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  • 矩阵的逆

    2018-06-13 22:22:00
    2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...

    (1)是否可逆

                 如果所有列向量都独立,也就是任意向量都没法由其他向量表示,那么就是可逆的

     

    (2)逆矩阵求法

             acb951da3884424148345c6cb4b6c80396b.jpg

                 先将矩阵A和单位矩阵E放在一起,对整体做行变换就相当于左乘一个矩阵C

                  因为在转换之后A的位置变为了E,那么就说明C就是A的逆矩阵。

                 同时因为C和E的乘积是D,所以C和D是完全相同的,都是A的逆矩阵。

                 所以最终我们可以通过增广矩阵来求矩阵的逆           

     

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  • 已知一个 M = [ -4,-3,4, 0,2,-2, ...我们首先求出M的标准伴随矩阵: c11 = += 6 c12 = -= -2 c12 =+= -2 c21=-= 9 c22 =+= 1 c23 = -= 13 c31=+= 0 c32=-= -8 c33=+= -8 adjM === = ...

    已知一个

    M = [

    -4,-3,4,

    0,2,-2,

    1,4,-1

    ]

    我们首先求出M的标准伴随矩阵:

    c11 = +\begin{vmatrix} 2 &-1 \\ 4&-1 \end{vmatrix} = 6

    c12 = -\begin{vmatrix} 0 &-2 \\ 1&-1 \end{vmatrix} = -2

    c12 =+\begin{vmatrix} 0 &2 \\ 1&4 \end{vmatrix} = -2

    c21=-\begin{vmatrix} -3 &3 \\ 4&-1 \end{vmatrix} = 9

    c22 =+\begin{vmatrix} -4 &3 \\ 1&-1 \end{vmatrix} = 1

    c23 = -\begin{vmatrix} -4 &-3 \\ 1&4 \end{vmatrix} = 13

    c31=+\begin{vmatrix} -3 &3 \\ 2&-2 \end{vmatrix} = 0

    c32=-\begin{vmatrix} -4&3 \\ 0&-2 \end{vmatrix} = -8

    c33=+\begin{vmatrix} -4 &-3 \\ 0&2 \end{vmatrix} = -8

    adjM = \begin{bmatrix} c11 &c12 &c13 \\ c21& c22 &c23 \\ c31&c32 &c33 \end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix} 6 &-2 &-3 \\ 9& 1 &13 \\ 0&-8 &-8 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} 6 &9 &0 \\ -2& 1 &-8 \\ -2&13 &-8\ \end{bmatrix}

    M^{-1} = adjM / |M|=\begin{bmatrix} -1/4 &-3/8 &0 \\ 1/12& -1/24 &1/3 \\ 1/12&-13/24 &1/3\ \end{bmatrix}

     

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  • 逆的定义 I为单位矩阵 逆的计算方法 代数余子式 标准伴随矩阵 矩阵 矩阵逆的性质 行列式为0脚奇异矩阵 正交矩阵 正交矩阵: 1、每一行都是单位向量 2、 ...

    逆的定义

    在这里插入图片描述
    I为单位矩阵

    逆的计算方法

    代数余子式

    在这里插入图片描述

    标准伴随矩阵

    在这里插入图片描述

    矩阵求逆

    在这里插入图片描述

    矩阵逆的性质

    在这里插入图片描述
    行列式为0的脚奇异矩阵

    正交矩阵和逆

    在这里插入图片描述
    正交矩阵:
    1、每一行都是单位向量
    2、

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  • C#计算矩阵的逆矩阵

    2014-04-24 18:13:00
    2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...

    1.代码思路

    1)对矩阵进行合法性检查:矩阵必须为方阵

    2)计算矩阵行列式的值(Determinant函数)

    3)只有满秩矩阵才有逆矩阵,因此如果行列式的值为0(在代码中以绝对值小于1E-6做判断),则终止函数,报出异常

    4)求出伴随矩阵(AdjointMatrix函数)

    5)逆矩阵各元素即其伴随矩阵各元素除以矩阵行列式的商

    2.函数代码

    (注:本段代码只实现了一个思路,可能并不是该问题的最优解)

    /// <summary>
    /// 求矩阵的逆矩阵
    /// </summary>
    /// <param name="matrix"></param>
    /// <returns></returns>
    public static double[][] InverseMatrix(double[][] matrix)
    {
        //matrix必须为非空
        if (matrix == null || matrix.Length == 0)
        {
            return new double[][] { };
        }
    
        //matrix 必须为方阵
        int len = matrix.Length;
        for (int counter = 0; counter < matrix.Length; counter++)
        {
            if (matrix[counter].Length != len)
            {
                throw new Exception("matrix 必须为方阵");
            }
        }
    
