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  • 上面式子中,我们需要准确了解随机变量X总体分布,从而可以计算出其总体的期望和标准差。 但在一般情况下,对总体每一个个体都进行观察或试验是不可能。因此,必须对总体进行抽样观察(采样)。由于我们...

    标准差

    标准差是方差的平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度,标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。平均数相同的两个数据集,标准差未必相同。

    例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70,但A组的标准差应该是17.078分,B组的标准差应该是2.160分,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

     

    总体标准差

    已知随机变量 X 的数学期望为μ缪,标准差为σ西格玛,则其方差为:

    此处σ即为随机变量X的总体标准差

     

    样本标准差

    上面的式子中,我们需要准确的了解随机变量 X的总体分布,从而可以计算出其总体的期望和标准差。

    但在一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试验是不可能的。因此,必须对总体进行抽样观察(采样)。由于我们是利用抽样来对总体的分布进行推断,所以抽样必须是随机的,抽样值

    应视为一组随机变量。由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统计推断,为了使抽取的样本能很好地反映总体信息,必须考虑抽样方法。最常用的一种抽样方法叫作 “简单随机抽样”,得到的样本称为简单随机样本,它要求抽取的样本满足以下两点:

    代表性:抽样值中每一个与所考察的总体有相同的分布。

    独立性:抽样值是相互独立的随机变量。

     

    满足以上两点要求的样本一般被称为独立同分布independent and identically distributed (i.i.d.)样本。

    在概率统计理论中,如果变量序列或者其他随机变量有相同的概率分布,并且互相独立,那么这些随机变量是独立同分布。 在西瓜书中的解释是:输入空间中的所有样本服从一个隐含未知的分布,训练数据所有样本都是独立地从这个分布上采样而得。

    所以在实践中采样得到i.i.d.样本之后,可以用样本方差S平方来近似总体方差σ平方。

    疑问???为什么样本方差的分母是n-1?为什么它又叫做无偏估计?

    答案在这里:https://blog.csdn.net/qq_39521554/article/details/79633207

     

    标准误

    例如:已知某学校有初三学生共200名,这200名学生的平均身高为160cm.我们以这200名初三学生作为总体,欲通过抽样调查来了解所有初三学生的平均身高。现在假定我们共做了10次抽样,每次抽样量都是100人。此时我们可以分别计算出每次抽样样本的身高均数和标准差,可以得到10个均数和标准差。这里10个均数和标准差都是样本统计量,如果我们把10个样本的均数作为原始数据,然后计算这10个值的标准差,那么我们得到的指标就是标准误。

     

    它们针对计算的对象不同。标准差是根据某次抽样的原始数据计算的;而标准误是根据多次抽样的样本统计量(如均数、率等)计算的。理论上,计算标准差只需要一个样本,而计算标准误需要多个样本。

    尽管从理论上来讲,标准误的计算是通过多次抽样的多个样本统计量而获得的,但在实际中仅依靠一次抽样来计算标准误也是可行的。事实上,在绝大多数情况下,我们也别无选择,只能利用一次抽样数据来计算标准误。此时标准误的计算公式为:

    其中,s表示样本标准差,n为样本的例数。不难看出,样本例数越大,标准误越小,即抽样误差越小。

     

    标准差与标准误

    联系:

    二者都是标准差。

    标准误=标准差 / N的根号。标准误差定义为各测量值误差的平方和的平均值的平方根,故又称为均方根误差。

     

    区别:

    标准误是一种误差。

    标准差是对均数的偏离。

    偏离和误差根本不是一个概念。

     

    随机变量的标准差衡量的是该随机变量的离散度。例如:一个样本或者一个population里的个体之间区别有多大。

    标准误即样本均数的标准差,是描述均数抽样分布的离散程度及衡量均数抽样误差大小的尺度,反映的是样本均数之间的变异。标准误不是标准差,是多个样本平均数的标准差。标准误用来衡量抽样误差。

    标准误是样本统计量的标准差,衡量的是抽样分布的离散度,对应的随机变量是样本统计量。比如样本均值的标准误,衡量的就是样本均值的离散度。例如:从一个population 里取样本,样本之间的区别有多大。

     

    标准误越小,表明样本统计量与总体参数的值越接近,样本对总体越有代表性,用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此,标准误是统计推断可靠性的指标。

