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  • 极大似然估计和最大似然估计定义

    万次阅读 多人点赞 2018-01-28 18:54:39
    最近看朴素贝叶斯法,发现有关于极大似然估计部分,网上找了好久,感觉也都说不清。然后还有个最大似然估计,最要命的是我发现还有人专门对两者区别做了论述。然后我就看了下英文定义: 最大似然估计(maximum ...

    最近看朴素贝叶斯法,发现有关于极大似然估计部分,网上找了好久,感觉也都说不清。然后还有个最大似然估计,最要命的是我发现还有人专门对两者区别做了论述。然后我就看了下英文定义:

    最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)

    极大似然估计方法(Maximum Likelihood Estimate,MLE)

    其实两者是一样的。

    本文源自频率主义学派的最大似然估计。

    翻看了宗成庆著的《统计自然语言处理》第二章有关于它的定义:


    因为不会在CSDN写公式,所以就先写到word,然后粘成图片,见谅


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  • 通过样例来讲解最大似然估计和极大似然估计以及他们的区别

    个人博客:https://xiaoxiablogs.top

    概率与似然

    对于最大似然估计我们使用最简单的抛硬币问题来进行讲解

    概率

    当我们抛一枚硬币的时候,就可以去猜测抛硬币的各种情况的可能性,这个可能性就称为概率
    一枚质地均匀的硬币,在不考虑其他情况下是符合二项分布的,即正面和翻面的概率都是0.5,那么我们抛10次硬币5次正面在上面的概率为:
    P(5)=C1050.55(10.5)5=0.246093750.25 P(5次正面朝上)=C^5_{10}0.5^5(1-0.5)^5=0.24609375\approx0.25

    似然

    但是现实生活中,我们并不知道硬币是否均匀,那么我们就需要通过多次抛硬币来推测硬币是否均匀或者说推测硬币每一面朝上的概率,这就是似然

    最大似然估计

    那么什么是**最大似然估计(又称极大似然估计)**呢?
    所谓的最大似然估计其实就是假设硬币正面朝上的概率,然后计算实验结果的概率是多少,概率越大,那么这个假设的概率越可能是真的。
    假设我们投了10次硬币,其中有6次正面朝上,那么我们根据这个实验结果对其进行假设
    我们可以先假设正面朝上的概率为0.5,那么达到实验结果的概率为:
    P=C1060.56(10.5)4=0.2050781250.21 P = C^6_{10}0.5^6(1-0.5)^4=0.205078125\approx0.21
    我们还可以假设正面朝上的概率为0.6,那么达到实验结果的概率为
    P=C1060.66(10.6)4=0.250822656000000030.25 P=C^6_{10}0.6^6(1-0.6)^4=0.25082265600000003\approx0.25
    那么我们就可以说,正面朝上的概率为0.6要比0.5的更有可能。

    当然,我们仅仅比较这两种情况是不够的,我们需要将所有的情况都进行对比,然后求出最大的可能性。
    接下来我们使用作图的方法来看一下最有可能的取值
    在这里插入图片描述
    根据上图我们可以看出,可能性最大的应该是正面概率为0.6的时候。
    以上通过实验结果,然后对相应的概率进行假设,从而得到最有可能造成测试结果的概率的过程,就称为最大似然估计

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  • 贝叶斯估计和极大似然估计到底有何区别

    万次阅读 多人点赞 2017-03-12 21:28:00
    在开始接触最大似然估计和贝叶斯估计时,大家都会有个疑问:最大似然估计和贝叶斯估计二者很相似,到底有何区别?本文便来说说二者的不同之处以及推导二者使用时的数学模型!预热知识必知如何求类条件概率密度: ...

    前言:原创不易,转载请告知并注明出处!微信搜索【机器学习与自然语言处理】公众号,定期发布知识图谱,自然语言处理、机器学习等知识,添加微信号【17865190919】进讨论群,加好友时备注来自CSDN。
    在这里插入图片描述

    在开始接触最大似然估计和贝叶斯估计时,大家都会有个疑问:最大似然估计和贝叶斯估计二者很相似,到底有何区别?本文便来说说二者的不同之处以及求参模型的公式推导!

