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  • python的浮点数与整数

    2021-03-28 10:16:45
    浮点数的取值范围和精度存在限制, 取值范围约为-10^307 至10^308; 精度数量级10^-16 浮点数的运算存在不确定尾数,不确定尾数一般发生在10^-16,使用round(x,d),可以对x四舍五入,截取d位小数 二.整数 整数可...

    一.浮点数
    浮点数的取值范围和精度存在限制,
    取值范围约为-10^307 至10^308;
    精度数量级10^-16
    浮点数的运算存在不确定尾数,不确定尾数一般发生在10^-16,使用round(x,d),可以对x四舍五入,截取d位小数

    二.整数
    整数可正可负,没有取值范围,可以用十进制,二进制,八进制和十六进制表示

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  • 本文将以64位浮点数为例,对64位浮点数的取值范围进行推算,并通过python的sys.float_info的信息,对其逐一解释,以对浮点数有一个更好的理解。本文需要笔者的这篇文章作为预备知识。 最大和最小的正规约数取值 ...

    目录

    最大和最小的正规约数取值

    最小和最大的正非规约数取值

    浮点数能在该范围内精确表示的最大十进制整数

    大于1的最小规约数和1之间的距离epsilon

    对python sys.float_info的解释


           本文将以64位浮点数为例,对64位浮点数的取值范围进行推算,并通过python的sys.float_info的信息,对其逐一解释,以对浮点数有一个更好的理解。本文需要笔者的这篇文章作为预备知识。

    最大和最小的正规约数取值

           对于64位整数来说,由于规约数的移码后的指数取值范围为(1~2046)-1023=(-1022~1023),所以移码后的指数最小值为-1022,最大值为1023,对应着最小正规约数和最大正规约数的指数取值情形;对于尾数来说,自然就是当尾数小数部分全部为0和全部为1时,分别取到最小值和最大值,因此根据分析,我们可以通过如下代码进行二进制到十进制的最小最大值的推算。

    s = '1'*53+'0'*(1023-52)
    f_max = float(int(s,2))
    [out]:
    1.7976931348623157e+308
    
    f_min = float(1/int('1'*1022,2))
    [out]:
    2.2250738585072014e-308

     

    如上代码所示,最大规约数的二进制表示就是隐藏的首位1加52位尾数的1=53个1,然后剩下1023-52位的0,最后通过int函数将该二进制数转为十进制,就可以得到十进制的最大的规约数。同理,对于最小正规约数,就是当尾数全部为0,首位为1,指数为-1022时的二进制数,同样经过int函数转为十进制数,得到十进制的最小正规约数。

    最小和最大的正非规约数取值

           根据非规约数的定义,即指数为0,尾数小数不全为0的数,这时首位的隐藏为也变成了0,不再是1,而且移码后的指数保持-1022不变。所以,最小的非规约数就是当尾数的小数部分最后一位为1,其他位全部为0的时候;由于这时移码后的指数依然为-1022,所以可由如下代码推算得到。同理,最大的非规约数就是当尾数首位隐藏位为0,其他52位小数全部为1时的数,注意这时的指数为-1022。如下所示。

    f_subnormal_min = float(1/(2**(1022+52)))
    f_subnormal_min
    [out]:
    5e-324
    
    f_subnormal_max = float(int('1'*52,2)/(2**(1022+52)))
    f_subnormal_max
    [out]:
    2.225073858507201e-308
    
    f_min - f_subnormal_max #注意f_subnormal_min + f_subnormal_max刚好等于f_min
    [out]:
    5e-324

    浮点数能在该范围内精确表示的最大十进制整数

           由于64位浮点数的尾数只有53位(52位加上一位隐藏位),所以如果某个十进制整数转为64位浮点数后,其二进制的位数超过了53位,那么这个整数的精度就会丢失,所以知道浮点数可以精确表示最大的十进制整数是很重要的,可以避免因为精度问题造成数据的错误。自然地,该十进制整数只需要通过53位全为1的二进制数反推回去就可以得到,如下所示。

    max_int = int('1'*53,2)
    print(max_int)
    [out]:
    9007199254740991 #该数就是64位浮点数可以精确表示的最大十进制整数

