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  • 定义:由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称 m × n矩阵;在编程语言中可以当做二维数组来处理; 加减法:同型矩阵之间 ...转置:把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵

    定义:由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵,简称 m × n矩阵;在编程语言中可以当做二维数组来处理;
    加减法:同型矩阵之间
    乘法:两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵,它们的乘积C是一个m×p矩阵 ;
    转置:把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵;
    详细的运算及原理可以百度一下;
    如下是完整的Java代码实现:

    package algorithm;
    
    public class Matrix {
        public final int TYPE_ADD = 1;
        public final int TYPE_MUL = 2;
    
        /**
         * 矩阵类,实现n阶矩阵的加、乘、转置运算
         * 
         * @param args
         */
        public static void main(String[] args) {
            // TODO Auto-generated method stub
            int[][] a = { { 1, 2 }, { 2, 3 } };
            int[][] b = { { 4, 5 }, { 6, 7 } };
            int[][] aa = new int[][]{{1,0,2},{-1,3,1}};
            int[][] bb = new int[][]{{3,1}, {2,1},{1,0}};
            Matrix m = new Matrix();
    
            System.out.println("两矩阵相加:");
            int[][] r = m.matrix_add(a, b);
            for (int i = 0; i < r.length; i++) {
                for (int j = 0; j < r[i].length; j++) {
                    System.out.print(r[i][j] + "\t");
                }
                System.out.println();
            }
    
            System.out.println("两矩阵相乘:");
            r = m.matrix_mul(aa, bb);
            for (int i = 0; i < r.length; i++) {
                for (int j = 0; j < r[i].length; j++) {
                    System.out.print(r[i][j] + "\t");
                }
                System.out.println();
            }
    
            System.out.println("矩阵转置:");
            r = m.matrix_tran(a);
            for (int i = 0; i < r.length; i++) {
                for (int j = 0; j < r[i].length; j++) {
                    System.out.print(r[i][j] + "\t");
                }
                System.out.println();
            }
    
        }
    
        // 矩阵相加
        public int[][] matrix_add(int[][] a, int[][] b) {
            int[][] c = new int[a.length][a[0].length];
            if (inputLegal(a, b, TYPE_ADD)) {// 只有同型矩阵才能相加
                for (int i = 0; i < a.length; i++) {// i控制行
                    for (int j = 0; j < a[i].length; j++) {// j控制列
                        c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];
                    }
                }
            }
            return c;
        }
    
        // 矩阵相乘
        public int[][] matrix_mul(int[][] a, int[][] b) {
            int[][] d = new int[a.length][b[0].length];
            if (inputLegal(a, b, TYPE_MUL)) {// 两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的行数和另一个矩阵B的列数相等时才能定义
                for (int i = 0; i < a.length; i++) {// 最终结果矩阵为A的行
                    for (int j = 0; j < b[i].length; j++) {// 最终结果矩阵为B的列
                        /*
                         * 罗列系数之后会发现如下规律,a的行标记随i,b的列标记随j,而a的列标记和b的行标记一样,且从0到n,
                         * 其中n为a的列数,故还需要一个变量k来循环控制这个从0到n的标记
                         */
                        int num = 0;
                        for (int k = 0; k < a[i].length; k++) {
                            num += a[i][k] * b[k][j];
                        }
                        d[i][j] = num;
                    }
                }
            }
            return d;
        }
    
        //矩阵转置
        public int[][] matrix_tran (int[][] a) {
            //矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵称为A的转置矩阵
            int[][] e = new int[a[0].length][a.length];
            for (int i = 0; i < a.length; i++) {
                for (int j = 0; j< a[0].length; j++) {
                    e[j][i] = a[i][j];
                }
            }
            return e;
        }
    
        // 矩阵类型校验
        public boolean inputLegal(int[][] a, int[][] b, int type) {
            boolean flag = true;
            if (type == TYPE_ADD) {
                if (a.length != b.length || a[0].length != b[0].length) {
                    flag = false;// 判断是否为同型矩阵
                }
            }
            if (type == TYPE_MUL) {
                if (a.length != b[0].length) {
                    flag = false;// 判断一个矩阵的行与另一个矩阵的列是否相等
                }
            }
            return flag;
        }
    }
    

    期待你的更高效代码!