        //计算矩阵行列式的值
        double dDeterminant = Determinant(matrix);
        if (Math.Abs(dDeterminant) <= 1E-6)
        {
            throw new Exception("矩阵不可逆");
        }
    
        //制作一个伴随矩阵大小的矩阵
        double[][] result = AdjointMatrix(matrix);
    
        //矩阵的每项除以矩阵行列式的值,即为所求
        for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix.Length; j++)
            {
                result[i][j] = result[i][j] / dDeterminant;
            }
        }
    
        return result;
    }
    
    /// <summary>
    /// 递归计算行列式的值
    /// </summary>
    /// <param name="matrix">矩阵</param>
    /// <returns></returns>
    public static double Determinant(double[][] matrix)
    {
        //二阶及以下行列式直接计算
        if (matrix.Length == 0) return 0;
        else if (matrix.Length == 1) return matrix[0][0];
        else if (matrix.Length == 2)
        {
            return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
        }
    
        //对第一行使用“加边法”递归计算行列式的值
        double dSum = 0, dSign = 1;
        for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
        {
            double[][] matrixTemp = new double[matrix.Length - 1][];
            for (int count = 0; count < matrix.Length - 1; count++)
            {
                matrixTemp[count] = new double[matrix.Length - 1];
            }
    
            for (int j = 0; j < matrixTemp.Length; j++)
            {
                for (int k = 0; k < matrixTemp.Length; k++)
                {
                    matrixTemp[j][k] = matrix[j + 1][k >= i ? k + 1 : k];
                }
            }
    
            dSum += (matrix[0][i] * dSign * Determinant(matrixTemp));
            dSign = dSign * -1;
        }
    
        return dSum;
    }
    
    /// <summary>
    /// 计算方阵的伴随矩阵
    /// </summary>
    /// <param name="matrix">方阵</param>
    /// <returns></returns>
    public static double[][] AdjointMatrix(double [][] matrix)
    {
        //制作一个伴随矩阵大小的矩阵
        double[][] result = new double[matrix.Length][];
        for (int i = 0; i < result.Length; i++)
        {
            result[i] = new double[matrix[i].Length];
        }
    
        //生成伴随矩阵
        for (int i = 0; i < result.Length; i++)
        {
            for (int j = 0; j < result.Length; j++)
            {
                //存储代数余子式的矩阵(行、列数都比原矩阵少1)
                double[][] temp = new double[result.Length - 1][];
                for (int k = 0; k < result.Length - 1; k++)
                {
                    temp[k] = new double[result[k].Length - 1];
                }
    
                //生成代数余子式
                for (int x = 0; x < temp.Length; x++)
                {
                    for (int y = 0; y < temp.Length; y++)
                    {
                        temp[x][y] = matrix[x < i ? x : x + 1][y < j ? y : y + 1];
                    }
                }
                        
                //Console.WriteLine("代数余子式:");
                //PrintMatrix(temp);
    
                result[j][i] = ((i + j) % 2 == 0 ? 1 : -1) * Determinant(temp);
            }
        }
    
        //Console.WriteLine("伴随矩阵:");
        //PrintMatrix(result);
    
        return result;
    }
    
    /// <summary>
    /// 打印矩阵
    /// </summary>
    /// <param name="matrix">待打印矩阵</param>
    private static void PrintMatrix(double[][] matrix, string title = "")
    {
        //1.标题值为空则不显示标题
        if (!String.IsNullOrWhiteSpace(title))
        {
            Console.WriteLine(title);
        }
    
        //2.打印矩阵
        for (int i = 0; i < matrix.Length; i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix[i].Length; j++)
            {
                Console.Write(matrix[i][j] + "\t");
                //注意不能写为:Console.Write(matrix[i][j] + '\t');
            }
            Console.WriteLine();
        }
    
        //3.空行
        Console.WriteLine();
    }

    3.Main函数调用

    static void Main(string[] args)
    {
        double[][] matrix = new double[][] 
        {
            new double[] { 1, 2, 3 }, 
            new double[] { 2, 2, 1 },
            new double[] { 3, 4, 3 } 
        };
    
        PrintMatrix(matrix, "原矩阵");
        PrintMatrix(AdjointMatrix(matrix), "伴随矩阵");
        Console.WriteLine("行列式的值为:" + Determinant(matrix) + '\n');
        PrintMatrix(InverseMatrix(matrix), "逆矩阵");
    
        Console.ReadLine();
    }

    4.执行结果

    172514_Wtl3_1425762.png

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    2009-12-22 12:18:55
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  • 求转换矩阵的逆矩阵

    2012-06-06 17:03:00
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  • 看过,的确是很好资源,讲得很详细,可以值得借鉴,看看吧!dvdonvSLBn 是疯狂报复手段哦
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