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  • 标准正交

    2020-08-27 23:52:23
    标准正交基一 正交向量积定义二 正交标准基的定义1 几何空间R3中的情况2 标准正交基的定义注3 标准正交基的构造4 标准正交基的基变换三 正交矩阵定义性质 一 正交向量积 定义 二 正交标准基的定义 1 几何空间R3中...

    一 正交向量积

    定义

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    二 正交标准基的定义

    1 几何空间R3中的情况

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    2 标准正交基的定义

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    3 标准正交基的构造 【施密特正交化】

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    4 标准正交基的基变换

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    三 正交矩阵

    定义

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    性质

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  • 关于标准正交

    2013-05-06 00:02:36
    主要介绍标准正交基的定义,性质,定理及定理的证明
  • 测试用例是测试工作中最重要元素或测试件(testware)之一,是测试执行的基软件测试中如何定义测试用例质量标准?在定义测试用例质量标准之前,先要了解设计测试用例目的。测试用例是测试工作中最重要元素...
  • 2. 标准正交基的好处 标准正交基有什么好处?它们可以构造很好的坐标系,此时求该坐标系中的坐标时,可以简化计算量 假设: 为子空间V的标准正交基, 因此: 通用的做法是: 但如果维数较多...

    1. 标准正交基定义

    如果一个基中的每一个向量长度为1,且任意两个不同的向量的点积等于0,那么该基就称为标准正交基,例如:

    B = \left \{ \begin{bmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3} \end{bmatrix} \right \} \qquad or \qquad B' = \left \{ \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \right \}

    2. 标准正交基下坐标的求法

    标准正交基有什么好处?它们可以构造很好的坐标系,此时求该坐标系中的坐标时,可以简化计算量

    \left [ \vec{x} \right ]_B = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \cdots \\ c_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{v}_1 \cdot \vec{x} \\ \vec{v}_2 \cdot \vec{x} \\ \cdots \\ \vec{v}_k \cdot \vec{x} \end{bmatrix}

    假设:

    B=\left \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_k \right \}

    为子空间V的标准正交基,

    \vec{x} \in V

    \Rightarrow \vec{x} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_k \vec{v}_k

    \Rightarrow \vec{v}_i \cdot \vec{x} = \vec{v}_i \cdot (c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_k \vec{v}_k)

    \Rightarrow \vec{v}_i \cdot \vec{x} = c_1 \vec{v}_i \cdot \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_i \cdot \vec{v}_2 + \cdots + c_i \vec{v}_i \cdot \vec{v}_i + \cdot + c_k \vec{v}_i \cdot \vec{v}_k

    \Rightarrow \vec{v}_i \cdot \vec{x} = 0 + 0 + \cdots + c_i + \cdots + 0

    \Rightarrow \vec{v}_i \cdot \vec{x} = c_i

    因此:

    \left [ \vec{x} \right ]_B = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \cdots \\ c_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{v}_1 \cdot \vec{x} \\ \vec{v}_2 \cdot \vec{x} \\ \cdots \\ \vec{v}_k \cdot \vec{x} \end{bmatrix}

    通用的做法是:

    \left \[ \vec{x} \right \] = C^{-1} \vec{x}

    但如果维数较多,那么计算量会非常大;如果C不可逆,求解会更麻烦

    3. 标准正交基下投影的计算

    Proj_V \vec{x} = AA^T \vec{x}

    假设子空间V的基为标准正交基S:

    S=\left \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \cdots, \vec{v}_k \right \}

    基S构成的矩阵为:

    \underset{n \times k}{A} = \begin{bmatrix} | & | & & | \\ \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \cdots & \vec{v}_k \\ | & | & & | \end{bmatrix}

    那么:

    \underset{k \times n}{A^T} = \begin{bmatrix} - & \vec{v}_1 & - \\ - & \vec{v}_2 & - \\ & \cdots & \\ - & \vec{v}_k & - \\ \end{bmatrix}

    \underset{k \times n}{A^T} \underset{n \times k}{A} =\begin{bmatrix} - & \vec{v}_1 & - \\ - & \vec{v}_2 & - \\ & \cdots & \\ - & \vec{v}_k & - \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} | & | & & | \\ \vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \cdots & \vec{v}_k \\ | & | & & | \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} = I_k

    因此:

    Proj_V \vec{x} = A (A^T A)^{-1} A^T \vec{x} = A (I_k)^{-1}A^T \vec{x} = A A^T \vec{x}

