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  • 1. 如题,二叉树和普通双分支树的区别是什么 2. 为什么教材上面说,二叉树不是树的特殊情形? 树的特征2叉树都有啊,如果"树"是一个数据结构的集合的话,"二叉树"应该就是这个集合的真子集对吧,换句话说,就是特殊...
  • 树是什么

    2020-11-23 17:09:44
    5W1H What:具有分支层次关系的集合 When:1850年左右吧 ...这类树中要求关联到每点的线的条数1到4,树上的一个点对应于一个氢原子或一个碳原子,这一问题是树的计数问题的起源。 Where:元素之间有分支...

    5W1H

    • What:具有分支层次关系的集合
    • When:1850年左右吧
    • Who:据《中国大百科全书数学卷》P679页,在1847年,G R 基尔霍夫在建立电网络理论时,以图G代替电网络N,提出了“连通图”,“树”,“支撑树”等基本概念。1857年 A 凯莱在研究饱和碳氢化合物同分异构体数目时独立地提出了树的概念,他把这类化合物的计数问题抽象为某类树的计数问题。这类树中要求关联到每点的线的条数是1到4,树上的一个点对应于一个氢原子或一个碳原子,这一问题是树的计数问题的起源。
    • Where:元素之间有分支,层次关系的地方
    • Why:线性结构的顺序查找太慢了,使用二分查找,就相当于是二叉树
    • How:

     

    二叉树

    1. 有顺序存储和链式存储
    2. 常规操作集:创建,是否为空,遍历
    3. 遍历分为:先序遍历,中序遍历,后序遍历,层序遍历
    4. 遍历可以递归实现,也可以借助栈或者队列非递归遍历
    5. 两种遍历序列确定一颗二叉树
    6. 常规操作集:输出二叉树的所有叶结点,求二叉树的高度
    7. 表达式树及其遍历
    8. 二叉树的创建
    9. 表达式树的构造

    二叉搜索树

    1. 也叫BST、 二叉排序树、二叉查找树
    2. 新增操作集:动态查找,搜索最大最小元素
    3. 插入元素
    4. 删除元素

    平衡二叉树

    1. ASL平均查找长度
    2. AVL的调整
    3. 单旋
    4. 双旋

     

    堆及其操作

    最大堆

    哈夫曼树

    并查集

    B树

    B+树

    红黑树

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 树的定义 树用来处理一对多的数据结构 树n(n>=0)个节点的有限集 n = 0, 叫做空树 n > 0: 根节点唯一的 子树的个数没有限制,但是一定不...树的树内各节点的度的最大值 节点间关系 当前节

    树的定义

    • 树是用来处理一对多的数据结构
    • 树是n(n>=0)个节点的有限集
      • n = 0, 叫做空树
      • n > 0:
        • 根节点是唯一的
        • 子树的个数没有限制,但是一定是不相交的
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    树的度

    • 节点拥有的子树数量称为节点的度 。 根据各个节点的度的不同,节点可以分为:

      • 叶子节点(Leaf) [也叫做终端节点]: 度为0的节点
      • 分支节点[也叫做非终端节点]: 度不为0
        • 内部节点: 除了根节点之外,分支节点也叫做内部节点
    • 树的度是树内各节点的度的最大值
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    节点间关系

    • 当前节点的子树的根称为该节点的孩子(子节点)
    • 当前节点称为其子节点的双亲 【因为当前节点只有一个,所以叫做双亲节点,而不是父/母节点】
    • 同一个双亲的孩子之间互称为兄弟
    • 节点的祖先从根节点到当前节点所经分支上的所有节点。 比如下图, 相对于H节点,D,B,A都是它的祖先
    • 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。比如B的子孙有D,G,H,I
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    树的层

    • 节点的层(level): 从根节点开始,根节点为第一层,跟的孩子为第二层。。。 若某节点为第i层,则其子树的跟就在第i+1层
    • 其双亲在同一层的节点互为堂兄弟。 比如下图中的,D,E,F是堂兄弟,G,H,I,J是堂兄弟
    • 树中节点的最大层次称为树的深度。比如下图中树的深度为4
      在这里插入图片描述

    树的有序性

    如果树中结点的各子树从左向右是有序的,子树间不能互换位置,则称该树为有序树,否则为无序树。

    树的表示方法

    双亲表示法

    取一块连续的内存空间,在层次每个节点的同时,各自都附加一个记录其父节点位置的变量

    • 在树结构中,除了树根外,每个结点都只有一个父结点(又叫“双亲结点”)。
    #define tree_size 100//宏定义树中结点的最大数量
    #define TElemType int//宏定义树结构中数据类型
    typedef struct PTNode{ //节点结构
        TElemType data;//节点数据
        int parent;//双亲位置下标
    }PTNode;
    typedef struct {  // 树结构
        PTNode nodes[tree_size];//节点数组
        int r,n;//根的位置下标和结点数
    }PTree;
    