    展开全文
  • 1、矩阵乘 1) 矩阵乘A*B 是以数学运算中矩阵相乘方式...如A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,它们乘积AB是一个m×p矩阵。 例如: Mat A=Mat::ones(2,3,CV_32FC1); Mat B=Mat::ones(3,2,CV_32FC1); ... AB=A*B; 2) ...

    1、矩阵加

    1) 使用重载的 “+” 运算符

    矩阵的加法是指两个矩阵对于位置的数值相加,使用OpenCv重载的 “+” 运算符,假设两个矩阵都为uchar类型,例如:

    Mat src1 = (Mat_<uchar>(2,3) << 23, 123, 90, 100, 250, 0);
    Mat src2 = (Mat_<uchar>(2,3) << 125, 150, 60, 100, 10, 40);
    Mat dst = src1 + src2;
    

    123+150应该等于273, 因为两个矩阵的类型都是uchar, 所以"+“运算计算出来的和也是uchar类型, 但是uchar类型范围的最大值是255, 所以273限制为了255。

    利用”+“运算符计算计算Mat的和需注意:两个Mat的数据类型必须是一样的, 否则会报错。

    一个数值与一个Mat对象相加, 也可以使用”+"运算符, 但是无论这个数值是什么数据类型, 返回的Mat的数据类型都与输入的Mat相同,且结果是矩阵中的每个元素都与这个数值相加:
    例如:

    float value = 100.0;
    Mat dst1 = src1 + value;
    
    2) 使用add函数
    void add
    (
    	InputArray src1, 
    	InputArray src2, 
    	OutputArray dst, 
    	InputArray mask = noArray(), 
    	int dtype = -1
    );
    

    例如:

    Mat src1 = (Mat_<uchar>(2,3) << 23, 123, 90, 100, 250, 0);
    Mat src2 = (Mat_<uchar>(2,3) << 125, 150, 60, 100, 10, 40);
    Mat dst;
    add(src1, src2, dst, Mat(), CV_64FC1);
    

    使用add函数时, 输入矩阵的数据类型可以不同, 二输出矩阵的数据类型可以根据情况自行指定, 只有当src1src2的数据类型相同时, 才能令dtype = -1, 否则仍然会报错。

    3) 两个向量之间也可以做加法运算
    Vec3f v1 = Vec3f(1, 2, 3);
    Vec3f v2 = Vec3f(10, 1, 12);
    Vec3f v = v1 + v2;
    
    4)线性相加scaleAdd
    C++: void scaleAdd
    (
    	InputArray src1,     // 第一个输入矩阵
    	double alpha,        // 第一个输入矩阵的比例因子
    	InputArray src2,     // 与src1大小和类型相同的第二个输入矩阵。
    	OutputArray dst
    )
    

    它计算一个缩放数组和另一个数组的和:
            dst(I) = alpha * src(I) + src2(I)
    例如:

    scaleAdd(imageA,k,imageB,resultC);
    

    该函数也可以用矩阵表达式模拟,例如:

    Mat A(3, 3, CV_64F);
    ...
    A.row(0) = A.row(1)*2 + A.row(2);
    
    5)两个数组的加权和addWeighted
    C++: void addWeighted
    (
    	InputArray src1,      // 第一个图像矩阵
    	double alpha,         // 第一个数组元素的权重。
    	InputArray src2,      // 与src1大小和通道相同的第二个输入图像矩阵。
    	double beta,          // 第二个数组元素的权值。
    	double gamma,         // 与输入数组具有相同大小和通道数的输出数组。
    	OutputArray dst,      // 每个和加上一个标量。
    	int dtype=-1          // 可选输出阵列深度;当两个输入数组具有相同的
    	                      // 深度时,可以将dtype设置为-1,这将等效于src1.depth()。
    )
    