    预热知识必知

    如何求类条件概率密度:
    我们知道贝叶斯决策中关键便在于知道后验概率,那么问题便集中在求解类条件概率密度!那么如何求呢?答案便是:将类条件概率密度进行参数化。

    最大似然估计和贝叶斯估计参数估计:
    鉴于类条件概率密度难求,我们将其进行参数化,这样我们便只需要对参数进行求解就行了,问题难度将大大降低!比如:我们假设类条件概率密度p(x|w)是一个多元正态分布,那么我们就可以把问题从估计完全未知的概率密度p(x|w)转化成估计参数:均值u、协方差ε

    所以最大似然估计和贝叶斯估计都属于参数化估计!…当然像KNN估计、Parzen窗这些就是非参数话估计啦!但是参数化估计也自然有它的缺点,下面会说的!

    简述二者最大的区别

    若用两个字高度概括二者的最大区别那就是:参数

    最大似然估计和贝叶斯估计最大区别便在于估计的参数不同,最大似然估计要估计的参数θ被当作是固定形式的一个未知变量,然后我们结合真实数据通过最大化似然函数来求解这个固定形式的未知变量!

    贝叶斯估计则是将参数视为是有某种已知先验分布的随机变量,意思便是这个参数他不是一个固定的未知数,而是符合一定先验分布如:随机变量θ符合正态分布等!那么在贝叶斯估计中除了类条件概率密度p(x|w)符合一定的先验分布,参数θ也符合一定的先验分布。我们通过贝叶斯规则将参数的先验分布转化成后验分布进行求解!

    同时在贝叶斯模型使用过程中,贝叶斯估计用的是后验概率,而最大似然估计直接使用的是类条件概率密度。

    下面会详细分析最大似然估计和贝叶斯估计求解模型!

    从其他方面谈谈二者的异同

    在先验概率能保证问题有解的情况下,最大似然估计和贝叶斯估计在训练样本趋近于无穷时得到的结果是一样的!但是实际的模式识别问题中,训练样本总是有限的,我们应如何选择使用哪种模型呢?下面简单分析分析:

    (1) 计算复杂度:就实现的复杂度来说,肯定是有限选择最大似然估计,最大似然估计中只需要使用到简单的微分运算即可,而在贝叶斯估计中则需要用到非常复杂的多重积分,不仅如此,贝叶斯估计相对来说也更难理解;

    (2)准确性:当采用的样本数据很有限时,贝叶斯估计误差更小,毕竟在理论上,贝叶斯估计有很强的理论和算法基础。

    参数化估计的缺点:
    贝叶斯估计和最大似然估计都是属于参数化估计,那么二者存在着一个共同的缺点:参数化估计虽然使得类条件概率密度变得相对简单,但估计结果的准确性严重依赖于所假设的概率分布形式是否符合潜在的真实数据分布。在现实应用中,与做出能较好的接近潜在真实分布中的假设,往往需要一定程度上利用关于应用任务本身的经验知识,否则若仅凭“猜测”来假设概率分布形式,很可能产生误导性的结果!所以没有什么算法是十全十美的啦!

    下面便推导一下最大似然估计和贝叶斯估计所使用的模型,最大似然简单些,贝叶斯估计就比较复杂了!