    标准差:一次抽样中个体分数间的离散程度,反映了个体分数对样本均值的代表性,用于描述统计

    标准误: 多次抽样中样本均值间的离散程度,反映了样本均值对总体均值的代表性,用于推论统计

    标准差是一个描述性指标,只是描述原始数据的波动情况。而标准误是跟统计推断有关的指标。描述性指标推论性指标不是一个概念。

     


    标准差
    标准误
    区别

     1.意义:描述个人观察值变异程度的大小。标准差小, 公卫百科

                    均数对一组观察值的代表性好。

     

    2.应用:与均数结合,用以描述个人观察值的范围,常

     

                   用于医学参考范围的估计。 公卫论坛

    3.与n的关系:n越大,标准差越趋于稳定。

    描述样本均数的变异程度及抽样误差的大小,其实质是 公卫家园

    样本均数的标准差。标准误小,用样本均数推断总体均

     

    数的可能性大 。

     

    与均数结合,用以估计总体均数可能出现的范围以及对 公卫人

    总体均数作假设检验。

    n越大,标准误下降。

     

    联系

         1. 都是描述变异程度的指标

     

        2.  由公式可知,标准差与标准误成正比, 公卫家园

              n一定时,标准差越大,标准误越大 

     

     

    标准差与标准误的变量:

    标准差:描述个体值间的变异(抽样误差),标准差较小,表示观察值围绕均数的波动较小,说明样本均数的代表性就越好。 标 准误:描述样本均数的抽样误差,标准误较小,表示样本均数与总体均数较接近。说明样本均数的可靠性。
    标准差:表示变量值离散程度的大小,结合均数估计参考值范围。 公卫考场
    标准误:表示抽样误差的大小,估计总体均数的可信区间。
    标准差:随样本含量的增多,逐渐趋于稳定
    标准误:随样本含量的增多逐渐减小。
    标准差与标准误都是变异指标,说明个体值之间差异是用标准差,说明样本均数之间差异时用标准误。当样本含量不变时,标准差越大,标准误越大。


     

     

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  • 学习笔记:数字图像处理——图像中噪声分布概率密度函数的关系 ...z表示灰度值,μ表示z的平均值或期望值,σ表示z的标准差标准差的平方为z的方差。 (Z不一定要原图像的范围一致,例如应该...

    学习笔记:数字图像处理——图像中噪声分布概率密度函数的关系

     

    学习的时候,看到各种噪声,高斯、锐利、伽马、均匀等。每个分布有概率密度函数,而这个和噪声有啥具体的连接的关系,我不是很懂,稍微研究了一下,要点如下:

     

    例如下图高斯噪声的概率密度函数:

    z表示灰度值,μ表示z的平均值或期望值,σ表示z的标准差。标准差的平方为z的方差。

     

    Z不一定要和原图像的范围一致,例如应该可以是0-10

     

     

    我理解:噪声本身和图像内容无关。

    假设产生均值为20,标准差为10,大小为256*256

    Noise = 20 + 10*randn(256);

    hist(Noise,100);%直方图

    也就是说,

    这个256*256个点的每一个点的灰度值是20的概率最大,是20之外的其他数值的概率逐渐减小。所以整副噪声图像的出现灰度值为20左右的数量是最多的

    再加到原图像上。

     

    噪声我参考:

    和冈萨雷斯书上一样的

    https://blog.csdn.net/zhougynui/article/details/51764798

    理解噪声的函数和噪声图像的关系 C++

    https://blog.csdn.net/u012936765/article/details/53200918

    Matlab添加噪声,滤波

    https://blog.csdn.net/wulafly/article/details/53225269

    matlab给数字图像加高斯白噪声的几种方法

    https://blog.csdn.net/liuyingying0418/article/details/79432962
    数字图像处理之椒盐噪声和中值滤波 C++

    https://blog.csdn.net/tsfx051435adsl/article/details/78251739

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  • 期望、方差与协方差矩阵

    千次阅读 2020-09-07 10:11:13
    一个随机变量的方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。 方差的性质 方差体现的向量性质 协方差 方差和标准差反应的是一维数据的分布情况,那么如果要处理二维甚至更高维度的数据时该怎么办呢...

