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  • 我们上节课了解了根轨迹是什么东西,学到了怎么去判断一个点是不是根轨迹上的点 但怎么去画根轨迹没有提及,这次我们说说绘制根轨迹的法则

    我们上节课了解了根轨迹是什么东西,学到了怎么去判断一个点是不是根轨迹上的点
    但怎么去画根轨迹没有提及,这次我们说说绘制根轨迹的法则

    法则一:起点终点

    根轨迹起点: 开环极点
    根轨迹终点: 开环零点
    如果极点数n>零点数m  则有n-m个根轨迹指向无穷
    

    说的玄乎,实际上起点就是 k’ = 0的时候,终点就是 k’ = ∞的时候

    证明:
    前面提过的根轨迹上点的模值条件:|开环传递函数| = 1 = k’ ×(∏ x-开环零点/∏ x-开环极点)

    ==》k’ = ∏(x - 开环极点)/∏(x - 开环零点) = s(n-m) * ∏(1 - 开环极点/s)/∏(1 - 开环零点/s)

    k’ = 0 ====》 x = 开环极点
    k’ = ∞ ====》x = 开环零点 or x = ∞

    从而,我们得到,根轨迹的起点都是开环极点,终点是开环零点或者无穷远处

    法则二:根轨迹分支数,对称性和连续性

    根轨迹分支数 = 开环极点数/特征方程的阶数
    根轨迹连续
    根轨迹对称于实轴
    

    法则三,实轴上的根轨迹

    这个点的右边的极点或零点个数 为 基数,则这个点是根轨迹上的点
    由此得到,从最右向左,每个奇数点和偶数点之间的那一段为根轨迹。否则不是
    (极点零点都看成点,不区别对待)
    

    证明:
    在这里插入图片描述
    对于这样一个一般情况的图,我们去分析
    思路:在某一段线上取一个点,通过前面的方法去判断这个点在不在根轨迹上来看这个线段是不是根轨迹

    证:就像图中画得那样,我们可以看到零点极点如果不是在实轴上,那必然是一堆共轭复根,对于共轭复根,我们根据相角原理,s-p,s-z,发现,每一对共额府根的相角和为360度,这个就告诉了我们,共轭复根对于在实轴上的点的判断是没有影响的,关键还是在于看实轴上的点对于该点的影响。

    假设我们取一个点,其右边一共有极点零点 x个,左边的点若干
    由于左边的点指向我们待测点相角为0,显然也是不影响的
    右边的每个点到待测点相角为180度,x个点,如果x是奇数,那一定是(2k+1)pai,表明成立,否则不成立,如图所示,画出红线的部分显然就是根轨迹的部分

    法则四:根之和

    在  n - m >= 2 的时候,闭环函数所有的根的和为常数
    

    证明思路: 由代数定理
    对于(s-a1)(s-a2)(s-a3)…(s-an) = sn +x n-1 sn-1 +…+x0
    a1+a2+…+an = - x n-1 (n-1是下标)这里我们不多说这个定理,不相信的同学代值算算就能看出点门道来,数学归纳法也许可以证?

    下面对这个法则进行证明:
    首先 对于开环传递函数,其特征式为开环的分母,
    利用上面的定理,得到开环的极点之和为常数 a(n-1) 。a(n-1是给定值)
    矛头指向闭环传递函数,他的特征式为开环传递函数的分子加上分母.
    由于限制条件n-m<=2,发现分子加分母之后的特征式没有对第二项a(n-1) s^n-1造成影响
    由此继续利用上述公式推出,闭环函数所有的根之和为 常数 a(n-1)。

    由此法则我们可以知道,当闭环函数的某个根变化时,必然会有与之对应的另外一个根变化,使他们的和不变

    5.渐近线

    有法则1我们得到,存在终点是无穷的根轨迹,那这个法则就对这n-m条根轨迹给出规律

    渐近线和实轴交点σ: (极点之和 - 零点之和)/n-m
    渐近线和实轴正方向夹角: (2k+1)π/n-m
    

    证明: 首先 -k’= ∏(s-p)/ ∏(s-z) (极点/零点) = (s-σ)n-m (因为假设根轨迹上点很远,所以这里吧所有的点都看作σ点) = sn-m+ (n-m)σ sn-m-1
    前面提过,所有的点的和等于第二项系数的负。所以我们把-k’化简在这里插入图片描述
    然后利用长出除法:
    在这里插入图片描述