    该函数可替换为矩阵表达式:
            dst = src1 * alpha + src2 * beta + gamma;
    例如:

    	Mat img1=imread("./a1.jpg");
    	Mat img2=imread("./a2.jpg");
    	Mat dst;
    	addWeighted(img1,0.5,img2,0.3,0,dst);
    

    2、矩阵减

    1)使用重载“-”运算符

    我们可以使用和**"-"**符号进行 矩阵减运算
    例如:

    Mat a= Mat::eye(Size(3,2), CV_32F);  
    Mat b= Mat::ones(Size(3,2), CV_32F); 
    Mat d= a-b;
    
    CSDN图标

    注:如果图像是uchar类型的,144-240不会是 - 96,而是uchar能表示的最小值0

    2)减法函数subtract

    计算两个数组或数组与标量之间的每个元素的差。

    C++: void subtract
    (
    	InputArray src1,           // 第一个输入数组或标量。
    	InputArray src2,           // 第二个输入数组或标量。
    	OutputArray dst,           // 与输入阵列相同大小、相同通道数的输出阵列。
    	InputArray mask=noArray(), // 可选操作面具;这是一个8位的单通道数组,
    	                           // 指定要更改的输出数组的元素。
    	int dtype=-1               // 输出数组的可选深度
    )
    

    例如:

    imshow("img1",img1);
    imshow("img2",img2);
    subtract(img1,img2,dst);    // saturate(img1 - img2)
    							//注意:要求被处理图片尺寸一致
    

    注:图像元素类型是uchar,如果相减小于0,结果值会变成0,如果大于255,变成255。

    3) 元素的绝对差absdiff

    计算两个数组或数组与标量之间的每个元素的绝对差。

    C++: void absdiff
    (
    	InputArray src1,    // 第一个输入数组或标量。
    	InputArray src2,    // 第二个输入数组或标量。
    	OutputArray dst     // 与输入数组具有相同大小和类型的输出数组。
    )
    

             dst = saturate(|src1 - src2|)
    例如:

    imshow("img1",src1);
    imshow("img1",src2);
    Mat dst;
    absdiff(src1, src2, dst);//若dst<0,则dst=|dst|>=0
    

    3、矩阵乘

    1) 矩阵乘A*B

    是以数学运算中矩阵相乘的方式实现的,即Mat矩阵A和B被当做纯粹的矩阵做乘法运算,这就要求A的列数等于B的行数时,才能定义两个矩阵相乘。如Am×n矩阵,Bn×p矩阵,它们的乘积AB是一个m×p矩阵。

    例如:

    Mat A=Mat::ones(2,3,CV_32FC1);
    Mat B=Mat::ones(3,2,CV_32FC1);
    ...
    AB=A*B;
    
    2) 点乘A.dot(B)(与MATLAB的概念有点区别)

    参与点乘的两个Mat矩阵的数据类型(type)只能是 CV_32F、 CV_64FC1、 CV_32FC2、 CV_64FC2 这4种类型中的一种。若选用其他类型,比如CV_8UC1,编译器会报错。

    说明: 对于向量a和向量b:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    a和b的点积公式为:
    在这里插入图片描述

    A.dot(B)操作相当于数学向量运算中的点乘,也叫向量的内积、数量积。 对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 Mat矩阵的dot方法扩展了一维向量的点乘操作,把整个Mat矩阵扩展成一个行(列)向量,之后执行向量的点乘运算,仍然要求参与dot运算的两个Mat矩阵的行列数完全一致

    dot方法声明中显示返回值是double,所以A.dot(B)结果是一个double类型数据,不是Mat矩阵,不能把A.dot(B)结果赋值给Mat矩阵!