    期望

    在这里插入图片描述

    期望的性质

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    条件期望

    在这里插入图片描述

    方差

    一个随机变量的方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。
    在这里插入图片描述

    方差的性质

    在这里插入图片描述

    方差体现的向量性质

    在这里插入图片描述

    协方差

    方差和标准差反应的是一维数据的分布情况,那么如果要处理二维甚至更高维度的数据时该怎么办呢?
    协方差表示的是两个随机变量的关系,首先我们看下它的定义:
    在这里插入图片描述
    协方差表示在多大程序上x和y会共同变化。简单来说就是如果两个随机变量的协方差>0,则两者是正相关的,结果为负值就说明负相关的。如果为0,说明两者是不相关的
    这里特别说明下,如果两个随机变量是相互独立的那么协方差
    cov(X, Y) = cov( Y, X) = E(X, Y ) - uv = E(X) E(Y) - uv = uv- uv = 0
    但是如果cov(X, Y) = 0 并不能说明X, Y相互独立,只能说明两者不相关,这里牵扯到相关系数,不详细说了。
    协方差矩阵
    协方差计算的是两个随机变量间的关系,那么如果有n个随机变量呢,两两计算cov需要计算n^2次,因此用矩阵来表示这个计算就得到协方差矩阵了
    在这里插入图片描述
    from:http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/48788671

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    协方差


    方差和标准差衡量的是一个变量(一组数据)的离散程度,也就是变量和均值之间的偏离程度。
     
    协方差衡量的是两个变量之间的相关性,如:
     
    正相关:两个变量具有相同的变化趋势(也称同方向),要么同时变大,要么同时变小,这时协方差是正的;
     
    负相关:两个变量具有相反的变化趋势(也称反方向),一个变大,另一个变小,这时协方差是负的;
     
    无相关:两个变量没有相关关系,这时协方差为0。
     
    协方差描述的是两个变量是否同时偏离期望值(或均值),偏离的方向相同就是正相关,偏离的方向相反就是负相关。
     
    方差是协方差的一种特殊情况,也就是两个变量完全相同。
     
    协方差的公式定义,期望值(或均值)分别为 E[X] 与 E[Y] 的两个实随机变量 X 与 Y 之间的协方差Cov(X, Y)定义为:
     

    例子:变量A有5个值 [5, 10, 6, 15, 2],变量B有5个值 [6, 9, 7, 10, 3],两个变量的协方差计算如下:
     

    E[A] = (5 + 10 + 6 + 15 + 2) / 5 = 7.6

    E[B] = (6 + 9 + 7 + 10 + 3) / 5 = 7

    A - E[A] = [ -2.6 , 2.4 , -1.6 , 7.4, -5.6 ]

    B - E[B] = [ -1 , 2 , 0 , 3, -4 ]

    (A - E[A]) * (B - E[B]) = [ -2.6 , 2.4 , -1.6 , 7.4, -5.6 ] * [ -1 , 2 , 0 , 3, -4 ] = 52

    Cov(A, B) = E[(A - E[A]) * (B - E[B])] = 52 / 5 = 10.4

    可以看出A和B是正相关关系,但是具体正相关的程度是多少,从协方差中是看不出来的。
     
    如果A和B的量纲(单位)一样,用协方差表示的相关程度还有点作用,但是如果两个变量采用不同的量纲,它们的协方差在数值上具有很大的差异,这就不能用来表示相关程度了。这需要另外一个知识:相关系数。
     
    注意:协方差也可以用向量的知识来描述,如计算出两个向量的内积,为正表示正相关,为负表示负相关,为零表示无相关。
     
     

    相关系数


    下面介绍的是 Pearson 相关系数(皮尔逊相关系数),公式如下:
     

      表示 X 的标准差,  表示 Y 的标准差。
     
    Pearson 相关系数的取值范围是 [-1, 1]:
     
    等于0:表示没有相关关系;
     
    小于0:表示负相关关系,越接近 -1 时表示负相关关系越显著;
     
    大于0:表示正相关关系,越接近 1 时表示正相关关系越显著。
     
    如图:
     

    根据上面的协方差的例子,A的标准差为 4.49,B的标准差为 2.44,得出A和B的相关系数:
     

    ρAB 10.4 / (4.49 * 2.44) =  0.94

    看出A和B是正相关关系,且A和B具有较大的相关程度。
     
    即使两个变量具有不同量纲,但是它们的 Pearson 相关系数始终在[-1, 1]之间,这样就有利于判断两个变量的相关程度了。
     
     
     
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标准差和期望值的关系