    对照我们上面得到的另外一个式子,令第二项相等,得到σ的表达式:
    σ(n-m)=(∑p)-(∑z) (极点和-零点和) ,得到第一个公式

    下面说角度公式:
    同理将所有点看成在一个位置:(2k+1)π = ∑角(s-z)-∑角(s-z) = nψ -mψ = (n-m)ψ
    就此第二个公式得到

    这个法则用在确定n-m条通往无穷的线,计算出交点和角度,就能确定这条线的渐近线

    根据渐进线确定根轨迹方程也有需要注意的点
    在这里插入图片描述
    例如这个,渐近线已确定,就是那条虚线:

    1.0和-1之间的会和点应该怎么定性确定?
    		-4 ----》-2  向右,如果-1和0在-0.5相遇,就会抵消,显然根据根之和我们不能答应
    		所以我们选择相遇点偏左,这样相遇时还能有个差向左,不影响-4 =》-2
    2.画图:根据根之和确定大致形状
    		不越过渐近线(因为-4=》-2不能越过-2)
    		不画出波浪形(因为-1=》-2不能来回波动)
    		老老实实画一个平滑的单调曲线
    

    例如这里问当我们两个点实部是-1的时候,右边的点在哪里?
    答:
    方法一:-3 我们根据距离渐近线的距离来计算 显然还有0.5×2 到达目标,那-4=》-2 也还差1,就是-3
    方法二:看开环函数的极点,相加取反之后应该等与 -5,现在我们是-1-1 = -2,还差 -3,所以答案 -3

    6.分离点

    我们刚才定性的确定了分离点靠近哪边,但是显然达不到要求,现在我们看看分离点的算法
    在这里插入图片描述
    无零点时右边为0!!!

    解出d就是分离点,这里不证明了,记一下吧(我没证过但我觉得满足根之和应该是一个列方程的办法(滑稽))
    一般不是那么容易解出来,我们可以试根,上面知道了定性判断的方法,确定了区间试出来应该不是特别麻烦,一般近似

    7.求根轨迹和虚轴交点

    遇到那种渐近线偏着,导致根轨迹会和虚轴相交的情况,求出交点更能帮助画轨迹线

    方法一:
    	根轨迹和虚轴交点,实际上就是临界稳定点
    	所以得到解法:1.写闭环函数,得到特征式
    				  2.画出劳斯表
    				  3.劳斯表第一列出现全零行,求出K'	
    				  4.用上面一行写出辅助方程,得到的根就是交点了
    方法二:
    	向特征式中用(jw)代替 S,分离出实部虚部都 = 0
    	解出w 和K' 的值,就是交点
    

    给个例题结合法则567

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述8.出射角入射角

    就是我们前面常说的相角条件
    在这里插入图片描述给个例题,这儿不说了,就是一个算根轨迹曲线的刚开始的入射角度和到达时候的出射角度来确定曲线

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    下面介绍一个定理:


    系统两个开环极点,一个开环零点,并且在复平面存在根轨迹
    那复平面的根轨迹一定是以零点为圆心的圆
    

    以开环函数在这里插入图片描述为例来说这个定理

    证明:这个开环传递函数满足条件,极点 0,-1,零点 -2
    写出他的特征式子即根轨迹方程 :k’(S+2)+S(S+1) = S2 +( 1+k’)S +2k’ = 0;
    我们可以写出他的两个根:
    在这里插入图片描述
    那我们下面要做的事情很显然,我们的目的是求出轨迹曲线方程,现在极点的横纵坐标都可以用K’表示,那我们显然可以写出曲线方程了
    在这里插入图片描述
    至此我们成功证明了定理,所用例题的轨迹图如下
    在这里插入图片描述 通过这个图我们可以分析一下系统动态性能指标