    更深层次的理解,针对标准正交基,向量在子空间的投影等于向量在每一个基向量上的投影之和:

    假设向量x为Rn中的一个向量,因此:

    \vec{x} = \vec{v} + \vec{w}

    \Rightarrow \vec{x} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_k \vec{v}_k + \vec{w}

    \Rightarrow \vec{v}_i \cdot \vec{x} = c_1 \vec{v}_i \cdot \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_i \cdot \vec{v}_2 + \cdots + c_i \vec{v}_i \cdot \vec{v}_i + \cdots + c_k \vec{v}_i \cdot \vec{v}_k + \vec{v}_i \cdot \vec{w}

    \Rightarrow \vec{v}_i \cdot \vec{x} = c_i

    \Rightarrow \vec{x} = (\vec{v}_1 \cdot \vec{x}) \vec{v}_1 + (\vec{v}_2 \cdot \vec{x}) \vec{v}_2 + \cdots + (\vec{v}_k \cdot \vec{x}) \vec{v}_k + \vec{w}

    \Rightarrow Proj_V \vec{x} = (\vec{x} \cdot \vec{v}_1) \vec{v}_1 + (\vec{x} \cdot \vec{v}_2) \vec{v}_2 + \cdots + (\vec{x} \cdot \vec{v}_k) \vec{v}_k

    即投影等于向量在每一个基向量上的投影之和

    注意:向量x不在子空间V中,如果在子空间V中,相当于坐标变换

    4. 标准正交方阵基

    标准正交方阵基构成的矩阵称为正交矩阵

    4.1 正交矩阵转置等于逆:

    C^T = C^{-1}

    证明:

    \underset{k \times n}{C^T} \underset{n \times k}{C} = I_k

    \underset{n \times n}{C^T} \underset{n \times n}{C} = I_n

    又因为:

    C^{-1} C = I_n

    所以:

    C^T = C^{-1}

    用转置矩阵代替逆矩阵,可以减少计算量

    4.2 正交变换保长和保角

    变换矩阵为正交矩阵的变换称为正交变换,正交变换保长和保角,即正交变换为旋转变换 (其它变换长度或夹角可能会发生变化):

    \left \| C \vec{x} \right \| = \left \| \vec{x} \right \|

    \cos \theta = \cos \theta_C

    保长证明:

    \begin{align*} \left \| C \vec{x} \right \| ^2 &= (C \vec{x}) \cdot (C \vec{x}) \\ &= (C\vec{x})^T (C\vec{x}) \\ &= \vec{x}^T C^T C \vec{x} \\ &= \vec{x}^T \vec{x} \\ &= \left \| \vec{x} \right \| ^2 \end{align*}

    保角证明:

    \vec{v} \cdot \vec{w} = \left \| \vec{v} \right \| \left \| \vec{w} \right \| \cos \theta

    \Rightarrow \cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{ \left \| \vec{v} \right \| \left \| \vec{w} \right \| }

    向量v和向量w经过C变换后:

    \Rightarrow \cos \theta _C = \frac{(C\vec{v}) \cdot (C\vec{w})}{ \left \| C \vec{v} \right \| \left \| C \vec{w} \right \|}

    \Rightarrow \cos\theta _C = \frac{(C \vec{v})^T (C \vec{w}))}{\left \| \vec{v} \right \| \left \| \vec{w} \right \|} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\left \| \vec{v} \right \| \left \| \vec{w} \right \|} = \cos \theta

    5. Gram-Schmidt过程

    从普通基构造标准正交基的过程,称为schmidt过程:先将第一个列向量变成单位向量,然后根据第二个列向量在第一个列向量上的投影,求出第二个基向量,以此类推

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  • 欧几里得空间——标准正交

    千次阅读 2019-06-09 17:41:33
    定义5 欧氏空间V中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组。 1.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。...一组基为标准正交基的充要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵。因为度量矩阵是正...

