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  • NZQR 分别代表什么

    千次阅读 2019-07-27 18:29:16
    Z表示集合中的整数集:Z={…,-2,-1,0,1,2,…} N表示集合中的自然数集:N={1,2,3,…} Q表示有理数集:Q={ab∣a∈Z,b∈N\frac{a}{b}|a\in Z,b\in Nba​∣a∈Z,b∈N} R表示实数集 R+R^{+}R+表示非负实数集 ...

    N表示集合中的自然数集:N={1,2,3,…}
    Z表示集合中的整数集:Z={…,-2,-1,0,1,2,…}
    Q表示有理数集:Q={abaZ,bN\frac{a}{b}|a\in Z,b\in N}
    R表示实数集
    R+R^{+}表示非负实数集

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  • 列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来 描述法:用谓词P(x)表示x具有性质P,用{x|P(x)}表示具有性质P的集合 注意事项:集合中的元素是各不相同的 ​ 集合中的元素不规定...

    一、集合的表示

    • 列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来

    • 描述法:用谓词P(x)表示x具有性质P,用{x|P(x)}表示具有性质P的集合

    • 注意事项:集合中的元素是各不相同的

      ​ 集合中的元素不规定顺序

      ​ 集合的两种表示法可以互相转化

    • 常用的数集合:自然数集合N;整数集合Z;有理数集合Q;实数集合R;复数集合C

    二、集合之间的关系

    1、子集

    • 设A,B为两集合,若B中的元素都是A中的元素,自称B是A的子集,也成A包含B,或B包含于A,记作B⊆A,其符号化形式为B⊆A⟺∀x(x∈B→x∈A)。

    2、相等

    • 设A,B为两集合,若A包含B且B包含A,则称A与B相等,记作A=B,即A=B⟺∀x(x∈B↔x∈A)

    3、真子集

    • 设A,B为两集合,若A为B的子集且A≠B,则称A为B的真子集,或称B真包含A,记作A⊂ B,即A⊂ B⟺A⊆B∧A≠B

    4、空集

    • 不拥有任何元素的集合称为空集合,简称为空集,记作Φ
    • 空集是一切集合的子集
    • 空集是唯一的,是最小的集合

    5、全集

    • 如果限定所讨论的集合都是某个集合的子集,则称该集合为全集,记作E
    • 全集不唯一

    6、幂集

    • 设A为一个集合,称由A的全体子集组成的集合为A的幂集,记作P(A) 描述为P(A)={x|x⊆A}

    • 集合的元素个数

      • 规定:Φ为0元集,含1个元素的集合为单元集或1元集,含两个元素的集合为2元集,…,含n个元素的集合为n 元集(n≥1)。用|A|表示集合A中的元素个数,当A中的元素个数为有限数是,A为有穷集或有限集
      • 设集合A的元素个数|A|=n,则|P(A)|=2^n

    7、集族

    • 除了P(A)外,还有其他形式的由集合构成的集合,统称为集族。若集族中的集合都赋予记号,则可得带指标集的集族
    • 设δ为一个集族,S为一个集合,若对于任意的α∈S,存在唯一的Aα∈δ与之对应,而且δ中的任意集合都对应S中的某一个元素,则称δ是以S为指标集的集族,S称为δ的指标集。记为δ={Aα|α∈S},或δ={Aα}α∈S
    • 如果把Φ看成集族,则称Φ为空集族

    8、多重集

    • 设全集为E,E中元素可以不止一次在A中出现的集合A称为多重集。若E中元素a在A中出现k次(k≥0),则称a在A中重复度为k
    • 集合可看作重复度均小于等于1的多重集