    1.从极点出发到实轴的分离点:
    	因为两个极点在实轴上,所以过阻尼系统,超调量为0,因为主极点远离虚轴,所以调节时间变小
    2.圆环部分:
    	得到是欠阻尼系统,从前面学习二阶性能的时候得到的公式:
    	1.超调量先变大(相切)再变小     cos beta = 超调量
    	2.两个根离开虚轴,调节时间变小
    3.到了实轴,又变成过阻尼的状态了:
    	过阻尼系统,超调量为0,又因为主极点靠近了零点,所以抵消,调节时间变小
    

    系统是否稳定的判断


    根轨迹在虚轴左边所以稳定
    
    从前面静态误差系数法得到,K'变大,稳态误差A/.. 所以变小
    

    下面给出不同位置的点的根轨迹的表格: 在这里插入图片描述
    再给个例题吧
    在这里插入图片描述
    画根轨迹的题目并不是每个方法都要用,完全随心,就是所谓的无招胜有招吧
    但是为了大家能拿到题目不会一头雾水,我们还是给几个建议

    1.找到所有的零极点
    2.确定实轴上的轨迹
    3.如果极点比零点多的话,确定渐近线
    4.如果渐近线是偏着向虚轴的话,计算与虚轴交点和入射出射角
      如果渐近线垂直,那应该就不需要,有共轭点的话最好算一下角度
    

    画根轨迹很重要啊,多练一练吧,等到真正工程实践,这八个法则完全是模糊的,但是我们已经有感觉了,看到零极点分布就可以条件反射,按照感觉给出根轨迹图

    展开全文
  • 广义根轨迹的基本法则参数根轨迹绘制方法等效开环传递函数零度根轨迹 参数根轨迹绘制方法 什么叫做参数根轨迹呢?指的是除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹。...由于,传递函数的根轨迹是由特征方程

    参数根轨迹绘制方法

    什么叫做参数根轨迹呢?指的是除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹。例如;我们要在如下系统开环传递函数中a=0→∞ 变化,绘制其根轨迹;
    在这里插入图片描述

    (图1)

    那么我们都知道,之前所有的根轨迹绘制方法,只有在kk^*传递函数的情况下才能使用。如今,虽然参数不再是
    kk^*了,但是如果我们要想办法将这个传递函数化成kk^*的传递函数,按理来说,还能使用之前的规则。

    等效开环传递函数

    由于,传递函数的根轨迹是由特征方程求出的,那么我们只要保证特征方程不变,就可以找到等效的开环传递函数。但是,此等效传递函数也只能求解绘制根轨迹方程,而不能求解其他问题。
    因此,我们首先写出其特征方程为;
    D(S)=S3+S2+14S+14a=0 D(S)=S^3+S^2+\frac {1}{4}S+\frac {1}{4}a=0
    我们构造——等效开环传递函数为;

    G(s)=a/4s3+s2+s/4=a/4s(s+0.5)2 G^{'}(s)=\frac {a/4}{s^3+s^2+s/4}=\frac {a/4}{s(s+0.5)^2}
    a/4a/4等效成为kk^*,利用根轨迹绘制法则我们得到如下信息;

    1. 实轴根轨迹:[-∞,0]
    2. 渐近线:σn=1/3    φa=±60°,180°\sigma_n =-1/3 \ \ \ \ \varphi _a=\pm 60\degree,180\degree
    3. 分离点:1d+2d+0.5=0\frac {1}{d} + \frac {2}{d+0.5} = 0
      解得: d=16     ad=4dd+0.52=227d=-\frac {1}{6} \ \ \ \ \ a_d=4\left| d\right|\left| d+0.5\right|^2=\frac{2}{27}
    4. 与虚轴交点:D(ωj)=ω2+a4+(ω3+14ω)j=0 D(\omega j)=-\omega ^2+\frac {a}{4}+(-\omega ^3+\frac {1}{4}\omega )j=0
      解得:{ω=12a=1 \left\{ \begin{array}{c} \omega =\frac{1}{2}\\ a=1\\ \end{array} \right.
      最后绘制出根轨迹图像。
      在这里插入图片描述