    最大似然估计模型推导

    假设样本集D={x1 、x2 、…、xn},假设样本之间都是相对独立的,注意这个假设很重要!于是便有:

    这里写图片描述
    所以假设似然函数为:

    这里写图片描述
    接下来我们求参的准则便是如名字一样最大化似然函数喽:

    这里写图片描述
    下面有一个优化,专业名词为拉布拉斯修正

    简单说:就是防止先验概率为0,那么上面的L(θ|D)整个式子便都成0 了,那肯定是不行的啊,不能因为一个数据误差影响了整个数据的使用。同时那么多先验概率相乘,可能出现下溢出。所以引入拉普拉斯修正,也就是取对数ln,想必大家在数学中都用过这种方法的。

    所以做出下面变换:

    这里写图片描述

    所以最大化的目标便是:

    这里写图片描述

    求解上面问题便不多说了,使用数学中的微分知识便可:

    这里写图片描述
    然后使得偏导数为0:

    自此便求出了参数θ,然后便得到了类条件概率密度,便可进行判别等接下来的工作了。

    下面讲解贝叶斯模型推导,略微复杂些,下伙伴们仔细看啊!

    贝叶斯估计模型推导

    先说一句,贝叶斯估计最终也是为了得出后验概率。所以贝叶斯最终所要的得到推导的是:

    (1)
    正如上面所说我们便是要参数的先验分布通过贝叶斯规则转化成后验概率,也就是上面这个公式,接下来我们一起看看如何推导出上面后验概率的公式通过参数的先验概率。

    上式中有:

    这里写图片描述
    带入后验概率的式子可得:

    这里写图片描述

    大家注意啦!!!这里也有个重要的假设,那就是样本之间是相互独立的,同时类也是相互独立的。所以有如下假设:

    这里写图片描述
    同时由于类之间相互独立,所以我们不用区分类了,便有:

    这里写图片描述

    这里给大家顺一下思路,所以我们要求后验概率便是要求出P(x|D)便可:

    下面说明P(x|D)的推导:

    这里写图片描述

    正如我们前面所说上式中p(x| θ),我们假设它是一个已知的满足一定先验分布的,我们现在便是要知道:

    这里写图片描述

    下面给出其推导过程:

    这里写图片描述

    对于上式中的P(D|θ),还记得上面说的很重要的样本之间是独立的吗,所以和最大似然函数类似有:

    这里写图片描述
    因此最终我们便可以求得P(x|D):

    这里写图片描述

    这样我们将P(x|D)待会后验概率的式子便可求出后验概率了,所以我们完成了上面的说法,便是将参数θ 服从的先验概率分布转化成了后验概率分布了。

    本文参考资料:
    【1】Pattern Classification Second Edition
    【2】Machine Learining in Action
    【3】机器学习 著周志华

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  • 一、似然函数 似然函数,是根据已知结果去推测固有性质的可能性(likelihood),是对固有性质的拟合程度,所以不能称为概率。假设是否堵车,受天气,路上的车辆的数量...二、极大似然估计 三、最大后验估计 参...

    一、背景知识

    1.1 似然函数

    似然函数,是根据已知结果去推测固有性质的可能性(likelihood),是对固有性质的拟合程度,所以不能称为概率。假设是否堵车,受天气,路上的车辆的数量和事故影响,这里只关心堵车和事故之间的关系,如果发生了事故,那么对堵车这一属性的拟合程度有多大。和后验概率非常像,区别在于似然函数把堵车看成一个肯定存在的属性,而后验概率把堵车看成一个随机变量。

    先看似然函数的定义,它是给定联合样本值x下关于(未知)参数 θ\theta 的函数:L(θx)=f(xθ)L(\theta|x)=f(x|\theta)
    这里的小x是指联合样本随机变量X取到的值,即X=xX=x
    这里的θ\theta是指未知参数,它属于参数空间;
    这里的f(xθ)f(x|\theta)是一个密度函数,特别地,它表示(给定)θ\theta下关于联合样本值的联合密度函数。所以从定义上,似然函数和密度函数是完全不同的两个数学对象:前者是关于θ\theta的函数,后者是关于x的函数。所以这里的等号 == 理解为函数值形式的相等,而不是两个函数本身是同一函数(根据函数相等的定义,函数相等当且仅当定义域相等并且对应关系相等)。