    三、集合的运算

    1、并集

    • 设A,B为两集合,称由A和B的所有元素组成的集合为A与B的并集,记作A∪B,称∪为并元算符,描述为A∪B={x|x∈A∨x∈B}

    2、交集

    • 设A,B为两集合,称由A和B的公共元素组成的集合为A与B的交集,记作A∩B,称∩为并元算符,描述为A∩B={x|x∈A∧x∈B}

    3、不相交

    • 设A,B为两集合,若A∩B=Φ,则称A和B是不交的
    • 设A1,A2,…是可数多个集合,若对于任意的i≠j,都有Ai∩Aj=Φ,则称是互不相交的
    • 设An={x∈R|n-1<x<n},n=1,2,…,则A1,A2,…是互不相交的

    4、相对补集

    • 设A,B为两集合,称属于A而不属于B的全体元素组成的集合为B对A的相对补集,记作A-B

    5、对称差

    • 设A,B为两集合,称属于A二不属于B,或属于B而不属于A的全体元素组成的集合为A与B的对称差,记作A⊕B

    6、绝对补集

    • 设E为全集,A⊆E,称A对E的相对补集为A的绝对补集,记作~A

    集合运算的优先级

    • 第一类:绝对补、幂集、广义交、广义并

      ​ 第一类运算按照从右向左的顺序运算

    • 第二类:初级并、初级交、想对补、对称差

      ​ 第二类运算按照括号决定的顺序运算,多个括号并排或没有括号的部分按照从左向右的顺序运算

    四、基本的集合恒等式

    设E是全集,A,B,C为E的任意子集

    • 幂等律 A∪A=A,A∩A=A
    • 交换律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
    • 结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
    • 分配律 A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∩C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
    • 零率 A∪E=E,A∩Φ=Φ
    • 同一律 A∪Φ=A,A∩E=A
    • 排中律 A∪┐A=E
    • 矛盾律 A∩┐A=Φ
    • 补交转换律 A-B=A∩┐B
    • 德摩根律 ┐(∪{Aα}α∈s)=∩(┐Aα
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  • **常用集合:**自然数集合N,整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R **集合表示方法:**枚举法,叙述法,文氏图法 **基数:**集合中元素的数量,若基数是有限的,称为有限集,否则称为无限集 **全集:**针对特定的研究...

    集合论

    集合: 由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成,每个对象成为集合的元素
    常用集合: 自然数集合N,整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R
    集合表示方法: 枚举法,叙述法,文氏图法
    基数: 集合中元素的数量,若基数是有限的,称为有限集,否则称为无限集
    全集: 针对特定的研究范围,所有对象的集合
    【注】 集合中的元素是无序的,不同的
    外延性定理: 两个集合相等,当且仅当它们的元素完全相同
    子集: 如果B中的每个元素都是A中的元素,则称B是A的子集,若A≠B,则称B是A的真子集
    集合相等证明: A包含于B且B包含于A
    幂集: A的所有子集构成的集合叫做A的幂集。记做P(A)={x|x∈A}
    等势: 若A,B之间存在一种一一对应的关系,则称A和B等势,记做A∽B
    可数集合: A与自然数集合N等势,称为可数集合,记做阿列夫零
    不可数集合: 开区间(0,1)称为不可数集合,凡与开区间(0,1)等势的集合称为不可数集合,记为阿列夫