    定义5

    欧氏空间V中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组。

    1.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。

    2.正交向量组是线性无关的。

    3.在n维欧氏空间中,两两正交的非零向量不能超过n个。

    定义6

    在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

    一组基为标准正交基的充要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵。因为度量矩阵是正定的,正定矩阵合同于单位矩阵,这说明在n维欧氏空间中存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵。

    在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来,即\alpha =(\varepsilon _1,\alpha )\varepsilon _1+(\varepsilon _2,\alpha )\varepsilon _2+...+(\varepsilon _n,\alpha )\varepsilon _n事实上,设\alpha =x_1\varepsilon _1+x_2\varepsilon _2+...+x_n\varepsilon _n.\varepsilon _i与等式两边作内积,即得x_i=(\varepsilon _i,\alpha )(i=1,2,...,n).在标准正交基下,内积有特别简单的表达式,设\alpha =x_1\varepsilon _1+x_2\varepsilon _2+...+x_n\varepsilon _n,\beta =y_1\varepsilon _1+y_2\varepsilon _2+...+y_n\varepsilon _n.那么(\alpha ,\beta )=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n.

    下面结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。

    定理1

    n维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基。

    定理2

    对于n维欧氏空间中任意一组基\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n,都可以找到一组标准正交基\eta _1,\eta _2,...,\eta _n,使L(\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n)=L(\eta _1,\eta _2,...,\eta _n),i=1,2,...,n.

    应该指出,定理中的要求L(\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n)=L(\eta _1,\eta _2,...,\eta _n),i=1,2,...,n.就相当于由基\varepsilon _1,\varepsilon _2,...,\varepsilon _n到基\eta _1,\eta _2,...,\eta _n的过渡矩阵式上三角形的。

    例:把\alpha _1=(1,1,0,0),\alpha _2=(1,0,1,0),\alpha _3=(-1,0,0,1),\alpha _4=(1,-1,-1,1)变成单位正交的向量组。

    解:先把它们正交化,得\beta _1=\alpha _1=(1,1,0,0),

    \beta _2=\alpha _2-\frac{(\alpha _2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0),

    \beta _3=\alpha _3-\frac{(\alpha _3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2=(-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},1),

    \beta _4=\alpha _4-\frac{(\alpha _4,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\beta _1-\frac{(\alpha _4,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}\beta _2-\frac{(\alpha _4,\beta _3)}{(\beta _3,\beta _3)}\beta _3=(1,-1,-1,1).

    再单位化,得\eta _1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0),

    \eta _2=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},0),

    \eta _3=(-\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{3}{\sqrt{12}}),

    \eta _4=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}).

     

     

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    写在前面

    原论文标题:Distributed convex optimization via continuous-time coordination algorithms with discrete-time communication.

    之所以想要写这篇文章,是因为最近在看的一篇分布式优化论文(Kia 2015)1,其中有这么一个问题。

    Πn=In1n1n1nT\Pi_n=I_n-\frac{1}{n}1_n 1_n^T。为了简便表示,可以定义rRnr\in\mathbb R^nRRn×(n1)R\in\mathbb R^{n\times (n-1)},且满足以下条件:
    r=1n1nrTR=0RTR=In1RRT=Πn r=\frac{1}{\sqrt{n}} 1_n,\,r^TR= 0,\,R^TR=I_{n-1},\,RR^T=\Pi_n。
    那么如何得到期望的RR

    显然这里,[r,R][r, R]nn维空间的一组标准正交基(orthonormal basis)。现在已知rr需要求出所有RR的列向量。这就需要线性代数中标准正交基和投影的知识。

    正交基与投影

    一个nn维空间中任何一组线性无关(linearly independent)的向量,都是这个nn维空间的一组基。当这组基的向量两两垂直(即eiTej=0e_i^Te_j=0),则称为正交基(orthogonal basis)。而标准正交基只是将正交基又添加了一个条件,模长为1(即ei=1\|e_i\|=1)。一个空间可以有无数组基向量,正交基和标准正交基也同样是有无数组的。

    一维投影相当于把一个向量投影到另一个向量,可以进一步求取正交基。以下图片来自Jakob_Hu的博客2

    已知向量uuvv,按照如上图所示方法可以求取投影p=uTvu2up=\frac{u^Tv}{\|u\|^2}u。求出pp后,进一步求出正交向量vpv-p非常容易。这就解决了在二维空间中求取一组正交基的问题,正交基为ppvpv-p

    高维投影和Gram-Schmidt过程

    为了解决第一节提到的问题,我们需要一个能够通过任意维度的一组基构造空间的正交基的算法。

    三维空间

    以三维向量为例,假设存在一组三维向量,需要求出这三个向量所在空间的正交基,其中两个已经处理得到相互正交的向量p1p_1p2p_2。再加上向量ww构成三维空间的一组基。