    说完两者的区别,再说两者的联系。
    (1)如果X是离散的随机向量,那么其概率密度函数f(xθ)f(x|\theta)可改写为f(xθ)=Pθ(X=x)f(x|\theta)=P_\theta(X=x) ,即代表了在参数θ\theta下随机向量X取到值x的可能性;并且,如果我们发现
    L(θ1x)=Pθ1(X=x)>Pθ2(X=x)=L(θ2x)L(\theta_1|x)=P_{\theta_1}(X=x)>P_{\theta_2}(X=x)=L(\theta_2|x)
    那么似然函数就反应出这样一个朴素推测:在参数θ1\theta_1下随机向量取到值的可能性大于 在参数θ2\theta_2下随机向量取到值的可能性。换句话说,我们更有理由相信(相对于θ2\theta_2来说)θ1\theta_1更有可能是真实值。这里的可能性由概率来刻画。
    (2)如果是连续的随机向量,那么其密度函数f(xθ)f(x|\theta)本身(如果在x连续的话)在x处的概率为0,为了方便考虑一维情况:给定一个充分小ϵ>0\epsilon>0,那么随机变量取值在区间(xϵ,x+ϵ)(x-\epsilon, x+\epsilon)内的概率即为
    Pθ(xϵ<X<x+ϵ)=xϵx+ϵf(xθ)dx2ϵf(xθ)=2ϵL(θx)P_\theta(x-\epsilon < X < x+\epsilon)=\int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon}f(x|\theta)dx \approx 2\epsilon f(x|\theta) = 2\epsilon L(\theta|x)
    并且两个未知参数的情况下做比就能约掉2ϵ2\epsilon,所以和离散情况下的理解一致,只是此时似然所表达的那种可能性和概率f(xθ)=0f(x|\theta)=0无关。

    综上,概率(密度)表达给定θ\theta下样本随机向量的可能性,而似然表达了给定样本X=xX=x下参数θ1\theta_1(相对于另外的参数θ2\theta_2)为真实值的可能性。我们总是对随机变量的取值谈概率,而在非贝叶斯统计的角度下,参数是一个实数而非随机变量,所以我们一般不谈一个参数的概率。

    最后我们再回到L(θx)=f(xθ)L(\theta|x)=f(x|\theta)这个表达。首先我们严格记号,竖线|表示条件概率或者条件分布,分号;表示把参数隔开。所以这个式子的严格书写方式是L(θx)=f(x;θ)L(\theta|x)=f(x;\theta)因为θ\theta在右端只当作参数理解。

    1.2 频率学派和贝叶斯派

    在说极大似然估计(Maximum Likelihood Estimate)与最大后验概率估计(Maximum A Posteriori estimation)之前,不得不说对于概率看法不同的两大派别频率学派与贝叶斯派。他们看待世界的视角不同,导致他们对于产生数据的模型参数的理解也不同。

    • 频率学派
      他们认为世界是确定的。他们直接为事件本身建模,也就是说事件在多次重复实验中趋于一个稳定的值p,那么这个值就是该事件的概率。他们认为模型参数是个定值,希望通过类似解方程组的方式从数据中求得该未知数。这就是频率学派使用的参数估计方法-极大似然估计(MLE),这种方法往往在 大数据量 的情况下可以很好的还原模型的真实情况。

    • 贝叶斯派
      他们认为世界是不确定的,因获取的信息不同而异。假设对世界先有一个预先的估计,然后通过获取的信息来不断调整之前的预估计。 他们不试图对事件本身进行建模,而是从旁观者的角度来说。因此对于同一个事件,不同的人掌握的先验不同的话,那么他们所认为的事件状态也会不同。
      他们认为模型参数源自某种潜在分布,希望从数据中推知该分布。对于数据的观测方式不同或者假设不同,那么推知的该参数也会因此而存在差异。这就是贝叶斯派视角下用来估计参数的常用方法-最大后验概率估计(MAP),这种方法在先验假设比较靠谱的情况下效果显著,随着数据量的增加,先验假设对于模型参数的主导作用会逐渐削弱,相反真实的数据样例会大大占据有利地位。极端情况下,比如把先验假设去掉,或者假设先验满足均匀分布的话,那她和极大似然估计就如出一辙了。
      极大似然估计与最大后验概率估计