           所以,只要一个整数小于等于这个数,那么一定可以保证,当一个整数转为64位浮点数时,该整数还是原来那个数,精度不会丢失,但是如果大于这个数,那么精度就无法保证了。

    大于1的最小规约数和1之间的距离epsilon

           这个数很简单,即第52位为1,其他全为0,且移码后的指数为0,注意不要忽略了隐藏的首位1。所以其和1之间的就是二进制下的0.000....0001,其中小数点后面的0共有51个,由此可以计算得到其和1之间的差epsilon,如下所示。

    epsilon = float(1/int('1'*52,2))
    print(epsilon)
    [out]:
    2.2204460492503136e-16

    对python sys.float_info的解释

    print(sys.float_info)
    [out]:
    sys.float_info(max=1.7976931348623157e+308, max_exp=1024, max_10_exp=308, min=2.2250738585072014e-308, min_exp=-1021, min_10_exp=-307, dig=15, mant_dig=53, epsilon=2.220446049250313e-16, radix=2, rounds=1)

           其中max表示的就是最大的规约数,上面已经进行了推算;radix表示的是在电脑中储存的基数,即进制数,这里表明的是二进制(很显然);max_exp表示的是使得radix**(e-1)为可表示的有限浮点数最大指数,根据上述,由于移码后的规约数的指数范围为-1022~1023,即最大为1023,所以最大的e自然就是1024;max_10_exp表示的是让10**e为一个可表示的浮点数最大的指数,同样的,根据上面对最大规约数的推导,计算得到的结果为1.7976931348623157e+308,所以max_10_exp自然就是308;min表示最小的正规约数,这个和上面的推导结果也是一致的;min_exp表示的是使得radix**(e-1)为可表示的有限浮点数最小指数,因为移码后的最小指数为-1022(尽管指数为0时,我们设定此时偏移量为1022,所以移码后的指数依然为-1022),因此最小的e为-1021;min_10_exp表示的是让10**e为一个可表示的规约浮点数最小的指数,由于计算得到的最小规约数为2.2250738585072014e-308,所以这时最小的e为-307(要注意不是-308,因为10**(-308)比最小正规约数2.2250738585072014e-308还小,这是不符合要求的,所以应该是-307);dig表示可以保证被精确的转为浮点数的整数的数字个数,因为我们上面计算得到的可以保证被精确的转为浮点数的整数应该小于等于9007199254740991,该数有16位数字,但是大于该数的16位数字的整数是无法被精确的转为浮点数的,所以能够被保证可以精确表示成64位浮点数的整数的最大位数应该为15;mant_dig就是mantissa digits,即尾数位数,由于我们知道尾数的首位1是被隐藏的,所以真正的尾数位数共有52位小数位数加上首位的隐藏1,共有53位;这里的epsilon和我们上面说的epsilon意义一样,就是最小的大于1的浮点数和1之间的差值;radix表示基数,也就是进制数,这里指的是二进制;最后rounds表示的是当一个整数转成浮点数,对无法精确表示的整数的近似模式,这里为1表示的是取里原值最近的浮点表示,如果存在两种不同的表示距离一样近,那么去最后一位(即第52位bit)为0的情形,对rounds的说明可以具体看笔者的下一篇文章

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  • Python中有4种类型数——整数、长整数、浮点数和复数。2是一个整数例子。...整数Python语言整数相当于C语言中long型,在32位机器上,整数位宽为32位,取值范围为-231~231-1,即-214...

    在Python中有4种类型的数——整数、长整数、浮点数和复数。

    2是一个整数的例子。

    长整数不过是大一些的整数。

    3.23和52.3E-4是浮点数的例子。E标记表示10的幂。在这里,52.3E-4表示52.3 * 10-4。

    (-5+4j)和(2.3-4.6j)是复数的例子。

    整数

    Python语言的整数相当于C语言中的long型,在32位机器上,整数的位宽为32位,取值范围为-231~231-1,即-2147483648~2147483647;在64位系统上,整数的位宽通常为64位,取值范围为-263~263-1,即-9223372036854775808~9223372036854775807。