    零度根轨迹

    零度根轨迹指的是系统处于正反馈时的根轨迹
    如下
    在这里插入图片描述
    写出开环传递函数;
    G(s)H(s)=K(sz1)...(szm)(sp1)...(spn) G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{K^{*}(s-z_1)...(s-z_m)}{(s-p_1)...(s-p_n)}
    那么正反馈条件下,闭环传递函数与开环传递函数之间的关系为;
    Φ(s)=G(s)1G(s)H(s) \Phi (s)=\frac {G(s)}{1-G\left( s \right) H\left( s \right) }
    因此,特征方程为;
    G(s)H(s)=K(sz1)...(szm)(sp1)...(spn)=1 G\left( s \right) H\left( s \right) =\frac{K^*\left( s-z_1 \right) ...\left( s-z_m \right)}{\left( s-p_1 \right) ...\left( s-p_n \right)}=1
    对上述复数方程取模,则得到模值条件;
    G(s)H(s)=Ksz1...szmsp1...spn=Ki=1m(szi)j=1n(spj)=1 |G\left( s \right) H\left( s \right) |=\frac{K^*\left| s-z_1 \right|...\left| s-z_m \right|}{\left| s-p_1 \right|...\left| s-p_n \right|}=K^*\frac{\prod_{i=1}^m{|\left( s-z_i \right) |}}{\prod_{j=1}^n{|(s-p_j)|}}=1
    将复数方程区相角,则可得到相角条件;
    G(s)H(s)=i=1m(szi)j=1n(spj)=2kπ \angle G\left( s \right) H\left( s \right) =\sum_{i=1}^m{\angle \left( s-z_i \right)}-\sum_{j=1}^n{\angle \left( s-p_j \right)}=2k\pi
    那么我们发现,根轨迹中的模值条件未发生改变,但是相角条件由(2k+1)π(2k+1)\pi变成了2kπ2k\pi,因此根轨迹中8条法则中凡是跟相角条件有关的法则都要发生变化,其中有3条要发生变化.

    1. 实轴上的根轨迹变化为;从最右端开始偶数到单数之间是根轨迹。
    2. 渐近线变化为;
      渐近线角度变化为φa=2kπnm \varphi _a=\frac {2k\pi }{n-m}
      渐近线焦点不变,依旧是;
      σa=i=1npij=1mzinm \sigma _a = \frac {\sum_{i=1}^n{p_i}-\sum_{j=1}^m{z_i}}{n-m}
      3.出射角/入射角变为;
      i=1n(spi)j=1m(szj)=2kπ \sum_{i=1}^n{\angle (s-p_i)}-\sum_{j=1}^m{\angle (s-z_j)}=2k\pi

    到此呢,广义根轨迹就结束了。
    最后再总结一下吧。

    • 参数根轨迹的要点是找到等效传递函数来绘制根轨迹。
    • 零度根轨迹要注意8条法则中有3条要发生变化,其他的均不发生变化。
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  • 文章目录1 根轨迹法基础知识什么是根轨迹根轨迹什么什么是根轨迹法2 根轨迹图幅值和幅角条件手绘根轨迹图经验和特性3 用MATLAB绘制根轨迹画一个简单的根轨迹图指定K的取值范围绘制根轨迹绘制极网格根轨迹法的...

    1 根轨迹法基础知识

    什么是根轨迹

    随着开环增益K的改变,闭环极点也将发生改变,从而在平面上产生一系列的点,这些点的轨迹,就叫做根轨迹。

    根轨迹有什么用

    闭环系统瞬态响应的基本特性和闭环极点位置密切相关。

    在设计中,常常利用增益调整,将闭环极点移动到需要的位置上。

    什么是根轨迹法

    根轨迹法是一种图解法,由W.R.伊凡斯(Evans)提出,图像反应了特征方程的根和系统中某一个参数数值关系的方法。通常这个参数取开环增益,并命令这个参数在0到无穷大之间进行变化。

    2 根轨迹图

    幅值和幅角条件

    在这里插入图片描述

    构造系统的闭环传递函数,得到闭环系统的特征方程(即分母为0),然后分解成幅度值和幅度角两个方程。

    {KG(s)H(s)}=±180(2k+1)\{KG(s) H(s)\}=\pm 180^{\circ}(2 k+1)

