角是美丽数学结晶,其结论往往多蕴含自然之美.  ——以下内容均摘抄自题解. 例题: 洛谷P1762 偶数 正如这题所示,数据在n<=10^15范围内则引导我们去寻找空间更节省,速率更高效算法。 首先,很...

    杨辉三角是美丽的数学结晶,其结论往往多蕴含自然之美.

                    ——以下内容均摘抄自题解.

    例题:

    洛谷P1762  偶数

    正如这题所示,数据在n<=10^15的范围内则引导我们去寻找空间更节省,速率更高效的算法。

    首先,很明显,杨辉三角之特点在于其行数即等于每行的数字数。因此,可以很容易使用求和公式求出1到n行一共有多少个数字。

    其次,通过观察,可以发现,奇数个数比偶数个数更有规律,其规律在于:

    1. 每行奇数个数一定为2^k(k为自然数)

    2. 当行数恰为2^k(k为自然数)时,奇数个数为2^k,偶数个数为零

    3. 当行数恰为2^k(k为自然数)时,奇数个数和恰为3^(k-1)

    4. 更巧妙的是:这个规律能更加扩展到一个不为2^k的数上,因为每一个数,都能分解为若干项2^k的和的形式。

    举个例子吧:当n=2333;

    2333= 2048+256+16+8+4+1

    通过暴力程序,我们可以找出2333的所有奇数个数为190985

    那么,我们找出如下数字

    行数 所有奇数个数

    2048 177147

    256 6561

    16 81

    8 27 4 9 1 1

    我们可以巧妙发现:177147 + 6561*2 + 81*4 + 27*8 + 9*16 + 1*32恰好等于190985!

    那么,通过以上的探索,我们就能通过对n的分解,求出奇数总个数。

    所以,偶数总个数也就不难得出了。

    1. 这样,我们就将一个看起来很困难的大量数求和,降级为极具规律性的数学公式求法。问题也顺理成章转化为如何将一个数分解为若干项2^k的和的形式。通过分析,我们知道算法的复杂度是O(logn)级的,足够通过所有的数据。

    2. 这道题目构思精巧,逻辑严密,能够告诉我们规律的寻找是一个漫长的探索过程,但是一旦得出了规律,世间万物自然水落石出!这个算法的正确性能够通过数学证明的,此处不赘述。

    3. 不要忘了膜题目要求的数字哦!

    下面附探索规律的表格:

     

    首先找规律什么的....(除了这个,其实也不一定对~~~~)

    /*
                                             前  前        前    前
                                        每   i   i     每   i   i
                                        排   排   排   排   排  排
                                        偶   偶   偶   奇   奇   奇
                                        数   数   数   数   数  数
                                        个   个   和   个   个   和
    */
                      1                 0    0    0   1    1    1
                     1 1                0    0    0   2    3    3
                    1 2 1               1    1    2   2    5    5
                   1 3 3 1              0    1    2   4    9    7
                  1 4 6 4 1             3    4    16  2    11    9
                1 5 10 10 5 1           2    6    26  4    15   21
              1 6 15 20 15 6 1          3    9    58  4    19    53
            1 7 21 35 35 21 7 1         0    9    58  8    27  128
          1 8 28 56 70 56 28 8 1        7    16   254  2    29  130
        1 9 36 84 126 126 84 36 9 1     6    22   746  4    33  150
             ......

    大佬给出的:

    // 行数 该行奇数 奇数和 偶数 偶数和   总数
        1     1     1     0    0        1
        2  (  2)    3     0    0        3
        3  (  2)    5     1    1        6
        4  (  4)    9     0    1        10
        5  (  2)   11     3    4        15
        6  (  4)   15     2    6        21
        7  (  4)   19     3    9        28
        8  (  8)   27     0    9        36
        9  (  2)   29     7    16       45
       10  (  4)   33     6    22       55
       16  ( 16)   81     0    55       136
       32  ( 32)  243     0    285      528
       64  ( 64)  729     0    1351     2080
      128  (128)  2187    0    6069     8256
      256  (256)  6561    0    26335    32896
      512  (512)  19683   0    111645   131328
     1024 (1024)  59049   0    465751   524800
     2048 (2048)  177147  0    1921029  2098176
     4096 (4096)  531441  0    7859215  8390656

     

     

    下面附探索规律的辅助程序:

    #include <cstdio>
    using namespace std;
    
    int t, i, j, ou, line, e, tot;
    int mp[10005][10005];
    int judge(int x)
    {
        int v=1;
        while (v<x)
        {
            v *=2;
        }
        if (v==x) return 1;
        else return 0;
    }
    int main()
    {//  Input an integer in 10000!
        scanf("%d",&e);
        mp[1][1]=1;
        ou = line = 0;
        tot = 1;
    //行数(该行总数) 该行奇数 所有奇数 该行偶数 所有偶数 总数
        printf("    1     1      1     0     0     1\n");
        for (i=2; i<=e; ++i)
        {
            line=0;
            for (j=1; j<=i; ++j)
            {
                mp[i][j]=mp[i-1][j-1]+mp[i-1][j];
                if (mp[i][j]%2==0) ++line;
            }
            ou += line;
            tot += i;
            if (judge(i)==1)//保留该行可只查看N=2^k(k为自然数)的结果,若省略则查看所有结果 
            printf("%5d %5d %5d %5d %5d %5d\n", i, i-line, tot-ou, line, ou, tot);
        }
        return 0;
    }

    附参考主程序:

    #include <cstdio>
    #define mo 1000003
    using namespace std;
    
    long long n, d, z, ans, a[55], b[55], v, p;
    int i, t;
    int main()
    {
        scanf("%lld",&v);
        n = v;
        z = 1;
        d = z << 50; //因为2^50恰好大于10^15
        t = 50;
        while (n != 0)
        {
            if (n >= d)
            {
                n = n-d;
                a[++a[0]] = t; //将2^t 的t存入数组中
            }
            d /= 2;
            t--;
        }
    
        b[0] = 1;
        for (i=1; i<=a[1]; ++i)
            b[i]=(b[i-1]*3)%mo; //进行预处理,准备好3^t 的数字在数组b中
    
        for (i=1; i<=a[0]; ++i)
            ans += b[a[i]]*(long long)(z << i-1); //求所有奇数个数的和
    
        p = (((z+v%mo)*(v%mo))/2); //求和公式
        p %= mo;
        ans %= mo;
        if (p<ans) p += mo;
        p = (p-ans)%mo; //总个数减去所有奇数个数就是偶数个数了
        printf("%lld\n",p);
        return 0;
    }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/zxqxwnngztxx/p/7091717.html

    展开全文
  • 杨辉三角:是二项式系数在三角形中的一种几何...题目:输出杨辉三角的前十项 通过观察表格中的数字我们可以清晰的发现:当j=0时,这一列的值都为1;我们可以得到结论:当J等于0时,a[i][j]=1;当i=j时,a[i][j]=1;当i
  • Java代码编写杨辉三角

    2020-12-08 16:25:21
    1,先画图,观察杨辉三角 2,三角形两边皆为1,而中间数在变 3,中间数,例如2,先理解为左上角与右上角之和,然后再利用这个规律往下推,可发现,每个中间数都是其左上角与右上角之和,可以得出结论:arr[i][j]=...
  • 杨辉三角的定义啥的我就不多哔哔了,直接上图 ↓ 在图中我们可以简单直接地得出一个重要的结论:每一行中除了最左端和最右端的值为1以外,其它位置的值为它上面两个数字之和。 ...
  • 由高中数学可知,杨辉三角数可以用组合数表示。那么,第n+1n+1n+1行中奇数个数也可以用数学公式表示:∑i=0n[Cni % 2=0] \sum_{i=0}^{n}[C_{n}^{i}\ \%\ 2=0]i=0∑n​[Cni​ % 2=0] 首先...
  • 记得之前用 python/JS 实现过,用 java 重写.一些结论: ArrayList.add(index,value) 数组在特定位置添加元素后,之后元素整体后移; 每次都是先添加首位元素,之后计算 [1-tmp.size()-2]...求全量杨辉三角 LeetCode
  • zhucheng关于2006上海I题的结论及证明

    千次阅读 2006-12-11 08:39:00
    题目意思是给出N和素数P,求杨辉三角第N行中能被P整除个数。 结论是将N写成P进制数N0N1N2....Nm,答案就是(N+1)-(N0+1)*(N1+1)*...(Nm+1)。 证明如下: 组合数C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)不被被素数P整除充要条件...
  • Sum (欧拉定理)

    2019-11-25 18:21:03
    题面 提示:无限输入 题解 一看这题的数据 ............................... ...这也太大了,必须边输入边取模才行, ...但是式子很复杂,所以必须推出一些结论。...因为杨辉三角的第n行所有的数都是由顶上的那一个...
  • hdu 3944 DP? 组合数学与数论结合

