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  • 单纯介绍概念不易理解,所以应从实际应用出发介绍其区别。 四者研究对象和研究目的不同。...定义:标准差是观测值与其平均数偏差平方和平方根,即方差算术平方根。 公式: 公式意义:所有数减去其...

    单纯介绍概念不易理解,所以应从实际应用出发介绍其区别。四者的不同可从研究对象和研究目的进行区分。

    一 区别比较

    1. 方差
      定义:方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义,并有不同的公式。
      (1)统计学
      统计学中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
      (2)概率论
      度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。
      来源
      离均差:即一个样本中的数据与均值之差。将离均差进行改进得到了方差。
      。。。
      补充:
      离均差又是从极差发展而来的。
      极差是最大值-最小值,最初用极差来评价一组数据的离散度。
      因为由两个数据来评判一组数据是不科学的,所以从极差进行改进,改用离均差之和。
      使用离均差不好吗?为什么又设置方差
      (1)为避免出现离均差总和为零,所以对离均差求平方。
      (2)而为避免离均差平方和受样本含量的影响,所以对离均差平方和除以样本数,求平均值。
      这样就得到了方差。
      公式
      (1)统计学
      针对总体数据的公式,其中N是总体数据的数量:
      统计学方差
      这里写图片描述 为总体方差, 这里写图片描述 为变量, 这里写图片描述 为总体均值, 这里写图片描述 为总体数据数量。
      针对样本抽样的公式(日常工作中用):
      S^2= ∑(X- 这里写图片描述) ^2 / (n-1)
      实际工作中,总体均数难以得到时,应用样本统计量(即样本数量)代替总体参数,经校正后,样本方差计算公式如上。除以n-1的原因见自由度(为什么样本方差自由度是n-1)_张之海_CSDN
      其中S^2为样本方差,X为变量,这里写图片描述为样本均值,n为样本例数。
      (2)概率论
      离散型随机变量:
      D(X)=E{[X-E(X)]2}=E(X2) - [ E(X)]^2
      连续型随机变量:
      定义域为(a,b),概率密度函数为f(x),连续型随机变量X方差计算公式:
      D(X)= 这里写图片描述 (x-μ)^2 f(x) dx
      意义
      当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据分布比较集中时,各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动就越小。

    2. 标准差(std —— Standard Deviation)
      别名:均方差(mean square error)、标准偏差、实验标准差。
      定义:标准差是观测值与其平均数偏差的平方和的平方根,即方差的算术平方根。
      公式:
      这里写图片描述
      公式意义:所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数(或个数减一),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差。
      注意:如是总体,标准差公式根号内除以N。如是样本,标准差公式根号内除以(N-1) 。因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(N-1)。
      理论意义
      (1)标准差反映组内个体间的离散程度。
      (2)描述一组数值自平均值分散开来的程度。一个较大的标准差,代表大部分的数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
      (3)标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确。标准差越低,代表实验的数据越精确。
      实际应用
      标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。
      方差、标准差的关系与异同
      (1)两者的关系
      样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
      (2)相同点
      两者都是描述一组(协方差描述两组数据,参考[4])数据的离散程度的。样本方差或样本标准差越大,样本数据的离散程度就越大。
      (3)不同点
      方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
      标准差与方差不同的是,标准差和变量的计算单位相同,比方差清楚,因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
      标准差和均值的量纲(单位)是一致的,在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。比如一个班男生的平均身高是170cm,标准差是10cm,那么方差就是10cm^2。可以进行的比较简便的描述是本班男生身高分布是170±10cm,方差就无法做到这点。

    3. 协方差
      用途:衡量两个变量的总体误差。
      .
      与方差、标准差的不同:协方差表示的是两个变量的总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。
      .
      公式
      这里写图片描述
      这里写图片描述
      从公式中可以看出,协方差是各随机变量与其均数离差之积的均值;如果我们把随机变量与其均数的差值成为“均值化“的随机变量,这么这两个均值化的随机变量应该都具有相同的均值就是0;同时如果二者是相互独立的,那么当X大于其均值的情况下Y应该是有可能大于也有可能小于其均值,这样导致其乘积之和应该为0;也就是说,如果X、Y相互独立,则二者协方差为0。同样可知,如果X、Y线性相关,则其一个大于均值的时候另一个也会大于均值的(因为其均值也是线性相关的)。于是可以看出协方差是判断两个随机变量是否线性相关的很好的物理量。
      特殊情况
      如果X与Y是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0,因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。
      但是,反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0,二者并不一定是统计独立的。(相关有两种:线性相关、非线性相关。Cov(X,Y)等于0,说明X与Y一定不是线性相关,但是X与Y可能是非线性相关(eg:Y = X^2),这样X与Y仍不是相互独立的。)
      .
      协方差与期望、方差的关系
      协方差与方差之间有如下关系:
      D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
      D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
      协方差与期望值有如下关系:
      Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
      .
      协方差与pearson系数的关系
      协方差作为描述X和Y相关程度的量,在同一物理量纲之下有一定的作用,但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。因此才引入了Pearson相关系数。
      这里写图片描述
      若ρXY=0,则X与Y不线性相关。
      即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X,Y)=0,亦即不相关和协方差为零是等价的。
      设ρXY是随机变量X和Y的相关系数,则有
      (1)∣ρXY∣≤1;
      (2)∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1,(a,b为常数,a≠0)