    下一步我们需要做wwp1p_1p2p_2构成的二维子空间的投影pp,则wpw-p即我们想要的正交向量。

    1. 分别做wwp1p_1p2p_2上的投影,得到wTp1p12p1\frac{w^Tp_1}{\|p_1\|^2}p_1wTp2p22p2\frac{w^Tp_2}{\|p_2\|^2}p_2,则p=wTp1p12p1+wTp2p22p2p=\frac{w^Tp_1}{\|p_1\|^2}p_1+\frac{w^Tp_2}{\|p_2\|^2}p_2
    2. 计算wpw-p,得到wwTp1p12p1wTp2p22p2w-\frac{w^Tp_1}{\|p_1\|^2}p_1-\frac{w^Tp_2}{\|p_2\|^2}p_2即第三维的正交向量。

    三维空间求正交基的整个过程可以看做是先求出相应的二维空间的正交基,进一步求取三维空间正交基。

    四维及以上空间

    与三维空间相似,先求取低维度空间的正交基,在其基础上进行高一维度正交基的求取。

    给出任何一组nn维空间的基,正交基的过程都可以通过逐一维度的计算得到。任何一个维度的向量都减去它在低维度空间中已经正交的向量的投影,这一过程就是Gram-Schmidt过程

    Gram-Schmidt过程构造标准正交基

    回到第一节提到的问题,现在我们已知nn维空间的任意一个向量rr,如何利用Gram-Schmidt过程构造一组标准正交基。

    % 维度为4
    n = 4;
    r = ones(n,1)/n;
    
    % r'的零空间
    N = @(A) eye(size(A,2))-pinv(A)*A;
    R1 = N(r');
    R1 = R1./vecnorm(R1);
    
    % [r R1(:,1)]'的零空间
    R2 = N([r R1(:,1)]');
    R2 = R2./vecnorm(R2);
    
    % [r R1(:,1) R2(:,2)]'的零空间
    R3 = N([r R1(:,1) R2(:,2)]');
    R3 = R3./vecnorm(R3);
    R = [R1(:,1) R2(:,2) R3(:,3)];
    

    由此构建第一节需要的RR

    后记

    这里最后提一下,按照前面这样定义的RR会有什么好的性质。

    首先,自不必说,有,
    r=1n1nrTR=0RTR=In1RRT=Πn r=\frac{1}{\sqrt{n}}\boldsymbol 1_n,\,r^TR=\boldsymbol 0,\,R^TR=I_{n-1},\,RR^T=\Pi_n。
    然后,P=[r,R]P=[r,R]显然是标准正交基组成的矩阵。由于PP满秩,所以
    PTP=PPT=InRTP=[0n1,In1]ΠnP=RRTP=R[0n1,In1]=[0n1,R] P^TP=PP^T=I_n,\,R^TP=[0_{n-1},I_{n-1}],\, \Pi_n P=RR^TP=R[0_{n-1},I_{n-1}]=[0_{n-1},R]。
    下面给出该性质在第一节所看论文中的应用。

    Section 4.1中的应用

    定义图G\mathcal G是强连通平衡图,其拉普拉斯矩阵为LL。现有动力学如下
    v˙=αβLxx˙=αf(x)βLxv \begin{aligned} \dot v&=\alpha\beta Lx,\\ \dot x&=-\alpha\nabla f(x)-\beta Lx-v, \end{aligned}
    其中1nTv=01_n^Tv=0,故也有rTv=0r^Tv=0。令vˉ=αf(xˉ)\bar v=-\alpha\nabla f(\bar x)

    定义坐标变换
    u=vvˉy=xxˉu=Pwy=Pz \begin{aligned} u&=v-\bar v,\,&y &=x-\bar x,\\ u&=Pw,\,&y&=Pz。 \end{aligned}
    由于拉普拉斯矩阵的性质,PTLP=diag(0,RTLR)P^TLP=\operatorname{diag}( 0,R^TLR)。同时,rTPw=rT(vvˉ)=rTvˉr^TPw=r^T(v-\bar v)=r^T\bar vRTPw=w2:nR^TPw=w_{2:n}

    定义h=f(y+xˉ)f(xˉ)h=\nabla f(y+\bar x)-\nabla f(\bar x),有
    w˙1=0w˙2:n=αβRTLRz2:nz˙1=αrThz˙2:n=αRThβRTLRz2:nw2:n \begin{aligned} \dot w_1&=0,\\ \dot w_{2:n}&=\alpha\beta R^TLRz_{2:n},\\ \dot z_1&=-\alpha r^Th,\\ \dot z_{2:n}&=-\alpha R^Th-\beta R^TLRz_{2:n}-w_{2:n}。 \end{aligned}

