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  • 证明:N个节点的二叉树,存在N+1个null节点 ...F 也可以理解为:“全部节点中,有子节点的边数” 所以:null节点数 = 2 * N - F = N + 1 证明:二叉树节点(full node)个数加一等于非空二叉树树叶个数 ...

    证明:练习4.4:N个节点的二叉树,存在N+1个null节点

    令:N = 节点个数

    • 每个非根节点,都有父节点:

    令:F = (需要的)父节点个数

    • F = N-1
    • F 也可以理解为:“全部节点中,有子节点的边数”

    所以:null节点数 = 2 * N - F = N + 1

    证明:练习4.6:二叉树的满节点(full node)个数加一等于非空二叉树的树叶的个数

    二叉树节点有三种情况

    • 没有子节点 =》 树叶 =》 令个数为 L
    • 一个子节点 =》 令个数为 A
    • 两个子节点 =》 满节点 =》 令个数为 B

    总共的节点个数:N=L+A+B


    L=B+1\color{#ff0011}{证明:L = B + 1 }
    根据上面的证明4.4


    知道有N+1个null节点
    其中,一个树叶提供两个null节点,有一个子节点的节点提供一个null节点
    所以,A + 2L = N + 1
    所以,A = N + 1 - 2L


    上面的结论A = N + 1 - 2L代入 N=L+A+B
    得到:N=L+N+12L+B\color{#064f3f}{N = L + N + 1 - 2L + B }
    化简之后,就是结论:L=B+1\color{#ff0011}{L = B + 1 }

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  • 二叉树结点与边的关系

    千次阅读 2018-02-06 11:20:17
    二叉树是每个节点最多有...(刚在书上看的,有必要记一下)记一棵二叉树有n个节点,其中度为0的节点有n0个,度为1的有n1个,度为2的有n2个,所以有n=n0+n1+n2(二叉树度最大就是2),所以这棵就是n-1个,然后由上往

    二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。将树进行孩子兄弟表示法进行表示,得到的也就是个二叉树,这样所有节点可以用统一的数据结构,即一个数据域,两个指针域。相对于树的表示对指针域有了比较好的利用。

    (刚在书上看的,有必要记一下)记一棵二叉树有n个节点,其中度为0的节点有n0个,度为1的有n1个,度为2的有n2个,所以有n=n0+n1+n2(二叉树度最大就是2),所以这棵树就是n-1个边,然后由上往下看一棵树,他的度为几就可以说他贡献的边有几个,所以边也可表示为n2*2+n1*1+n0*0,可得n0=n2+

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  • 可导航四叉地图可导航四叉地图树节点边的继承结果不足改进源码 可导航四叉地图 四叉、八叉是一种高效的管理二维、三维空间的数据结构,本博客将从一组二维点云出发,简述可导航四叉地图的构建方法,...

    继承连接关系的四叉树地图

    四叉树、八叉树是一种高效的管理二维、三维空间的数据结构,本博客将从一组二维点云出发,简述继承连接关系的四叉树地图的构建方法,并给出本人源码,欢迎交流学习。
    四叉树地图因为其结构,只能自下而上的大查询,从根节点查询到末端枝叶节点,要实现在这样地图上的导航,就需要建立各个树上节点之间的连接关系,我们可以在构建四叉树地图的同时构建这样的关系。
    八叉树版本Demo:
    https://www.bilibili.com/video/BV1vv41117kE
    八叉树版本源码:
    https://github.com/mkb9559/Inherited-Octree-Map

    树节点

    构建树上节点之间的连接关系其实也比较简单,只需要在每个树节点上记录下此节点可达到的其他节点,这样就能完成树上搜索,本人定义的树节点是:

    class treenode4
    {
    public:
    	treenode4();
    	~treenode4();
    	treenode4(treenode4* fa, Point2D c, bool ex);
    	/******tree info*********/
    	bool exist;
    	bool full;
    	Point2D cen;
    	int nowdeep;
    	treenode4* child[4];
    	treenode4* father;
    	std::vector<edge2D> eg;				// only for exist==true ,eg!=empty()
    