    4. 均方根误差(rmse —— root-mean-square error)
      别名:标准误差、均方根差。
      定义:观测值与真值偏差的平方和,与观测次数n比值的平方根。
      公式
      (1)表示1:√[∑(di^2)/n]
      (2)表示2:S={[(x1-x’1)2+(x2-x’2)2+…(xn-x’n)2]/n}0.5(x’1、x’2…x’n为真实值,n为样本个数)
      理论意义:衡量观测值同真值之间的偏差。
      实际用途:衡量测量精度。
      实际应用:标准误差 对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感,所以,标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。

    5. 平均绝对误差(MAE)
      别名:平均绝对离差
      定义:所有单个观测值与算术平均值的偏差,的绝对值,的平均。
      公式在这里插入图片描述
      理论意义:平均绝对误差可以避免偏差相互抵消的问题。
      实际用途:描述数据离散程度。

    二 离散度形容指标发展历史

    极差、方差和标准差等都是形容离散度的指标。
    离散度
      标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式,是表示精密确的最要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它,但检测方法总是有误差的,所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少,不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的:保证每批实验结果的准确可靠。   
      虽然样本的真实值是不可能知道的,但是每个样本总是会有一个真实值的,不管它究竟是多少。可以想象,一个好的检测方法,其检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如果不紧密,那距真实值的就会大,准确性当然也就不好了,不可能想象离散度大的方法,会测出准确的结果。因此,离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。   
      一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法:
    极差
      最直接也是最简单的方法,即最大值-最小值(也就是极差)来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见,比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。
    离均差的平方和
      由于误差的不可控性,因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实,离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差(我们叫它离均差)加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。   但是由于偶然误差是成正态分布的,离均差有正有负,对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题,在数学有上有两种方法:一种是取绝对值,也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题,数学上最常用的是另一种方法--平方,这样就都成了非负数。因此,离均差的平方和成了评价离散度一个指标。  
    方差(S2)
      由于离均差的平方和与样本个数有关,只能反应相同个数样本的离散度,而实际工作中做比较很难做到样本的个数相同,因此为了消除样本个数的影响,增加可比性,将标准差求平均值,这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好标准。   
      样本量越大越能反映真实的情况,而算数均值却完全忽略了这个问题,对此统计学上早有考虑,在统计学中样本的方差多是除以自由度(n-1),它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时,它不可能再有自由了,所以自由度是n-1。为什么除以n-1呢?请参考:自由度(为什么样本方差自由度是n-1)_张之海_CSDN

    ##参考文献:
    [1] 均方根误差与标准差 — 新浪博客
    [2] 均方根误差 — 百度百科
    [3] 标准误差standard error,均方根误差/中误差(RMSE,root mean squared error)— 新浪博客
    [4] 方差、标准差和协方差三者之间的定义与计算—寻自己—博客园
    [5] 方差—百度百科
    [6]方差、标准差、均方差、均方误差区别总结
    [7] 协方差_百度百科

    展开全文
  • 由于方差单位和原始数据单位不一样,如果原始数据单位是m,那么方差单位就是m^2,这样比较没多大意义。 为了保持单位一致性,我们引入一个新统计量--标准差 公式:o=√(o^2) 这样原始数据和标准...
    我们之前学的标准差,指的是总体标准差,但是在现实中,由于样本数量很大,且都具有随机性,我们不可能得到全部的样本,所以要计算出总体标准差是不现实的。
     
    通常情况下,我们只能从某个事物中进行抽样,然后从抽样样本中估计总体标准差。
     

    总体标准差

     
    公式:
     

    x 为某个样本, 为总体样本的均值,n 为总体样本的数量。
     
     

    样本标准差

     
    公式:
     

    x 为某个抽样样本, 为抽样样本的均值,n 为抽样样本的数量。
     
    可以看出,总体标准差和样本标准差的区别是,一个分母是 n,一个分母是 (n - 1)。
     
    为什么样本标准差的分母是 (n - 1) ?
     