    数理逻辑

    命题逻辑

    概念: 用数学的方法研究逻辑推理的规律
    命题: 具有确切真值的陈述句
    【注】 推理的前提和结论都是命题,命题是推理的基本单位
    复合命题: 可以分解为简单命题的命题
    联结词: 否定,合取,析取,蕴含,等价
    命题变量(命题变元): 一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题
    命题公式: ① 命题变元本身是公式
    ②若G是公式,则非G也是公式
    ③若G,H是公式,则包含联结词的G,H也是公式
    仅有有限步使用以上规则后得到的包含命题变元,联结词和括号的符号串才是命题公式
    解释: 指定公式中所有命题变元的真值
    永真公式: 公式G在所有解释下真值都为真,又称为重言式
    永假公式: 公式G在所有解释下真值都为假,又称矛盾式
    可满足式: 不是永假式的公式
    等价公式: 设A和B是两个命题公式,设P1,P2,…,Pn是所有出现于A和B中的原子变元,若给定P1,P2,…,Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则称A和B是等值的或者等价的,记为A<=>B
    等价置换: 将公式A替换为等价的公式B
    蕴含式: 设A和B是命题公式,若A->B是永真式,则称A蕴含B
    联结词完备集: 设S是一个联结词集,如果任何n(n≥1)个变元组成的公式,都可以由S中的联结词来表示,则称S是联结词完备集
    文字: 命题变元或者命题变元的否定
    子句: 有限个文字的析取
    短语: 有限个文字的合取
    析取范式: 有限个短语的析取式
    合取范式: 有限个子句的合取式
    范式存在定理: 对于任意命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式
    极小项: 含n个命题变元的短语中,若每个命题变元与其否定不同时存在,但二者之一恰好出现一次,并且出现的次序与P1,P2,…,Pn一致
    极大项: 含n个命题变元的子句中,若。。。
    【注】 极小项只有一组成真赋值,极大项只有一组成假赋值
    主析取范式: 给定的析取范式中,每个短语都是极小项,且按编码从小到大的顺序排列
    主合取范式: 给定的合取范式中,每个子句都是极大项,且按照编码从小到大的顺序排列
    【注】 任何一个公式都有与之等价的主析取范式和主合取范式
    永真公式: 主析取范式包含所有的极小项
    永假公式: 主合取范式包含所有的极大项
    推理: 从一组前提合乎逻辑的推出结论的思维过程
    规则P: 在推导过程中,可随时引入前提集合中的任意一个前提
    规则T: 在推导的过程中,可以随时引入公式S,该公式S是由其前的一个或多个公式推导出来的逻辑结果
    规则CP: 如果能从给定的前提集合F与公式P推导出S,则能从此前提集合F推导出P->S
    演绎: 从前提集合F推出结论H的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列H1,H2,…,Hn-1,Hn
    其中,Hi或者是F中的某个前提,或者是前面某些Hj的有效结论,并且Hn就是H,而称公式H为该演绎的有效结论,或者称从前提F能够演绎出结论H来
    演绎方法: 直接证明法,规则CP证明法,间接证明法(反证法,归谬法)

    谓词逻辑

    概念: 为了研究简单命题句子内部的逻辑关系,我们需要对简单命题进行分解,利用个体词,谓词和量词来描述它们,并研究个体和总体的内在联系和数量关系。
    个体词: 在原子命题中,可以独立存在的客体
    谓词: 用以刻画客体的性质或客体之间的关系
    n元谓词: 设D为非空的个体域,定义在Dn上取值{0,1}的n元函数,记为P(x1,x2,…,xn)
    0元谓词: 一般将没有任何个体变量的谓词称为0元谓词
    全称量词: 所有的,一切
    存在量词: 存在
    项: ①任意的常量符号或者变量符号是项
    ② 若f(x1,x2,…,xn)是n元函数符号,t1,t2,…,tn是项,则f(t1,t2,…,tn)是项
    仅由有限次使用以上两个规则产生的符号串才是项
    原子公式: 若P(x1,x2,…,xn)是n元谓词,t1,t2,…,tn是项,则P(t1,t2,…,tn)是原子谓词公式
    合式公式: ①原子公式是合式公式
    ②若G,H是合式公式,则包含联结词的G,H是合式公式
    ③若G是合式公式,x是个体变量,则包含量词的公式G是合式公式
    由有限次使用以上三个规则产生的表达式才是合式公式
    约束变元: 给定一个合式公式G,若变元x出现在使用变元的量词的辖域之内,则称变元x的出现为约束出现
    自由变元: 若x的出现不是约束出现,则称它是自由出现
    闭式: 设G是任意一个公式,若G中无自由变元,则称G是封闭的合式公式,闭式是一个命题
    前束范式: 如果G中的一切量词都位于该公式的最前端(不含否定词),且这些量词的辖域都延伸到公式的末端

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  • 离散数学考前复习:(一)集合、整数、序列、矩阵 1. 1集合 元素与集合直接存在属于关系...基数:若A为集合集合A恰有n个不同的元素,n是非负整数,则A为有限集,称n是A的基数,记为|A|=n。含有n个元素的集...