    KG(s)H(s)=1|\mathrm{KG}(\mathrm{s}) \mathrm{H}(\mathrm{s})|=1

    满足这两个方程的s值,就是特征方程的根,就是闭环极点。

    只满足幅角条件的点构成的图形就是根轨迹(同时满足满足幅值条件就变成了特定的点)。

    手绘根轨迹图

    根轨迹的几个性质:

    1. K=0对应的特征方程根,就是根轨迹的起点。
    2. 根轨迹的数量,就是特征方程的阶数,也就是s的最高次数。

    具体步骤

    1. 确定实轴上的根轨迹。(尝试把试验点放在实轴上)
    2. 确定根轨迹的渐近线。(尝试将s设定为无穷大)
    3. 确定分离点。分离点就是s平面上特征方程有重根的点,随着K的增大,根轨迹点将脱离实轴,向复平面运动。
    4. 确定根轨迹和虚轴的交点。(利用劳斯稳定判据)

    如果极点是一对共轭复数根,则需要确定出射角和汇合点,出射角决定了根轨迹是向实轴运动,还是向复平面运动。

    经验和特性

    1. 根轨迹分支起始于开环极点,终止于开环零点,分支数等于特征方程根的数目。
    2. 根轨迹在s平面中,上下对称,对称轴为实轴。
    3. 在根轨迹图上任取一点,可以求出K值。K值是s点到各极点距离乘积,与s到各零点距离的乘积的比值。
    4. 如果开环极点数目,比有限开环零点数目多3个或以上,必定存在一个K,当增益超过K时,根轨迹进入右半平面。

    3 用MATLAB绘制根轨迹

    基本命令是rlocus

    rlocus(num,den)
    rlocus(A,B,C,D)
    

    使用符号画图可以先把计算结果保存起来,然后使用plot

    r = rlocus(num, den)
    plot(r, 'o')
    plot(r, 'x')
    

    设定绘图区域和长宽比

    v = [-6 6 -6 6];
    axis(v);
    axis('square')
    

    画一个简单的根轨迹图

    a = [1 1 0];
    b = [1 4 16];
    c = conv(a,b);
    den = c;
    num = [1 3];
    rlocus(num,den)
    v = [-6 6 -6 6];	# 确定可视区间
    axis(v);
    axis('square');		# 拉伸成正方形
    grid;				# 画出网格
    

    在这里插入图片描述

    指定K的取值范围绘制根轨迹

    num = [1];
    den = [1 1.1 10.3 5 0];
    K1 = 0 : 0.2 : 20;			
    K2 = 20 : 0.1 : 30;
    K3 = 30: 5 : 1000;
    K = [K1 K2 K3]					# 对不同的区间,取不同的密度
    r = rlocus(num, den, K);
    plot(r, 'o')
    

    在这里插入图片描述

    绘制极网格

    sgrid命令可以把定常阻尼比和定常自然频率圆覆盖到根轨迹图上。

    num = [1];
    den = [1 4 5 0];
    K = 0:0.01:1000;
    r = rlocus(num,den,K);
    plot(r,'-');
    v = [-3 1 -2 2];
    axis(v);
    axis('square');
    sgrid([0.5,0.707],[0.5,1,2]);		# 分别是射线和半圆
    

    在这里插入图片描述

    根轨迹法的分析

    条件稳定系统

    什么是条件稳定系统?

    如果系统仅在有限的K值范围内是稳定的,称为条件稳定系统。

    如何消除条件稳定性?

    增加适当的校正网络,可以消除条件稳定性。例如增加一个零点,可以根轨迹向左边弯曲(因为根轨迹最终需要结束于0点)。

    非最小相位系统

    什么是最小相位系统?

    如果系统的极点和零点都在左半平面,则称为最小相位系统。

    如果至少有一个极点或者零点在s右半平面,就是非最小相位系统。

    求任意根轨迹点上的增益K值

    [K,r] = rlocfind(num,den)
    
    展开全文
  • 3. 为什么根轨迹法用开环传递函数求解的却闭环极点? 盲目的借助于matlab进行根轨迹的计算和绘图,有时候往往不得其深意,可以从基础的定义去梳理我们为什要用根轨迹法,以及根轨迹能解决什么问题。只有明白了...