    维基百科的说法是:在统计学中样本的均差多是除以自由度 (n - 1),意思是样本能够自由选择的程度。当选到只剩一个时,它就不可能再有自由了,所以自由度是 (n - 1)。
     
    意思是在抽样完成后,平均值 就已经确定了,在从 n 个样本逐个选取过程中,如果已经选取了 (n - 1) 个样本,那么最后剩下的一个就是能够确定平均值 的样本。也就是如果剩下的样本数大于 1 时,就还有可以挑选的自由,当只剩下一个时,就别无选择了。所以说,n 个样本中,只有 (n - 1) 个样本可以自由变化。
     
    现实中,我们很难获取到全部的样本,因此,要从抽样样本来预估总体样本,也就是要把抽样样本当作总体样本来看待,这时抽样样本的数量就不能是 n ,这里的 n 代表是总体样本数量,这是不能确定的数,而 n 个样本中,可以自由选择的是 (n - 1) 个样本,所以分母是 (n - 1) 。
     
    在机器学习中,分母通常是 n,其实无论分母是 n 还是 (n - 1),对模型的训练并无影响。
     
     

    标准误差

     
    标准误差指的是样本均值的标准差,衡量的是样本均值的离散程度。
     
    因为每一次抽样得到的平均值都是不一样的,需要进行多次抽样后,再用多个样本均值来估计总体均值,那么样本均值的离散程度越大,抽样误差就越大。
     
    所以用标准误差来衡量抽样误差的大小。
     
     
     
    展开全文
  • 探究标准差在误差分布中真正含义,孔璐,何光伟,在实践中计量实测数据随机变量关于标准值离散程度变异指标是真正意义标 准差。而传统的标准差则是随机变量关于平均值离散�
  • 方差、标准差和均方根误差的区别总结

    万次阅读 多人点赞 2017-09-05 20:29:44
    一、方差  方差(variance):是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时...在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。  公式表示:对于一组随机变量或者统计数据,其期望值我们由E(X)表示,即随机变量

    一、方差

            方差(variance):是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

            公式表示:对于一组随机变量或者统计数据,其期望值我们由E(X)表示,即随机变量或统计数据的均值,然后对各个数据与均值的差的平方求和:,最后对它们再求期望值就得到了方差公式。


            这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。



    二、方差与标准差

            根号里的内容就是我们刚提到的方差:

            那么问题来了,既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度,那又搞出来个标准差干什么呢? 原因是:方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。

            举个例子:一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,成绩服从正态分布,那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826,即约等于下图中的34.2%*2 



    三、均方差、均方根误差

            标准差(Standard Deviation),中文环境中又常称均方差,但不同于均方根误差(meansquared error均方根误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数开方,也即误差平方和的平均数开方,计算公式形式上接近标准差,它不开方叫均方误差,均方误差和方差形式上接近),标准差是数据偏离均值的平方和平均后的方根,σ表示,标准差是方差的算术平方根。 

            从上面定义我们可以得到以下几点: 

            1、均方差就是标准差,标准差就是均方差;

            2、均方根误差不同于均方差;

            3、均方根误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数的开方;

            举个例子:我们要测量房间里的温度,很遗憾我们的温度计精度不高,所以就需要测量5次,得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x,数据与真实值的误差e=x-xi 。

            那么均方误差 

            均方根误差的公式一般为:

            总的来说,均方差(标准差)是数据序列与均值的关系,而均方根误差是数据序列与真实值之间的关系。因此,标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差,它们的研究对象和研究目的不同,但是计算过程类似。



    四、均方根值

            均方根值(RMS)也称作为效值,它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。


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  • 方差、标准差、均方误差的总结

    千次阅读 2018-01-24 22:07:06
    方差  百度百科中关于方差解释为:(variance)是在概率论和统计方差衡量随机...在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。  方差是衡量源数据和期望值相差度量值。  假设有一组离散数据xn=[x1

    方差

      百度百科中关于方差的解释为:(variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。
      方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。
      假设有一组离散的数据xn=[x1,x2,x3,x4........xn]xn=[x1,x2,x3,x4........xn]。数据的均值:x¯¯¯=n1xinx¯=∑1nxin,则数据的方差为var=n1(xx¯¯¯)2nvar=∑1n(x−x¯)2n

    标准差

      标准差(Standard Deviation) ,又称为均方差,但是离均差平方的算术平均数的平方根。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据,标准差未必相同。
      标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确。
      而标准差和方差具有开平方的关系,即δ=varδ=var

    均方误差

      均方差与均方误差(mean squared error,MSE)不同,均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数,也即误差平方和的平均数,用σ表示。均方误差可以用在机器学习中的损失函数,用于预测和回归。均方误差的公式为:
    σ=n1(xixi)2nσ=∑1n(xi−xi‘)2n
       最后,三者关系为:
    1、均方差就是标准差,标准差就是均方差
    2、均方误差不同于均方误差
    3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数

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  • 数据中心化和标准化处理

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标准误差的意义