    Section 5.2中的应用

    z~2:n(t)=z2:n(tk)z2:n(t)=RTP(z(tk)z(t))=RT(x(tk)x(t))\tilde z_{2:n}(t)=z_{2:n}(t_k)-z_{2:n}(t)=R^TP(z(t_k)-z(t))=R^T(x(t_k)-x(t)),则有
    z~2:nT(t)z~2:n(t)=(x(tk)x(t))TRRT(x(tk)x(t))=(x(tk)x(t))TΠ(x(tk)x(t)) \tilde z_{2:n}^T(t)\tilde z_{2:n}(t)=(x(t_k)-x(t))^TRR^T(x(t_k)-x(t))=(x(t_k)-x(t))^T\Pi(x(t_k)-x(t))。
    由于Π\Pi是幂等的,即Π=Π2\Pi=\Pi^2。因此,z~2:n(t)=Π(x(tk)x(t))\|\tilde z_{2:n}(t)\|=\|\Pi(x(t_k)-x(t))\|

    p=[zT,w2:nT]Tp=[z^T,w_{2:n}^T]^T,同样的由于Π\Pi的幂等性,有
    pTp=zTz+w2:nTw2:n=yTPPTy+wPTRRTPw=(xxˉ)T(xxˉ)+(vvˉ)TΠ(vvˉ) p^Tp=z^Tz+w_{2:n}^Tw_{2:n}=y^TPP^Ty+wP^TRR^T Pw=(x-\bar x)^T(x-\bar x)+(v-\bar v)^T\Pi(v-\bar v)
    因此,p=xxˉ2+Π(vvˉ)2\|p\|=\sqrt{\|x-\bar x\|^2+\|\Pi(v-\bar v)\|^2}

    题外话

    此外,简单记录下第一节所看论文的另外一些收获。

    两个定理

    证明收敛性和有界性用到的两个定理3

    Lemma 3.4. (Comparison lemma) Consider the scalar differential equation
    u˙=f(t,u),u(t0)=u0 \dot u=f(t,u),\,u(t_0)=u_0
    where f(t,u)f(t,u) is continuous in tt and locally Lipschitz in uu, for all t0t\geq 0 and all uJRu\in J\subset \mathbb R. Let [t0,T)[t_0,T) (TT could be infinity) be the maximal interval of existence of the solution u(t)u(t) and suppose u(t)Ju(t)\in J for all t[t0,T)t\in[t_0,T). Let v(t)v(t) be a continuous function whose upper right-hand derivative D+v(t)D^+v(t) satisfies the differential inequality
    D+v(t)f(t,v(t)),v(t0)u0, D^+v(t)\leq f(t,v(t)),\,v(t_0)\leq u_0,
    with v(t)Jv(t)\in J for all t[t0,T)t\in[t_0,T). Then, v(t)u(t)v(t)\leq u(t) for all t[t0,T)t\in[t_0,T).

    可以知道,当v˙(t)u˙(t)\dot v(t)\leq \dot u(t)v(t0)u(t0)v(t_0)\leq u(t_0)时,v(t)u(t)v(t)\leq u(t)

    Theorem 4.10. Let x=0x=0 be an equilibrium point for x˙=f(t,x)\dot x=f(t,x) and DRnD\subset \mathbb R^n be a domain containing x=0x=0. Let V:[0,)×DRV:[0,\infty)\times D\to \mathbb R be a continuously differentiable function such that
    k1xαV(t,x)k2xα,Vt+Vxf(t,x)k3xα, \begin{aligned} k_1\|x\|^\alpha\leq V(t,x)&\leq k_2\|x\|^\alpha,\\ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x}f(t,x)&\leq -k_3\|x\|^\alpha, \end{aligned}
    t0\forall t\geq 0 and xD\forall x\in D, where k1k_1, k2k_2, k3k_3, and aa are positive constants. Then, x=0x=0 is exponentially stable. If the assumptions hold globally, then x=0x=0 is globally exponentially stable.