    千次阅读 2011-10-22 21:26:58
    题目大意:求杨辉三角中从塔尖到n行k列所经过路径中,虽经过数字之和最小一条路 经过观察,很容易想到一个结论就是,这个最小值是从定点开始,然后到合适位置45度斜着走到(n,k)位置,也就是 //c(m,n) ...
  • 杨辉三角第n行(从1开始计数)有几个奇数。 考察的其实是杨辉——帕斯卡三角的性质,或者说Gould's sequence的知识。 其实网上很多题解都给出了答案,但大多数都只是给了一个结论或者说找规律(虽然我也是选择打表...
  • 组合数奇偶性

    2012-08-03 17:39:31
    结论:对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数。...对应于杨辉三角:  1  1 2 1  1 3 3 1 1 4 6 4 1 ……………… 可以验证前面几层及k = 0时满足结论,下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k >
  • 结论很简单。。。 对于C(n,k),若n&k==k则C(n,k)为奇数,否则...先统计一下杨辉三角前几行会发现这个规律: 1 (n&k=k)√ 1 2 (n&k!=k) √ .................................................
  • 【FZU-2303】Mind control

    2020-03-25 15:06:10
    个人思路: ...画杨辉三角验证发现成立: 按照题意,求数学期望,逐步化简,中间再次套用①公式,得到o(1)的结论: 得到结论后求个逆元就可以了。 #include<iostream> #define rep(i,n) for(in...
  • (比赛时候一直往杨辉三角上套,结果是个结论题?) ac代码: #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath>
  • 直到 1977 年, Paul Erdős 和 George Szekeres 才发现,除了两头 1 以外,杨辉三角同一行内任意两个数都有公因数。证明这个结论。答案:只需要注意到, a 乘以一个比 b 小数之后还能成为 b 倍数,这说明 a...
  • 计数基础)有重复元素全排列(可重集)结论推导过程可重复选择组合组合数推导(杨辉三角)重头戏约数个数小于n且与n互素整数个数代码解释 有重复元素全排列(可重集) 问题描述:有k个元素,其中第i个元素...
  • HDU4237 The Rascal Triangle

    2017-08-09 20:41:15
    今天上来看了几行题就草草结论这是杨辉三角,可是题目明明写着不是,看来我心态太浮躁了,一开始打算用递归直接做,后来自己菜连这个都写不对,哎,接下来要训练自己一下迅速知道思路敲代码能力。...
  • 80分暴力打的好爽 \(^o^)/~ ...预处理杨辉三角 令m=n*k 要求满足m&x==x ,x<=m,x%k==r x个数 结论:若n&m==m,则C(n,m)为奇数,否则为偶数 枚举m子集,判断是否%k==r 时...
  • 洛谷 P1999 高维正方体

    2020-01-27 21:53:56
    首先这是个玄学题目,很多人想到了杨辉三角,但是我太菜了于是没有想到,用了另一种方法得出了正确式子,先写下式子好了。 求n维下m维数量: ans=Cnm×2n−mans=C_n^m\times 2^{n-m}ans=Cnm​×2n−m 推理过程...
  • 题意:求杨辉三角第n + 1行中(1 <= n <= 10^9)不能被p(1 <= p <= 1000且 p 为素数)整除个数。 不太会找规律,后来啃题解才慢慢一点点懂,先说说Lucas定理. 一、了解定理: Lucas定理: ...
  • 3.7

    2018-03-09 08:57:52
     t1所有队都做出来了,变相的杨辉三角(然鹅还是很裸)。t2我做了半天无果,初一大佬们开始ac了,后来因为数据问题,变成了只要判断奇偶大水题,而且每个测试点只有一组。。。t3被%了,题面就%我,还好还是做出来...
  • 二项式系数

    2018-02-04 16:09:05
    对组合数C(n,k) (n>=k):将n,k分别化为二进制,若某二进制位对应n为0,而k为1 ,则C(n,k)为偶数;否则为奇数。 组合数奇偶性判定方法为: 结论: 对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)... 对应于杨辉三角: 1 1 2 1 1 3 3
  • 面试题189 杨辉三角 面试题190 整数十进制转二进制 面试题191 素数问题 面试题192 字符串转换为整数 16.2 数据库操作题 面试题193 选课系统 第17章 思维拓展( 教学视频:16分钟) 17.1 经典试题 面试题194 八皇后...
  • C++程序员面试宝典

    热门讨论 2013-04-01 13:36:19
    本书通过380余个面试题,对企业招聘C/C++程序员需要掌握知识进行了系统、全面总结,以帮助读者进行充分面试准备,在激烈竞争中成功应聘。本书内容大多取材于各大IT公司面试题,详细分析了应聘C/C++程序员...

空空如也

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杨辉三角的结论