    离散数学考前复习:(一)集合、整数、序列、矩阵

    1. 1集合

    • 元素集合直接存在属于关系或不属于关系。

    • 集合的表示方法:枚举法、特征法、递归法

    • 常用集合符号
      ∅:空集
      N:自然数集合
      Z:整数集合
      N*:正整数集合
      Q:有理数集合
      R:实数集合
      C:复数集合

    • 基数:若A为集合,集合A中恰有n个不同的元素,n是非负整数,则A为有限集,称n是A的基数,记为|A|=n。含有n个元素的集合为n元集。

    • 幂集:设A为集合,A的全体子集构成的合集为A的幂集,记为P(A)或2^A,符号化为P(A)={x|x⊆A}。

    • 集合的运算:并运算、交运算、差运算(只把AB两个集合都有的元素在A中除去)、对称差运算(⊕)

    • 集合运算的主要算律:
      德摩根律
      吸收律

    • 笛卡儿积:设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积,记作AxB。笛卡尔积的符号化为:AxB={<x,y>|x∈A∧y∈B}

    • 位运算
      与(and &)相同位的两个数字都为1,则为1;若有一个不为1,则为0。
      或(or |)相同位只要一个为1即为1。
      异或(xor ^)相同位不同则为1,相同则为0。

    1.2 整数

    • 定理:
      if a|b且a|c,则a|(b+c)
      if a|b且a|c,且b>c,则a|(b-c)
      if a|b或a|c,则a|(bc)
      if a|b且b|c,则a|c
      if a|b且a|c,则a|(mb+nc)(m,n为整数)

    • 算术基本定理:任一大于1的自然数都可分解成若干质因数的连乘积,如果不计各质因数的顺序,这种分解是唯一的。

    • 推:如果n是合数,那么它必有一个小于或等于√n的素因子(素数判断)

    • 最大公约数gcd and 最小公倍数lcm

    • gcd(a,b)=1,a,b互素

    • 最大公因子判断:
      (1)d|a且d|b
      (2)任何c,如果c|a且c|b
      则c|d

    • gcd(a,b)× lcm(a,b)=a×b

    • 欧几里得算法:推论:令a=qb+r,其中a,b,q,r为整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r)

    • 模运算

    1.3 序列

    • 增序列:对于任意n,存在Sn≤S(n+1)
    • 减序列:对于任意n,存在Sn≥S(n+1)
    • 子序列:一个给定序列的子序列是从给定序列中去除一些元素,而不改变其他元素之间相对位置而得到的。
    • 序列求和
    • 递推

    1.4 矩阵

    • 对角矩阵:非对角线元素为零,记为diag[a11,a22,…,a nn]
    • 矩阵运算(主要是乘法)
      在这里插入图片描述
    • 单位矩阵:对角线为1其他全为0的对角矩阵,记为I
    • Im×A=A×In=A
    • A^m × A^n =A^(m+n)
    • (A^m) ^n =A^mn
    • 布尔矩阵:所有元素都为0或1
    • 布尔积运算

    主要整理了一下细节,好吧好像有点小多,有的比较熟的就没弄上去,跪求期末不挂,还剩几章,加油ヾ(◍°∇°◍)ノ゙)

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  • 古典密码集合

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  • N自然数集合Z整数集合Q有理数集合R实数集合集合A的元素个数成为集合的基数(base number),基数有限则称为有限集(finite set),否则称为无限集(infinite set)。 A={a,b,c},|A|=3; B={a,{b,c}},|B|=2...
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