    可以知道,当上述定理中的条件满足时,我们有V˙k3k2V\dot V\leq -\frac{k_3}{k_2}V,即不光指数收敛,且收敛速度不小于k3k2\frac{k_3}{k_2}

    由Lemma 3.4可知,
    V(t,x(t))V(t0,x(t0))e(k3/k2)(tt0) V(t,x(t))\leq V(t_0,x(t_0))e^{-(k_3/k_2)(t-t_0)}。
    因此,
    x(t)[V(t,x(t))k1]1/α[V(t0,x(t0))e(k3/k2)(tt0)k1]1/α[k2x(t0)αe(k3/k2)(tt0)k1]1/α=(k2k1)1/αx(t0)e(k3/k2a)(tt0) \begin{aligned} \|x(t)\|&\leq \left[\frac{V(t,x(t))}{k_1}\right]^{1/\alpha}\leq\left[\frac{V(t_0,x(t_0))e^{-(k_3/k_2)(t-t_0)}}{k_1}\right]^{1/\alpha}\\ &\leq \left[\frac{k_2\|x(t_0)\|^\alpha e^{-(k_3/k_2)(t-t_0)}}{k_1}\right]^{1/\alpha}=\left(\frac{k_2}{k_1}\right)^{1/\alpha}\|x(t_0)\|e^{-(k_3/k_2a)(t-t_0)}。 \end{aligned}

    微分方程求解

    使用Lemma 3.4证明收敛性,本质是把一个复杂的微分方程求解问题,转化成一个相对容易的微分方程来求解。

    第一节所看论文中证明有界性时的一个问题为例。已知
    x˙a(1+x)+b(1+x)2,x(0)=0 \dot x\leq a(1+x)+b(1+x)^2,\,x(0)=0
    现在要证明xx在时间τ\tau内有界ζ\zeta,并求出τ\tau的值。

    应用Lemma 3.4,若存在y˙=a(1+y)+b(1+y)2\dot y=a(1+y)+b(1+y)^2y(0)=0y(0)=0,那么xyx\leq yt0\forall t\geq 0

    分离变量,求解微分方程,参考步骤4如下
    t+C=dt=dya(1+y)+b(1+y)2=dyb(1+y+a2b)2a24b=1bdzz2a24b2,(z=1+y+a2b)=1a(dzza2bdzz+a2b)=1alnza2b1alnz+a2b=1aln1+y1aln1+y+ab \begin{aligned} t+C=\int dt &=\int \frac{dy}{a(1+y)+b(1+y)^2}\\ &=\int \frac{dy}{b\left(1+y+\frac{a}{2b}\right)^2-\frac{a^2}{4b}}\\ &=\frac{1}{b}\int \frac{dz}{z^2-\frac{a^2}{4b^2}} ,\quad \left(z=1+y+\frac{a}{2b}\right)\\ &=\frac{1}{a}\int \left(\frac{dz}{z-\frac{a}{2b}}-\frac{dz}{z+\frac{a}{2b}}\right)\\ &=\frac{1}{a}\ln \left|z-\frac{a}{2b}\right|-\frac{1}{a}\ln \left|z+\frac{a}{2b}\right|\\ &=\frac{1}{a}\ln \left|1+y\right|-\frac{1}{a}\ln \left|1+y+\frac{a}{b}\right| \end{aligned}
    假设y,a,b0y,a,b\geq 0。令y=t=0y=t=0,可得aC=ln(ba+b)aC=\ln (\frac{b}{a+b}),则有
    eat+aC=ba+beat=by+bby+a+b e^{at+aC}=\frac{b}{a+b}e^{at}=\frac{by+b}{by+a+b}
    变换为yy关于tt的函数
    y(t,0)=(a+b)(eat1)beat+a+b y(t,0)=\frac{(a+b)(e^{at}-1)}{-be^{at}+a+b}
    再令y(τ,0)=ζy(\tau,0)=\zeta,得到
    τ=1aln(1+aζa+b(1+ζ)) \tau=\frac{1}{a}\ln\left(1+\frac{a\zeta}{a+b(1+\zeta)}\right)


    1. Kia, S. S., Cortés, J., & Martínez, S. (2015). Distributed convex optimization via continuous-time coordination algorithms with discrete-time communication. In Automatica (Vol. 55, pp. 254–264). Elsevier Ltd. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2015.03.001 ↩︎

    2. Jakob_Hu. 线性代数(14)——正交性、标准正交基和投影. https://blog.csdn.net/Jakob_Hu/article/details/90813435 ↩︎

    3. Khalil, H. K. (2002). Nonlinear systems (3rd ed.). Prentice Hall, ISBN: 0130673897. ↩︎

    4. 积分(反导数)计算器. https://zs.symbolab.com/solver/integral-calculator ↩︎

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