    Python中的整数不仅可以用十进制表示,也可以用八进制和十六进制表示。当用八进制表示整数时,数值前面要加上一个前缀“0”;当用十六进制表示整数时,数字前面要加上前缀0X或0x。例如,我们这里将整数15分别以八进制和十六进制的形式赋给整型变量a和b,然后再以十进制的形式输出它们:

    [code lang=”python”]

    #!/usr/bin/python

    # -*- coding: cp936 -*-

    a = 017

    b = 0xf

    print "The value of the variable a decimal from %d " % a

    print "The value of the variable b decimal from %d " % b

    [/code]

    与数值有关的字符串格式化字符及其作用如下所示:

    d: 有符号十进制整数

    u: 无符号十进制整数

    o: 无符号八进制整数

    x: 无符号十六进制整数,a~f采用小写形式

    X: 无符号十六进制整数,A~F采用大写形式

    f: 浮点数

    e,E: 浮点数,使用科学计数法

    g,G:浮点数,使用最低有效数位

    长整数

    跟C语言不同,Python的长整数没有指定位宽,也就是说Python没有限制长整数数值的大小,但是实际上由于机器内存有限,所以我们使用的长整数数值不可能无限大。

    在使用过程中,我们如何区分长整数和整数数值呢?通常的做法是在数字尾部加上一个大写字母L或小写字母l以表示该整数是长整数的,例如:

    a = 6812347598L

    b = 6812347598l

    可能已经发现,小写字母l和数字1看上去很难区分,所以一般推荐使用大写字母L。

    注意,自从Python2.2起,如果发生溢出,Python会自动将整数数据转换为长整数,所以如今在长整数数据后面不加字母L也不会导致严重后果了。

    浮点数

    浮点数用来处理实数,即带有小数的数字。实数有两种表示形式,一种是十进制数形式,它由数字和小数点组成,并且这里的小数点是不可或缺的,如1.23,123.0,0.0等;另一种是指数形式,比如789e3或789E3表示的都是789×103,字母e(或E)之前必须有数字,字母e(或E)之后可以有正负号,表示指数的符号,如果没有则表示正号;此外,指数必须为整数。

    复数

    复数由实数部分和虚数部分组成,一般形式为x+yj,其中的x是复数的实数部分,y是复数的虚数部分,这里的x和y都是实数。注意,虚数部分的字母j大小写都可以,如5.6+3.1j,5.6+3.1J是等价的。

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  • Python中有4种类型数——整数、长整数、浮点数和复数。2是一个整数例子。...整数Python语言整数相当于C语言中long型,在32位机器上,整数位宽为32位,取值范围为-231~231-1,即-214...

    在Python中有4种类型的数——整数、长整数、浮点数和复数。

    2是一个整数的例子。

    长整数不过是大一些的整数。

    3.23和52.3E-4是浮点数的例子。E标记表示10的幂。在这里,52.3E-4表示52.3 * 10-4。

    (-5+4j)和(2.3-4.6j)是复数的例子。

    整数

    Python语言的整数相当于C语言中的long型,在32位机器上,整数的位宽为32位,取值范围为-231~231-1,即-2147483648~2147483647;在64位系统上,整数的位宽通常为64位,取值范围为-263~263-1,即-9223372036854775808~9223372036854775807。

    Python中的整数不仅可以用十进制表示,也可以用八进制和十六进制表示。当用八进制表示整数时,数值前面要加上一个前缀“0”;当用十六进制表示整数时,数字前面要加上前缀0X或0x。例如,我们这里将整数15分别以八进制和十六进制的形式赋给整型变量a和b,然后再以十进制的形式输出它们:

    [code lang=”python”]

    #!/usr/bin/python

    # -*- coding: cp936 -*-

    a = 017

    b = 0xf

    print "The value of the variable a decimal from %d " % a

    print "The value of the variable b decimal from %d " % b

    [/code]