    例如:

    Mat A=Mat::ones(2,3,CV_8UC1);
    Mat B=Mat::ones(2,3,CV_8UC1);
    double AB;
    ...
    AB = A.dot(B);
    

    dot操作不对参与运算的矩阵A、B的数据类型做要求,CV_8UC1、CV_32FC1等,可以是任何Opencv定义的类型,如在2中使用的就是CV_8UC1。

    若参与dot运算的两个Mat矩阵是多通道的,则计算结果是所有通道单独计算各自.dot之后,再累计的和,结果仍是一个double类型数据。

    3) 计算两个Mat矩阵对应位的乘积A.mul(B)

    要求参与运算的矩阵A的行列和B的行列数一致。计算结果是跟A或B行列数一致的一个Mat矩阵。
    mul说明:

    1、mul操作不对参与运算的两个矩阵A、B有数据类型上的要求,但要求A,B类型一致,不然报错;
    2、Mat AB=A.mul(B),若声明AB时没有定义AB的数据类型,则默认AB的数据类型跟A和B保存一致;
    3、若AB精度不够,可能产生溢出,溢出的值被置为当前精度下的最大值;

    例如:

    Mat A=Mat::ones(2,3,CV_8UC1);
    Mat B=Mat::ones(2,3,CV_8UC1);
    ...
    Mat AB=A.mul(B);
    
    4) 矩阵与标量相乘

    使用“*”示矩阵与标量相乘;
    例如:

    Mat m1 = Mat::eye(2,3,CV_32FC1);
    ...
    Mat m2 = m1*2;
    

    4、矩阵除

    1)使用重载的 “/” 运算符

    A/B; alpha/A; A/alpha都是点除
    例如:

    Mat src1 = (Mat_<int>(2, 3) << 4, 7, 1, 5, 20, 24);  //2行3列的矩阵
    Mat src2 = (Mat_<int>(2, 3) << 2, 7, 5, 5, 4, 48);  //2行3列的矩阵
    Mat dst1, dst2, dst3;
    dst1 = src1 / 4;
    dst2 = 20 / src1;
    dst3 = src1 / src2;
    cout << "A/alpha:\n" << dst1 << endl << endl;
    cout << "alpha/A:\n" << dst2 << endl << endl;
    cout << "A/B:\n" << dst3 << endl;
    

    输出结果:

    CSDN图标
    2)矩阵除函数 divide

    对一个数组执行两个数组或一个标量的每个元素的除法。

    C++: void divide
    (
    	InputArray src1,     // 第一个输入矩阵
    	InputArray src2,     // 与src1大小和类型相同的第二个输入矩阵。
    	OutputArray dst,     // 与src2大小和类型相同的输出矩阵。
    	double scale=1,      // 标量的因子
    	int dtype=-1         
    )
    

    函数将一个数组除以另一个数组:
             dst = saturate(src1*scale/src2)
    如果没有src1时:
             dst = saturate(scale/src2);
    例如:

    Mat img0 = cv::imread("img_0.jpg", -1);
    Mat img1 = cv::imread("img_1.jpg", -1);
    Mat img2;
    divide(img0, img1, img2, 50, -1);
    

    5、矩阵的转置

    由Mat类t()函数实现矩阵的转置
    例如:

    Mat m1 = Mat::eye(4,6,CV_32FC1);
    ...
    Mat m1t = m1.t();
    

    6、矩阵的逆

    其中inv(A)表示矩阵A的逆矩阵
    例如:

    Mat m1 = Mat::eye(5,5,CV_32FC1);
    ...
    Mat m1inv = m1.inv();
    

    7、矩阵中非零元素个数

    使用 countNonZero() 函数实现物体的像素或面积常需要用到计算矩阵中的非零元素个数
    例如:

    Mat m1 = Mat::eye(6,6,CV_32FC1);
    ...
    int m1num = countNonZero(m1);
    

    8、矩阵中均值和标准差

    OpenCV提供了矩阵均值和标准差计算功能,使用 meanStdDev(src,mean,stddev) 函数实现
    例如:

    Mat m1 = Mat::eye(5,5,CV_32FC1);
    Mat mean,stddev;
    ...
    meanStdDev(m1,mean,stddev);
    .
    .
    .
    Mat m3(Size(5,5),CV_8UC3,Scalar(255,200,100));
    Mat mean3,stddev3;
    ...
    meanStdDev(m3,mean3,stddev3);
    

    注:当src为多通道或多维矩阵时,则函数分别计算不同通道的均值与标准差,因此返回的mean和stddev为对应维度的向量;

    展开全文
  • C#矩阵运算(加减、转置、求逆)   class Matrix ... /// 矩阵的转置 /// &lt;/summary&gt; /// &lt;param name= "iMatrix "&gt; &lt;/param&gt; p...

    C#矩阵运算(加减乘、转置、求逆)

     

    class Matrix
        { 
    
            ///   <summary> 
            ///   矩阵的转置 
            ///   </summary> 
            ///   <param   name= "iMatrix "> </param> 
            public static double[,] Transpose(double[,] iMatrix)
            {
                int row = iMatrix.GetLength(0);
                int column = iMatrix.GetLength(1);
                //double[,] iMatrix = new double[column, row];
                double[,] TempMatrix = new double[row, column];
                double[,] iMatrixT = new double[column, row];
                for (int i = 0; i < row; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < column; j++)
                    {
                        TempMatrix[i, j] = iMatrix[i, j];
                    }
                }
                for (int i = 0; i < column; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < row; j++)
                    {
                        iMatrixT[i, j] = TempMatrix[j, i];
                    }
                }
                return iMatrixT;
    
            }
    
            ///   <summary> 
            ///   矩阵的逆矩阵 
            ///   </summary> 
            ///   <param   name= "iMatrix "> </param> 
            public static double[,] Athwart(double[,] iMatrix)
            {
                int i = 0;
                int row = iMatrix.GetLength(0);
                double[,] MatrixZwei = new double[row, row * 2];
                double[,] iMatrixInv = new double[row, row];
                for (i = 0; i < row; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < row; j++)
                    {
                        MatrixZwei[i, j] = iMatrix[i, j];
                    }
                }
                for (i = 0; i < row; i++)
                {
                    for (int j = row; j < row * 2; j++)
                    {
                        MatrixZwei[i, j] = 0;
                        if (i + row == j)
                            MatrixZwei[i, j] = 1;
                    }
                }
    
                for (i = 0; i < row; i++)
                {
                    if (MatrixZwei[i, i] != 0)
                    {
                        double intTemp = MatrixZwei[i, i];
                        for (int j = 0; j < row * 2; j++)
                        {
                            MatrixZwei[i, j] = MatrixZwei[i, j] / intTemp;
                        }
                    }
                    for (int j = 0; j < row; j++)
                    {
                        if (j == i)
                            continue;
                        double intTemp = MatrixZwei[j, i];
                        for (int k = 0; k < row * 2; k++)
                        {
                            MatrixZwei[j, k] = MatrixZwei[j, k] - MatrixZwei[i, k] * intTemp;
                        }
                    }
                }
    
                for (i = 0; i < row; i++)
                {
                    for (int j = 0; j < row; j++)
                    {
                        iMatrixInv[i, j] = MatrixZwei[i, j + row];
                    }
                }
                return iMatrixInv;
            }
    
            ///   <summary> 
            ///   矩阵加法 
            ///   </summary> 
            ///   <param   name= "MatrixEin "> </param> 
            ///   <param   name= "MatrixZwei "> </param> 
            public static double[,] AddMatrix(double[,] MatrixEin, double[,] MatrixZwei)
            {
                double[,] MatrixResult = new double[MatrixEin.GetLength(0), MatrixZwei.GetLength(1)];
                for (int i = 0; i < MatrixEin.GetLength(0); i++)
                    for (int j = 0; j < MatrixZwei.GetLength(1); j++)
                        MatrixResult[i, j] = MatrixEin[i, j] + MatrixZwei[i, j];
                return MatrixResult;
            }
    
