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  • 极大连通子图、极小连通子图,相同点:无向图,连通图,区别:边 极大强连通子图、极小强连通子图,相同点:有向图、连通图,区别:边 连通分量、强连通分量,区别:有向图、无向图 生成树、生成森林 度、入度、出度...

    图的定义

    • 有向图、无向图
    • 简单图、多重图,区别:平行边和自环
    • 有向完全图、无向完全图,相同点:该有的边或弧都有,区别:边和弧、n(n-1)/2、n(n-1)
    • 极大连通子图、极小连通子图,相同点:无向图,连通图,区别:边的个数
    • 极大强连通子图、极小强连通子图,相同点:有向图、连通图,区别:弧的个数
    • 连通分量、强连通分量,区别:有向图、无向图
    • 生成树、生成森林
    • 度、入度、出度
    • 边的权和网,带权图即网
    • 稠密图、稀疏图,稠密适用于邻接矩阵法,稀疏适用邻接表
    • 路径、路径长度、回路
    • 距离,最短路径或无穷大
    • 有向树,顶点入度0,其余入度1

    存储结构

    1. 邻接矩阵法
      稠密图
      顺序结构
      顶点集、边集
      斜对称
      在这里插入图片描述

    2. 邻接表法
      稀疏图
      查出度简单,入度难
      顶点表顺序、边表链式
      在这里插入图片描述

    3. 十字链表
      有向图
      链式
      出入度简单
      在这里插入图片描述

    4. 邻接多重表
      无向图
      链式
      解决删除一条边需要删除两个边表结点
      在这里插入图片描述

    图的遍历

    广度优先搜索

    BFS
    类似于树的层次遍历
    队列+辅助数组
    在这里插入图片描述

    深度优先搜索

    类似于树的先序遍历
    DFS
    在这里插入图片描述

    图的应用

    最小生成树

    用最短的路连通各点
    生成树:包含全部顶点的极小连通子图
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    当所有边的权不同时最小生成树唯一
    在这里插入图片描述
    只有n-1条边时最小生成树唯一
    在这里插入图片描述
    性质
    在这里插入图片描述

    Prim

    按点
    先将一个起点加入最小生成树,之后不断寻找与最小生成树相连的边权最小的边能通向的点,并将其加入最小生成树,直至所有顶点都在最小生成树中。

    克鲁斯卡尔算法

    按边
    在这里插入图片描述

    最短路径

    迪杰斯特拉算法

    求单源最短路径

    Floyd算法

    求各顶点之间最短路径问题
    在这里插入图片描述

    拓扑排序

    有向无环图用于工程
    在这里插入图片描述
    AOV和AOE区别在于用顶点还是边表示活动
    在这里插入图片描述
    拓扑排序方法去除入度为0的顶点
    拓扑排序可以检测AOV网是否有环
    在这里插入图片描述

    关键路径

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    小总结

    存储结构

    • 邻接矩阵法:稠密图
    • 邻接表法:稀疏图
    • 十字链表:有向图,解决邻接表查找入度
    • 邻接多重表:无向图,解决每次删除两结点

    遍历
    BFS:队列和辅助数组
    DFS:工作栈

    应用

    • 最小生成树
    1. Prim按点
    2. 克鲁斯卡尔算法按边
    • 最短路径
    1. 迪杰斯特拉算法求单源最短路径
    2. Floyd求各顶点之间最短路径问题
    • 拓扑排序
      AOV点为活动
      AOE边为活动
      拓扑排序方法去除入度为0的顶点
      拓扑排序可以检测AOV网是否有环
    • 关键路径
      由关键活动组成的路径
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  • 一、各个概念的定义 1.完全图:  也称简单完全图。假设一个图有n个顶点,那么如果任意两个顶点之间都有边的话,该图就称为完全图。 2.连通图(一般都是指无向图): ...(暗指极大连通子图也指无向.

    一、各个概念的定义

    1.完全图
     也称简单完全图。假设一个图有n个顶点,那么如果任意两个顶点之间都有边的话,该图就称为完全图。
    2.连通图(一般都是指无向图):
     从顶点v到w有路径,就称顶点v和m连通。(路径是由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列,其实就是一堆相连的顶点及其边)
     如果图中任意俩顶点都连通,则该图为连通图。
    3.连通分量:
     与连通图对应,一般书上说的都是特指无向图!!
     极大连通子图是无向图的连通分量。(暗指极大连通子图也指无向图!!)
    4.极大连通分量:
     极大是要求该连通子图包含其所有的边(暗指无向图)
    5.极小连通分量:
     极小是在保持连通的情况下使边数最少的子图(暗指无向图)
    6.强连通图(特指有向图):
     在有向图中,若从顶点v到m有路径,则称这俩顶点时强连通的。若任意一对顶点都是强连通的,称此图为强连通图。
     和无向图其实一毛一样,就换个名字以便和无向图区分。
    7.强连通分量:
     有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
    8.极大强连通分量:
     这里的极大和无向图完全一致
    9.极小强连通分量:
     这里的极小和无向图完全一致
    10.生成树:
     连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图
    11.生成森林:
     在非连通图中,连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

    二、深入理解各个概念

     上面各个概念的基本定义讲完了,看完可能很多人还是一脸懵逼,我当初看那么多概念都懒得去看,更别说去理解了,所以我打算谈谈自己的理解,举例子和画图来帮助大家理解。概念中的序号对应深入的序号,忘记概念网上翻看,可以双开对比看。