    例如,使用双亲表示法存储图 1(A)中的树结构时,数组存储结果为(B):

    在这里插入图片描述

    当算法中需要在树结构中频繁地查找某结点的父结点时,使用双亲表示法最合适。当频繁地访问结点的孩子结点时,双亲表示法就很麻烦,采用孩子表示法就很简单

    孩子表示法

    孩子表示法: 把每个节点的孩子节点排列起来,以单链表作存储结构,则n个节点有n个孩子链表,如果是叶子节点则单链表为空。然后n个头指针有组成一个线性表,采用顺序存储结构,存放进一个一维数组中

    #define TElemType int
    #define Tree_Size 100
    //孩子表示法
    typedef struct CTNode{
        int child;//链表中每个结点存储的不是数据本身,而是数据在数组中存储的位置下标
        struct CTNode * next;
    }*ChildPtr;
    typedef struct {
        TElemType data;//结点的数据类型
        ChildPtr firstchild;//孩子链表的头指针
    }CTBox;
    typedef struct{
        CTBox nodes[Tree_Size];//存储结点的数组
        int n,r;//结点数量和树根的位置
    }CTree;
    

    使用孩子表示法存储的树结构,正好和双亲表示法相反,适用于查找某结点的孩子结点,不适用于查找其父结点。
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    双亲孩子表示法

    将双亲表示法和孩子表示法结合起来
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    孩子兄弟表示法

    使用链式存储结构存储普通树。链表中每个结点由 3 部分组成:
    在这里插入图片描述
    其中孩子指针域,表示指向当前结点的第一个孩子结点,兄弟结点表示指向当前结点的下一个兄弟结点。

    #define ElemType int
    typedef struct CSNode{
        ElemType data;
        struct CSNode * firstchild,*nextsibling;
    }CSNode,*CSTree;
    

    通过孩子兄弟表示法,普通树转化为了二叉树,所以孩子兄弟表示法又被称为“二叉树表示法”或者“二叉链表表示法”。
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    树的双亲表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法

    比较

    树与线性表

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    树与森林

    一棵树为树,两棵树及以上则称为森林
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  • 什么是哈夫曼

    2021-01-29 09:30:23
    给定n个权值作为n个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度(wpl)达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树。 哈夫曼树带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根近。 相关概念的说明: ...

    定义:

           给定n个权值作为n个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度(wpl)达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树。

           哈夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根近。

    相关概念的说明:

          路径和路径长度:在一颗树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

          结点的权及带权路径长度:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

     

    树的带权路径长度:树的带权路径长度规则为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL(weighted  path  length),权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。

    WPL最小的就是哈夫曼树。

     

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  • 树是什么 是由结点和边组成,不存在环一种数据结构 满足递归定义特性。也就是说,如果一个数据结构是结构,那么剔除掉根结点后,得到若干个子结构也是,通常称作子树。 在一棵中,根据结点之间...

    树是什么

    树是由结点和边组成的,不存在环的一种数据结构

    在这里插入图片描述
    树满足递归定义的特性。也就是说,如果一个数据结构是树结构,那么剔除掉根结点后,得到的若干个子结构也是树,通常称作子树。

    在一棵树中,根据结点之间层次关系的不同,对结点的称呼也有所不同。我们来看下面这棵树,如下图所示:

    • A 结点是 B 结点和 C 结点的上级,则 A 就是 B 和 C 的父结点,B 和 C 是 A 的子结点。
    • B 和 C 同时是 A 的“孩子”,则可以称 B 和 C 互为兄弟结点。
    • A 没有父结点,则可以称 A 为根结点。
    • G、H、I、F 结点都没有子结点,则称 G、H、I、F 为叶子结点。

    在这里插入图片描述
    当有了一棵树之后,还需要用深度、层来描述这棵树中结点的位置。结点的层次从根结点算起,根为第一层,根的“孩子”为第二层,根的“孩子”的“孩子”为第三层,依此类推。树中结点的最大层次数,就是这棵树的树深(称为深度,也称为高度)。如下图所示,就是一棵深度为 4 的树。
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    二叉树是什么

    在树的大家族中,有一种被高频使用的特殊树,它就是二叉树。在二叉树中,每个结点最多有两个分支,即每个结点最多有两个子结点,分别称作左子结点和右子结点。

    在二叉树中,有下面两个特殊的类型,如下图所示:

    • 满二叉树,定义为除了叶子结点外,所有结点都有 2 个子结点。
    • 完全二叉树,定义为除了最后一层以外,其他层的结点个数都达到最大,并且最后一层的叶子结点都靠左排列。
      在这里插入图片描述
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      存储二叉树有两种办法,一种是基于指针的链式存储法,另一种是基于数组的顺序存储法。
    • 链式存储法,也就是像链表一样,每个结点有三个字段,一个存储数据,另外两个分别存放指向左右子结点的指针,如下图所示:

    在这里插入图片描述

    • 顺序存储法,就是按照规律把结点存放在数组里,如下图所示,为了方便计算,我们会约定把根结点放在下标为 1 的位置。随后,B 结点存放在下标为 2 的位置,C 结点存放在下标为 3 的位置,依次类推。
      在这里插入图片描述
      根据这种存储方法,我们可以发现如果结点 X 的下标为 i,那么 X 的左子结点总是存放在 2i 的位置,X 的右子结点总是存放在 2i + 1 的位置。

    之所以称为完全二叉树,是从存储空间利用效率的视角来看的。对于一棵完全二叉树而言,仅仅浪费了下标为 0 的存储位置。而如果是一棵非完全二叉树,则会浪费大量的存储空间。

    如下图所示的非完全二叉树,它既需要保留出 5 和 6 的位置。同时,还需要保留 5 的两个子结点 10 和 11 的位置,以及 6 的两个子结点 12 和 13 的位置。这样的二叉树,没有完全利用好数组的存储空间。

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    树的基本操作

    接下来,以二叉树为例介绍树的操作,其他类型的树的操作与二叉树基本相似。

    可以发现,我们以前学到的数据结构都是“一对一”的关系,即前面的数据只跟下面的一个数据产生了连接关系,例如链表、栈、队列等。而树结构则是“一对多”的关系,即前面的父结点,跟下面若干个子结点产生了连接关系。

    要在数据结构中,查找具有某个数值特性的数据需要遍历每一条数据。这在“一对一”的结构中,直接按顺序访问就好了。可是,树是“一对多”的关系,那么我们该如何进行数据的遍历,才能保证每条数据都会被访问一次且没有遗漏呢?我们只有解决了遍历问题,才能通过树来进行数据的增删查操作。

    其实,遍历一棵树,有非常经典的三种方法,分别是前序遍历、中序遍历、后序遍历。这里的序指的是父结点的遍历顺序,前序就是先遍历父结点,中序就是中间遍历父结点,后序就是最后遍历父结点。不管哪种遍历,都是通过递归调用完成的。如下图所示:

    • 前序遍历,对树中的任意结点来说,先打印这个结点,然后前序遍历它的左子树,最后前序遍历它的右子树。
    • 中序遍历,对树中的任意结点来说,先中序遍历它的左子树,然后打印这个结点,最后中序遍历它的右子树。
    • 后序遍历,对树中的任意结点来说,先后序遍历它的左子树,然后后序遍历它的右子树,最后打印它本身。

    在这里插入图片描述
    Java代码如下:

    // 先序遍历
    public static void preOrderTraverse(Node node) {
        if (node == null)
            return;
        System.out.print(node.data + " ");
        preOrderTraverse(node.left);
        preOrderTraverse(node.right);
    }
    // 中序遍历
    public static void inOrderTraverse(Node node) {
        if (node == null)
            return;
        inOrderTraverse(node.left);
        System.out.print(node.data + " ");
        inOrderTraverse(node.right);
    }
    // 后序遍历
    public static void postOrderTraverse(Node node) {
        if (node == null)
            return;
        postOrderTraverse(node.left);
        postOrderTraverse(node.right);
        System.out.print(node.data + " ");
    }
    
    

    二叉树遍历过程中,每个结点都被访问了一次,其时间复杂度是 O(n)。接着,在找到位置后,执行增加和删除数据的操作时,我们只需要通过指针建立连接关系就可以了。对于没有任何特殊性质的二叉树而言,抛开遍历的时间复杂度以外,真正执行增加和删除操作的时间复杂度是 O(1)。树数据的查找操作和链表一样,都需要遍历每一个数据去判断,所以时间复杂度是 O(n)。

    二叉查找树的特性

    二叉查找树(也称作二叉搜索树)具备以下几个的特性:

    • 在二叉查找树中的任意一个结点,其左子树中的每个结点的值,都要小于这个结点的值。
    • 在二叉查找树中的任意一个结点,其右子树中每个结点的值,都要大于这个结点的值。
    • 在二叉查找树中,会尽可能规避两个结点数值相等的情况。
    • 对二叉查找树进行中序遍历,就可以输出一个从小到大的有序数据队列。如下图所示,中序遍历的结果就是
      10、13、15、16、20、21、22、26。
      在这里插入图片描述

    二叉查找树的查找操作

    在利用二叉查找树执行查找操作时,我们可以进行以下判断:

    • 首先判断根结点是否等于要查找的数据,如果是就返回。
    • 如果根结点大于要查找的数据,就在左子树中递归执行查找动作,直到叶子结点。
    • 如果根结点小于要查找的数据,就在右子树中递归执行查找动作,直到叶子结点。

    这样的“二分查找”所消耗的时间复杂度就可以降低为 O(logn)。

    二叉查找树的插入操作

    在二叉查找树执行插入操作也很简单。从根结点开始,如果要插入的数据比根结点的数据大,且根结点的右子结点不为空,则在根结点的右子树中继续尝试执行插入操作。直到找到为空的子结点执行插入动作。

    如下图所示,如果要插入数据 X 的值为 14,则需要判断 X 与根结点的大小关系:

    由于 14 小于 16,则聚焦在其左子树,继续判断 X 与 13 的关系。

    由于 14 大于 13,则聚焦在其右子树,继续判断 X 与15 的关系。

    由于 14 小于 15,则聚焦在其左子树。

    因为此时左子树为空,则直接通过指针建立 15 结点的左指针指向结点 X 的关系,就完成了插入动作。

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    二叉查找树插入数据的时间复杂度是 O(logn)。但这并不意味着它比普通二叉树要复杂。原因在于这里的时间复杂度更多是消耗在了遍历数据去找到查找位置上,真正执行插入动作的时间复杂度仍然是 O(1)。

    二叉查找树的删除操作

    二叉查找树的删除操作会比较复杂,这是因为删除完某个结点后的树,仍然要满足二叉查找树的性质。我们分为下面三种情况讨论。

    • 情况一,如果要删除的结点是某个叶子结点,则直接删除,将其父结点指针指向 null 即可。
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    • 情况二,如果要删除的结点只有一个子结点,只需要将其父结点指向的子结点的指针换成其子结点的指针即可。

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    • 情况三,如果要删除的结点有两个子结点,则有两种可行的操作方式。

    第一种,找到这个结点的左子树中最大的结点,替换要删除的结点。
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    第二种,找到这个结点的右子树中最小的结点,替换要删除的结点。

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    树的实际案例

    输入一个字符串,判断它在已有的字符串集合中是否出现过?(假设集合中没有某个字符串与另一个字符串拥有共同前缀且完全包含的特殊情况,例如 deep 和 dee。)如,已有字符串集合包含 6 个字符串分别为,cat, car, city, dog,door, deep。输入 cat,输出 true;输入 home,输出 false。

    我们假设采用最暴力的办法,估算一下时间复杂度。假设字符串集合包含了 n 个字符串,其中的字符串平均长度为 m。那么新来的一个字符串,需要与每个字符串的每个字符进行匹配。则时间复杂度为 O(nm)。

    但在 nm 的复杂度中,显然存在很多的无效匹配。例如,输入 home 时,6 个字符串都没有 h 开头的,则不需要进行后续的匹配。因此,如果可以通过对字符前缀进行处理,就可以最大限度地减少无谓的字符串比较,从而提高查询效率。这就是“用空间换时间”的思想,再利用共同前缀来提高查询效率。

    其实,这个问题利用树结构也可以完成。我们对字符串建立一个的树结构,如下图所示,它将字符串集合的前缀进行合并,每个根结点到叶子结点的链条就是一个字符串。

    在这里插入图片描述
    这个树结构也称作 Trie 树,或字典树。它具有三个特点:

    • 第一,根结点不包含字符;
    • 第二,除根结点外每一个结点都只包含一个字符;
    • 第三,从根结点到某一叶子结点,路径上经过的字符连接起来,即为集合中的某个字符串。
      在这里插入图片描述

    总结

    二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)。有了遍历方式之后,你可以完成在指定位置的数据增删操作。增删操作的时间复杂度都是 O(1)。

    对于查找操作,如果是普通二叉树,则查找的时间复杂度和遍历一样,都是 O(n)。如果是二叉查找树,则可以在 O(logn) 的时间复杂度内完成查找动作。树结构在存在“一对多”的数据关系中,可被高频使用,这也是它区别于链表系列数据结构的关键点。

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空空如也

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树的分支是什么