    二、极大似然估计

    极大似然估计的核心思想是:认为当前发生的事件是概率最大的事件。因此就可以给定的数据集,使得该数据集发生的概率最大来求得模型中的参数。似然函数如下:
    p(Xθ)=x1xnp(xiθ)p(X|\theta)=\prod_{x_1}^{x_n}p(x_i|\theta)
    为了便于计算,我们对似然函数两边取对数,生成新的对数似然函数(因为对数函数是单调增函数,因此求似然函数最大化就可以转换成对数似然函数最大化):
    p(Xθ)=x1xnp(xiθ)=x1xnlogp(xiθ)p(X|\theta)=\prod_{x_1}^{x_n}p(x_i|\theta)=\sum_{x_1}^{x_n}log p(x_i|\theta)
    求对数似然函数最大化,可以通过一阶优化算法如sgd或者二阶优化算法如Newton求解。

    极大似然估计只关注当前的样本,也就是只关注当前发生的事情,不考虑事情的先验情况。由于计算简单,而且不需要关注先验知识,因此在机器学习中的应用非常广,最常见的就是逻辑回归的求解就是用的极大似然估计。

    三、最大后验估计

    和最大似然估计不同的是,最大后验估计中引入了先验概率(先验分布属于贝叶斯学派引入的,像L1,L2正则化就是对参数引入了拉普拉斯先验分布和高斯先验分布),最大后验估计可以写成下面的形式:
    argmaxp(x)=argmaxp(Xθ)p(θ)p(X)=argmaxP(Xθ)p(θ)=argmax(x1xnp(xiθ))p(θ)argmax p(x)= argmax \frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)}=argmax P(X|\theta)p(\theta)=argmax(\prod_{x_1}^{x_n}p(x_i|\theta))p(\theta)
    在求最大后验概率时,可以忽略分母p(X)p(X),因为该值不影响对θθ的估计。

    同样为了便于计算,对两边取对数,后验概率最大化就变成了:(在极大似然法估计的过程中,因为极大似然假设[公式]是一个定值而不是一个随机变量,并不假设它的分布情况而当作一个常量处理所以p([公式])=1带入map的式子消去就得到了mle的极大似然函数式了)
    argmax(x1xnlogp(xiθ)+logp(θ))argmax(\sum_{x_1}^{x_n}log p(x_i|\theta)+logp(\theta))
    我们和极大似然估计(p(Xθ)=x1xnp(xiθ)=x1xnlogp(xiθ)p(X|\theta)=\prod_{x_1}^{x_n}p(x_i|\theta)=\sum_{x_1}^{x_n}log p(x_i|\theta))比较一下:最大后验估计不只是关注当前的样本的情况,还关注已经发生过的先验知识。

    最大后验估计和极大似然估计的区别:最大后验估计允许我们把先验知识加入到估计模型中,对于逻辑回归,在公式上的表达就是多了一个log P(theta)的项,这在样本很少的时候是很有用的(因此朴素贝叶斯在较少的样本下就能有很好的表现),因为样本很少的时候我们的观测结果很可能出现偏差,此时先验知识会把估计的结果“拉”向先验,实际的预估结果将会在先验结果的两侧形成一个顶峰。通过调节先验分布的参数,比如beta分布的α,β,我们还可以调节把估计的结果“拉”向先验的幅度,α,β越大,这个顶峰越尖锐。这样的参数,我们叫做预估模型的“超参数”。(但是这也和我们选取的先验有关,如果先验的概率选取不当反而会适得其反)

    参考文献

    [1] 如何理解似然函数
    [2] 先验概率,后验概率与似然函数
    [3] 极大似然估计与最大后验概率估计
    [4] 极大似然估计、最大后验估计和贝叶斯估计

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