    1.完全图:
     对于完全图,他的顶点数是固定的,因此我们如果要研究他的性质,必然要从边上下手。
     对于有向图,考虑一个顶点,如果我们为得到所有不重复的边,那么应该怎么做呢?只考虑从该顶点出去的边或者只考虑射入该顶点的边。如果你不太理解的话,你可以考虑反证法。看下图:
    在这里插入图片描述
    如果上面的证明你看懂了,那么下面的就好做了,如果我们只考虑出去的边,对任一个顶点,与之相关的出边有n-1条总共有n个顶点,所以有向完全图有n*(n-1)条边。
     而对于无向图,任意一条无向图的边应该是有向图对应位置边的一半,所以总边数为n*(n-1)/2.
    2.连通图
    在这里插入图片描述
    3.连通分量:
     首先要知道分量,分量其实就是子图,只不过说的高大尚罢了。但连通分量不是简单的子图连通,他还除了要求子图连通,还要求该连通子图极大。说白了,无向图极大连通子图就是连通分量。到这里先往下看极大连通子图再回来看。
    4.极大连通分量:
     从3我们知道他首先是连通子图,并且该连通子图是极大的,主要是这里的极大很不好理解。这里我画图举例在这里插入图片描述
    5.极小连通分量在这里插入图片描述
    6.强连通图、强连通分量、极大强连通分量、极小连通分量就不用多说了,和无向图一毛一样,只不过他是针对有向图的。
    7.生成树:
     理解了极小连通子图,相信生成树也很容易理解了。
     连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。在这里插入图片描述
    8.生成森林
    在这里插入图片描述

    这就是本文章所有内容了,考研时间宝贵,抽出点时间写博客实属不易,希望对大家能有点帮助,有带佬补充的欢迎评论,有错误欢迎指出,最后,真希望我能考上南邮啊~

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  • 1.无向图的最小路径覆盖:即图中的小边覆盖,注意小边覆盖的定义不是G中的每个顶点有且仅有一条边与它关联!!! 2.无向图的最小路径覆盖与二分图的匹配有公式: 无向图最小路径覆盖数=顶点数-二分图最大匹配...

    如图,在无向图G=(V,E)中:

    1.无向图的最小路径覆盖:即图中的极小边覆盖,注意极小边覆盖的定义不是G中的每个顶点有且仅有一条边与它关联!!!

    2.无向图的最小路径覆盖与二分图的匹配有公式:

    无向图最小路径覆盖数=顶点数-二分图最大匹配数/2。

    3.当求一个无向图的最小路径覆盖时,我们就要试图构造一个与这个无向图相一致的二分图:

    运用拆点的技术,将无向图中的每一个顶点i拆成两个点i和i′(复制),两个点分别属于不同的顶点集。

    无向图中的边相当于双向边,即将i到j的边拆分成i到j’的边和j到i’的边

    接下来就可以通过匈牙利算法求出最大匹配数了。

    转载于:https://www.cnblogs.com/pushing-my-way/archive/2012/07/19/2598733.html

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  • 路径定义为从树的根结点开始往下一直到叶结点所经过的结点形成一条路径。(注意: 在返回值的list中,数组长度的数组靠前) 思路: DFS遍历,到叶子结点之后检查路径和是否为sum,如果是sum加入结果集 启发或者...
    1. 题目:输入一颗二叉树的跟节点和一个整数,打印出二叉树中结点值的和为输入整数的所有路径。路径定义为从树的根结点开始往下一直到叶结点所经过的结点形成一条路径。(注意: 在返回值的list中,数组长度大的数组靠前)
    2. 思路:
      1. DFS遍历,到叶子结点之后检查路径和是否为sum,如果是sum加入结果集
    3. 启发或者坑:
      1. 递归变量可以使用引用,极大节省空间
    4. 代码
      /*
      struct TreeNode {
          int val;
          struct TreeNode *left;
          struct TreeNode *right;
          TreeNode(int x) :
                  val(x), left(NULL), right(NULL) {
          }
      };*/
       
       
      class Solution {
      public:
          int eN;
          vector<vector<int>> res;
          vector<vector<int>> FindPath(TreeNode* root, int expectNumber) {
              if (!root)
                  return res;
              eN = expectNumber;
              vector<int> temp;
              int target = 0;
              FindAllPath(root, temp, target);
              return res;
          }
       
          void FindAllPath(TreeNode* root, vector<int>& path, int& sum) {
              //这个路径指的是从根节点到叶子几点的路径,遍历所有叶子节点的路径,如果等于eN,输出其路径
               
              path.push_back(root->val);
              sum += root->val;
              cout <<sum << endl;
              if (!root->left && !root->right) {
                  if (sum == eN)
                      res.push_back(path);     
                  return;
              }
              if (root->left) {
                  FindAllPath(root->left, path, sum);
                  //cout << "start new leaf " <<endl;
                  //cout << "before:" << sum << endl;
                  sum -= path[path.size()-1];
                  path.pop_back();
                  //cout << "AFTER:" << sum << endl;
              }
              if (root->right) {
                  FindAllPath(root->right, path, sum);
                  sum -= path[path.size()-1];
                  path.pop_back();
              }   
          }
      };

       

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