    与数值有关的字符串格式化字符及其作用如下所示:

    d: 有符号十进制整数

    u: 无符号十进制整数

    o: 无符号八进制整数

    x: 无符号十六进制整数,a~f采用小写形式

    X: 无符号十六进制整数,A~F采用大写形式

    f: 浮点数

    e,E: 浮点数,使用科学计数法

    g,G:浮点数,使用最低有效数位

    长整数

    跟C语言不同,Python的长整数没有指定位宽,也就是说Python没有限制长整数数值的大小,但是实际上由于机器内存有限,所以我们使用的长整数数值不可能无限大。

    在使用过程中,我们如何区分长整数和整数数值呢?通常的做法是在数字尾部加上一个大写字母L或小写字母l以表示该整数是长整数的,例如:

    a = 6812347598L

    b = 6812347598l

    可能已经发现,小写字母l和数字1看上去很难区分,所以一般推荐使用大写字母L。

    注意,自从Python2.2起,如果发生溢出,Python会自动将整数数据转换为长整数,所以如今在长整数数据后面不加字母L也不会导致严重后果了。

    浮点数

    浮点数用来处理实数,即带有小数的数字。实数有两种表示形式,一种是十进制数形式,它由数字和小数点组成,并且这里的小数点是不可或缺的,如1.23,123.0,0.0等;另一种是指数形式,比如789e3或789E3表示的都是789×103,字母e(或E)之前必须有数字,字母e(或E)之后可以有正负号,表示指数的符号,如果没有则表示正号;此外,指数必须为整数。

    复数

    复数由实数部分和虚数部分组成,一般形式为x+yj,其中的x是复数的实数部分,y是复数的虚数部分,这里的x和y都是实数。注意,虚数部分的字母j大小写都可以,如5.6+3.1j,5.6+3.1J是等价的。

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  • 浮点数取值范围和小数精度都存在限制,但常规计算可忽略 取值范围数量级约-10308至10308,精度数量级为10-16 注意:浮点数运算存在不确定尾数,不是BUG 示例: >>>0.1+0.3 0.4 >>>...
  • 浮点数是带有小数点及小数数字,取值范围和小数精度都存在限制,但常规计算可忽略。浮点数间运算存在不确定尾数。可用round(x, d)对x四舍五入,d是小数截取位数。 可使用字母e或E作为幂符号,以10为基数,格式:...
  • Python的基本数据类型

    2019-01-31 17:59:15
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  • Python整数、浮点数、复数概念都与数学中概念一致。 整数: 整数无取值范围限制,其中整数类型有4种进制表示形式: 制表示形式 开头 例子 十进制 —— 77,-77 二进制 以0b或0B开头 0b010, -0B101 ...
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  • python数字类型和操作运算

    千次阅读 2018-05-09 23:08:23
    数字类型 整数 python中的整数可以为正,可以为负,范围可以想多大就多大 ...1,浮点数的取值范围为正负10的308次方,精度为10的-16次方, 2,浮点数的运算存在不确定尾数,也就是说0.1+0.2 == 0,3会被判断为Fa...
  • 这里写目录标题一、整数类型二、浮点数类型三、复数...1、与数学中整数概念一致,没有取值范围限制。 2、整数类型共有4种进制表示:十进制、二进制、八进制、 十六进制,默认十进制,其他进制需增加引导符(不区分 大
  • python语言类型

    2017-07-24 17:28:56
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  • Python语言类型

    2018-03-03 15:19:35
     1、不同于其他语言,整数类型没有取值范围限制。而浮点数类型有范围限制,可引入sys,打开sys.float_info来获取计算机 中浮点数的精度,由于精度较高,一般认为浮点数也没有范围限制。复数类型z=a+bj,用j/J来...
  • 整数类型 常用函数: pow(x,y)函数:计算x的y次方,可叠加使用 pow(x,pow(y,z)) 四种进制表示: ...浮点数的取值范围和小数精度存在限制,但常规计算可忽略   浮点数间运算存在不...
  • python的数字类型

    2019-10-11 14:59:31
    整数类型 可正可负,没有取值范围 ...浮点数取值范围和小数精度存在限制,取值范围约-10^308至10^308,精度数量级10^-16 浮点数间运算存在不确定尾数,不是bug >>0.1+0.2==0.3 False >&...
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    2020-04-26 18:10:43
    整数类型 ...带有小数点及小数数字,浮点数取值范围和小数精度存在限制,但常规计算可以忽略 浮点数计算存在不确定尾数,不是bug,因为用二进制表示小数可以无限接近,但不能完全相同 round(x...

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