            ///   <summary> 
            ///   矩阵减法 
            ///   </summary> 
            ///   <param   name= "MatrixEin "> </param> 
            ///   <param   name= "MatrixZwei "> </param> 
            public static double[,] SubMatrix(double[,] MatrixEin, double[,] MatrixZwei)
            {
                double[,] MatrixResult = new double[MatrixEin.GetLength(0), MatrixZwei.GetLength(1)];
                for (int i = 0; i < MatrixEin.GetLength(0); i++)
                    for (int j = 0; j < MatrixZwei.GetLength(1); j++)
                        MatrixResult[i, j] = MatrixEin[i, j] - MatrixZwei[i, j];
                return MatrixResult;
            }
    
            ///   <summary> 
            ///   矩阵乘法 
            ///   </summary> 
            ///   <param   name= "MatrixEin "> </param> 
            ///   <param   name= "MatrixZwei "> </param> 
            public static double[,] MultiplyMatrix(double[,] MatrixEin, double[,] MatrixZwei)
            {
                double[,] MatrixResult = new double[MatrixEin.GetLength(0), MatrixZwei.GetLength(1)];
                for (int i = 0; i < MatrixEin.GetLength(0); i++)
                {
                    for (int j = 0; j < MatrixZwei.GetLength(1); j++)
                    {
                        for (int k = 0; k < MatrixEin.GetLength(1); k++)
                        {
                            MatrixResult[i, j] += MatrixEin[i, k] * MatrixZwei[k, j];
                        }
                    }
                }
                return MatrixResult;
            }
    
            ///   <summary> 
            ///   矩阵对应行列式的值 
            ///   </summary> 
            ///   <param   name= "MatrixEin "> </param> 
            ///   <returns> </returns> 
            public static double ResultDeterminant(double[,] MatrixEin)
            {
                return MatrixEin[0, 0] * MatrixEin[1, 1] * MatrixEin[2, 2] + MatrixEin[0, 1] * MatrixEin[1, 2] * MatrixEin[2, 0] + MatrixEin[0, 2] * MatrixEin[1, 0] * MatrixEin[2, 1]
                - MatrixEin[0, 2] * MatrixEin[1, 1] * MatrixEin[2, 0] - MatrixEin[0, 1] * MatrixEin[1, 0] * MatrixEin[2, 2] - MatrixEin[0, 0] * MatrixEin[1, 2] * MatrixEin[2, 1];
    
            }
    
    
    
        }

     

    展开全文
  • 特征值相同两个矩阵是否相似

    万次阅读 2019-09-02 11:26:03
    两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘AP等于B,二者合同。 特殊考虑情况 对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量必定正交 存在正交矩阵Q-1AQ=B,使A和B相似 Q-1等价于Q的转置 所以A和B合同。 合同、等价和...

    相似的两个条件

    • 特征值相同
    • 均可对角化

    特征值相同而且均可对角化 的话,不就都可以对角化为一个对角矩阵(对角元为特征值) A~B C~B 则A~C

    在这里插入图片描述

    合同的条件

    两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘A乘P等于B,二者合同。

    特殊考虑情况

    对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量必定正交

    存在正交矩阵Q-1AQ=B,使A和B相似
    Q-1等价于Q的转置
    所以A和B合同。

    合同、等价和相似的区别

    1.矩阵相似的例子中,P-1AP=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是二者有相等的不变因子;可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵;矩阵相似必等价,但等价不一定相似。

    1. 矩阵合同的例子中,CTAC=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是秩相等且正惯性指数相等,即标准型相同;可通过二次型的非退化的线性替换来理解;矩阵合同必等价,但等价不一定合同。

    正交矩阵

    1、方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

    2、方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

    3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

    4、A的列向量组也是正交单位向量组;

    5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

    特征向量正交化

    因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量,特征向量是对应齐次线性方程组的解,所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价,所以仍是特征向量,由此可知单位化后也是特征向量。

    当同一个特征值a是两个基础解系的线性组合时,说明对于这个线性组合的任意向量都是收缩a倍

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