    	/*******nvi info*********/
    	double lowestcost;
    	treenode4* wayfrom;
    	bool innode(Point2D p,double r);
    
    
    };
    

    树节点之间的连接关系将被储存在 eg中,只要在建立四叉树的同时,不断维护每个节点的连接关系,即eg就可以构建出继承连接关系的叉树地图。

    边的继承

    边的继承分为两种情况,一种是父节点分裂为四个子节点时,子节点之间的连接关系;另一种是父节点分裂为四个子节点时子节点选择性继承父节点的连接关系。
    一开始,四叉树只有一个根节点,其包含一大块地图块,当插入地图点时,地图将会分裂,当一分为四的时候,显然这四个块区域之间是有一个两两之间的连通关系的。
    如下图,R3将分裂为4块子节点R31、R32、R33、R34,父节点R3有连接关系R1和R4,其中R1将会被R31、R32继承,R4将会被R32、R34继承,而R33则不能继承该父节点的连接关系,此后,该父节点将不再作为导航地图节点,取而代之的是R31、R32、R33、R34,所以应当在继承之后,在R1、R4中维护删到除掉的节点R3的连接关系。
    当然,因为在构建四叉树的时候会不断插入了新的点云点,在上述两种继承时应当考虑该点是否被占用。

    地图分裂

    结果

    如下一组原始点云:
    在这里插入图片描述

    如下图是利用四叉树建立的地图,地图区块之间的连接关系也在图中显示。本处使用SPFA可以轻松实现导航
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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  • 树与二叉树

    2018-08-15 22:31:14
    树由节点与边构成。 子节点之间是没有交集的。 每个节点的指针域两个至多个(N叉树)。 节点数 = 边数 + 1。 图的度 = 出度 + 入度, 树的度 = 出度。 定理: 二叉树中度数为零的节点比度数为2的节点多一个。...

    树形结构是计算机最重要的数据结构,链表示特殊的树.

    特点:

    1. 节点抽象为集合,边抽象为关系。
    2. 树由节点与边构成。
    3. 子节点之间是没有交集的。
    4. 每个节点的指针域两个至多个(N叉树)。
    5. 节点数 = 边数 + 1。
    6. 图的度 = 出度 + 入度, 树的度 = 出度。

    定理:

    二叉树中度数为零的节点比度数为2的节点多一个。

    满二叉树:没有度数为1的节点。

    完全二叉树:除了最后一层的所有节点度数均为2。


    树的遍历种类:

    • 先序遍历:1. 根节点 2. 左子树 3. 右子树
    • 中序遍历:1. 左子树 2. 根节点 3. 右子树
    • 后序遍历:1. 左子树 2. 右子树 3. 根节点

    巧记:所谓前中后序,是根据根节点的位置的访问时序决定的。


    哈夫曼树 :

    哈夫曼编码用于数据压缩。

    例子:具有三个字母的系统
    若采用定长编码:
    每个单元需要两个比特位,期望为2。
    若采用变长编码:
    根据a, b, c出现频率为 a:0.5 b:0.4 c:0.1,将a,b,c编码为0, 10, 11,则期望为1.5

    哈夫曼树是一颗满二叉树,n个叶子节点, n - 1个中间节点(度数为2)。
    至今为止人类发现的最优的变长编码(离线编码)。

    思考与分析
    具有n个字符的系统。
    他们出现的概率分别是 a1,a2,a3an 对应的比特长度为 l1,l2,l3ln

    lsum=i=1naili

    我们最终的目标是要实现期望lsum达到最小,那么这也就说我们需要做到 amax 对应 lmin

    深度大的说明他的编码长度长,那么该分配他出现概率低的字符

    构建步骤:

    1. 首先找出出现频率最低的两个字符为他们分配前缀,然后进行合并。
    2. 接下来为树中每一条边进行赋值
    3. 不断合并最终仅剩一个根节点

    演示代码:

    二叉树:
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    typedef struct Node {
        int key;
        struct Node *lchild, *rchild;
    } Node;
    Node *getNode(int);
    void clear(Node *);
    void pre_order(Node *);
    void in_order(Node *);
    void post_order(Node *);
    int main(){
        Node *root = getNode(1);
        root->lchild = getNode(2);
        root->rchild = getNode(3);
        root->lchild->lchild = getNode(7);
        root->lchild->rchild = getNode(8);
        root->lchild->rchild->lchild = getNode(9);
        root->rchild->rchild = getNode(4);
        root->rchild->rchild->lchild = getNode(5);
        root->rchild->rchild->rchild = getNode(6);
        pre_order(root); printf("\n");
        in_order(root); printf("\n");
        post_order(root); printf("\n");
    }
    
    Node *getNode(int key) {
        Node *p = (Node *)malloc(sizeof(Node));
        p->key = key;
        p->lchild = p->rchild = NULL;
        return p;
    }
    
    void clear(Node *root) {
        if (root == NULL) return;
        clear(root->lchild);
        clear(root->rchild);
        free(root);
        return;
    }
    void pre_order(Node* root) {
        if (root == NULL) return;
        printf("%d ", root->key);
        pre_order(root->lchild);
        pre_order(root->rchild);
    }
    void in_order(Node *root) {
        if (root == NULL) return;
        in_order(root->lchild);
        printf("%d ", root->key);
        in_order(root->rchild);
    }
    void post_order(Node *root) {
        if (root == NULL) return;
        post_order(root->lchild);
        post_order(root->rchild);
        printf("%d ", root->key);
    }
    哈夫曼树:
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <string.h>
    #define CHAR_NUM 26
    
    #define swap(a, b) { \
        __typeof(a) temp; \
        temp = a; \
        a = b;  \
        b = temp; \
    }
    
    typedef struct HFNode {
        char ch;
        int freq;
        struct HFNode *lchild, *rchild;
    } HFNode;
    
    HFNode *getNode() {
        HFNode *p = (HFNode *)malloc(sizeof(HFNode));
        p->freq = p->ch = 0;
        p->lchild = p->rchild = NULL;
        return p;
    }
    
    void build(int n, HFNode *arr[]) {
        for (int times = 0; times < n - 1; times++) {
            HFNode *minNode = arr[0];
            int ind = 0;
            for (int i = 1; i < n - times; i++) {
                if (arr[i]->freq >= minNode->freq) continue;
                minNode = arr[i];
                ind = i;
            }
            swap(arr[ind], arr[n - times - 1]);
            minNode = arr[0];
            ind = 0;
            for (int i = 1; i < n - times - 1; i++) {
                if (arr[i]->freq >= minNode->freq) continue;
                minNode = arr[i];
                ind = i;
            }
            swap(arr[ind], arr[n - times - 2]);
            HFNode *new_node = getNode();
            new_node->lchild = arr[n - times - 1];
            new_node->rchild = arr[n - times - 2];
            new_node->freq = arr[n - times - 1]->freq + arr[n - times - 2]->freq;
            arr[n - times - 2] = new_node;
        }
        return ;
    }
    
    void extract(HFNode *root, char *buff, char (*huffman_code)[100], int n) {
        buff[n] = '\0';
        if (root->lchild == NULL && root->rchild == NULL) {
            strcpy(huffman_code[root->ch], buff);
            return;
        }
        buff[n] = '0';
        extract(root->lchild, buff, huffman_code, n + 1);
        buff[n] = '1';
        extract(root->rchild, buff, huffman_code, n + 1);
        return ;
    }
    
    int main() {
        HFNode *arr[CHAR_NUM] = {0};
        char buff[100];
        char huffman_code[256][100] = {0};
        int freq;
        for (int i = 0; i < CHAR_NUM; i++) {
            scanf("%s%d", buff, &freq);
            printf("read %s = %d\n", buff, freq);
            HFNode *new_node = getNode();
            new_node->ch = buff[0];
            new_node->freq = freq;
            arr[i] = new_node;
        }
        build(CHAR_NUM, arr);
        extract(arr[0], buff, huffman_code, 0);
        for (int i = 0; i < 256; i++) {
            if (huffman_code[i][0] == 0) continue;
            printf("%c : %s\n", (char)i, huffman_code[i]);
        }
        return 0;
    }
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