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  • 本文包括以下内容: 1. 泰勒定理 2. 一阶必要条件 3. 二阶必要条件 4. 二阶充分条件 ...设是n维欧氏空间上某一开集,在上连续可微(continuously differentiable),并且,那么我们有, (1) 。此...

     

    本文包括以下内容:

    • 1. 泰勒定理
    • 2. 一阶必要条件
    • 3. 二阶必要条件
    • 4. 二阶充分条件
    • 附录
    • 参考资料

     

    1. 泰勒定理(Taylor's Theorem)

    R是n维欧氏空间E^n上的某一开集,f(X)R连续可微(continuously differentiable),并且p\in R^n,那么我们有,

                                                                                                (1)

    t\in (0,1)。此外,如果我们有f二次连续可微(twice continuously differentiable),那么我们有,

                                                                                    (2)

    将(2)代入(1),我们有,

                                                                        (3)

     

    2. 一阶必要条件(First-Order Necessary Conditions)

    R是n维欧氏空间E^n上的某一开集,f(\boldsymbol X)R上有一阶连续偏导数,且在点\boldsymbol X^* \in R取得局部极值,则必有

                                                                                   \nabla f(\boldsymbol X^*)=0                                                                      (4)

    \nabla f(\boldsymbol X^*)是函数f(\boldsymbol X)在点\boldsymbol X^*处的梯度(gradient)。满足式(4)的点称为平稳点(stationary point)或驻点,极值点必为平稳点,但平稳点不一定是极值点(一阶必要条件)。

    证明见附录(A)。

     

    3. 二阶必要条件(Second-Order Necessary Conditions)

    R是n维欧氏空间E^n上的某一开集,f(\boldsymbol X)R上有二阶连续偏导数,且在点\boldsymbol X^* \in R取得局部极值,若\nabla f(\boldsymbol X^*)=0\fn_cm \nabla ^2 f(\boldsymbol X^*)是半正定的(positive semidefinite)

    证明见附录(B)。

    复习一下一些概念。

    • 正定

    给定一个大小为 n\times n的实对称矩阵A,若对于任意长度为n的非零向量xx^{T}Ax>0恒成立,则矩阵A是一个正定矩阵。

    • 半正定

    给定一个大小为 n\times n的实对称矩阵A,若对于任意长度为n的非零向量xx^{T}Ax\geq 0恒成立,则矩阵A是一个正定矩阵。

     

     

    4. 二阶充分条件(Second-Order Sufficient Conditions)

    R是n维欧氏空间E^n上的某一开集,f(\boldsymbol X)R上有二阶连续偏导数,且在点\boldsymbol X^* \in R取得局部极值,若\nabla f(\boldsymbol X^*)=0\fn_cm \nabla ^2 f(\boldsymbol X^*)是正定的(positive definite)。

     

     

    附录

    • (A) 反证法

     

    •  (B)

     

    • (C)

     

     

     

    参考资料

    1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F

    2. Nocedal, Jorge, & Wright, Stephen J. (0). Numerical optimization. 2nd ed.. Springer.

    3. 第4版《运筹学》-清华大学出版社

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  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 又是费马定理 判断极值第一充分条件 判断极值第二充分条件 判断极值第三充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 ...

    极值

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有

    又是费马定理

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 内可导

    判断极值的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在这里插入图片描述

    当 n 为偶数时
    必须n为偶数。

    在这里插入图片描述
    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    x0 极大值点
    在这里插入图片描述
    x0 极小值点

    证毕

    拐点

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f’’(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则
    在这里插入图片描述

    判断拐点的第一充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在n-1阶导数为0
    在n阶导数不为0

    当 n 为奇数时
    n只可以为奇数

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

    提醒

    对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
    对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
    如果是拐点值来说就是y的值了。

    极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。

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  • 驻点和极值点的关系

    千次阅读 2020-03-31 16:36:16
    驻点和极值点的关系怎么说呢:互相并不完全是充分必要条件 驻点:可导极值点叫驻点 极值点:存在驻点时并不一定是极值点 而且也有可能是一阶不可导点 驻点和极值点互相推导本身存在着一种看似紧密但是并不紧密关系 ...

    驻点和极值点的关系怎么说呢:互相并不完全是充分必要条件
    驻点:可导极值点叫驻点
    极值点:存在驻点时并不一定是极值点 而且也有可能是一阶不可导点
    驻点和极值点互相推导本身存在着一种看似紧密但是并不紧密的关系
    比如|x| 当x=0时候 他是驻点么 并不是因为他虽然是极小值点 但是他并不可导 所以并不是驻点
    x^3当x=0的时候 他存在极值么 他是驻点没错 但是他并不是极值点

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  • 一阶可导点是极值点的必要条件 设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有 判断极值第一充分条件 判断极值第二充分条件 判断极值第三充分条件 设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且 当 n 为偶数时...

    极值

    一阶可导点是极值点的必要条件

    设 f(x) 在 x=x0 处可导,且在点 x0 处取得极值,则必有

    又是费马定理

    判断极值的第一充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处连续,且在 x0 的某去心邻域 内可导

    判断极值的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断极值的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在这里插入图片描述

    当 n 为偶数时
    必须n为偶数。

    在这里插入图片描述
    证明:

    由于n为偶数,令 n=2k,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    x0 极大值点
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    x0 极小值点

    证毕

    拐点

    二阶可导点是拐点的必要条件

    设 f’’(x) 存在,且点 (x0,f(x0) ) 为曲线拐点,则
    在这里插入图片描述

    判断拐点的第一充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第二充分条件

    在这里插入图片描述

    判断拐点的第三充分条件

    设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导,且
    在n-1阶导数为0
    在n阶导数不为0

    当 n 为奇数时
    n只可以为奇数

    证明:

    由于n为奇数,令 n=2k+1,构造极限
    在这里插入图片描述
    上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.

    由函数极限的局部保号性可得:
    在这里插入图片描述
    故点(x0,f(x0) ) 为曲线拐点

    证毕

    提醒

    对于极点来说,为一维所以只用表示出x=?即可
    对于拐点来说为二维所以要说出点的坐标
    如果是拐点值来说就是y的值了。

    极点和拐点相对来说就是维度的差别。和可导数的差别。

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空空如也

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极值点存在的条件