    自动控制理论根轨迹的学习过程中,经常会遇到几个问题:

    1. 为什么要用根轨迹法?
    2. 为什么根轨迹法最终转化为调整增益K来反应系统的稳定性和动态性能?
    3. 为什么根轨迹法用开环传递函数求解的却是闭环极点?

    盲目的借助于matlab进行根轨迹的计算和绘图,有时候往往不得其深意,可以从基础的定义去梳理我们为什要用根轨迹法,以及根轨迹能解决什么问题。只有明白了根轨迹的目的,我们才能将根轨迹法作为一种工具,真正做到为我们所用。闲话少叙,开始正题。

    根轨迹的定义

    自动控制系统的稳定性取决于特征根的值(闭环极点),系统的品质取决于闭环系统的极点和零点,如果系统具有可变的增益,那么闭环极点的位置将取决于环路增益K的选取,即可通过简单的增益调整将闭环极点移动到所需位置,那么设计的目的将转化为选择合适增益值的问题。当环路增益K变化时,闭环极点在S平面内的移动,即为根轨迹。
    控制系统的闭环极点就是特征方程的根,求解高次特征方程的根是较为繁琐的,当增益K变化时,特征根也在变化,因此,直接求解闭环特征方程根进行控制系统的计算过于繁琐。1948年Evans根据反馈系统开环和闭环传递函数间的关系,提出一种由开环传递函数直接寻求闭环极点,而无需求解高阶系统特征根的方法,即根轨迹法。
    所谓根轨迹,指系统的某个特定的参数,在特定范围内变化时,闭环极点在S平面内的运动轨迹。分为常规根轨迹和广义根轨迹法,常规根轨迹的参数变量为增益K,广义根轨迹参数变量为时间常数,反馈系数和开环零极点等。

    幅值条件和相角条件

    假设控制系统,G为开环传递函数,H为负反馈传递函数,表示为:
    在这里插入图片描述
    则闭环传递函数为:
    在这里插入图片描述
    这里就可以解决我们对问题3的疑惑,即闭环传递函数的零点分别为G(s)的零点H(s)的极点。接下来看闭环传递函数极点的求解。
    在这里插入图片描述
    由式4可以看出D(s)为一个高阶代数方程,对其求根很不方便,甚至没有解析解,而且很难看出闭环极点和参数间的关系。接下来我们采用根轨迹法,把其等价为根轨迹方程:
    在这里插入图片描述
    这下对于问题3闭环极点的求解,已经完全转化为了对于D(s)和根轨迹方程根轨迹的求解问题啦。让我们从新审视下根轨迹的定义,即系统的某个特定的参数,在特定范围内变化时,闭环极点在S平面内的运动轨迹。这下关于根轨迹的几个疑问就解决了。
    接下来求解闭环极点问题,则闭环传递函数的闭环极点须同时满足幅值和相角条件,由式6和7可知,幅值条件为一个与K相关的函数,相角条件与K值无关,即满足相角条件的s,总能找到一个与之对应的满足幅值条件的K值,即根轨迹由相角条件确定
    在这里插入图片描述

    根轨迹的绘制

    接下来继续讨论根轨迹的绘制法则,参照根轨迹绘制的8大法则,可以绘制出满足需求的根轨迹曲线,借助于matlab工具对根轨迹的分析,工程人员已经无需将精力放在根轨迹的绘制工作上,从而把重点放在对于根轨迹的分析和理解上。
    法则1:根轨迹的分支数,连续性和对称性。
    对与确定的系统,根轨迹分支数等于开环极点数,根轨迹是一簇连续的曲线,又因为特征方程的根是实根或者是共轭复根,所以根轨迹关于实轴对称
    法则2:根轨迹的起点和终点。
    根轨迹的起点为开环极点,终止于开环零点或无穷远处
    法则3:实轴上的根轨迹。
    实轴开环零极点数之和为奇数,则实轴段为根轨迹的一部分
    法则4:根轨迹的渐近线。
    法则5:根轨迹的分离点和汇合点。
    法则6:根轨迹的起始角和终止角。
    法则7:根轨迹与虚轴的交点。
    法则8:根轨迹任一点对应的增益K。
    借助于matlab绘制的根轨迹曲线,无须进行复杂的计算,即可求得法则4-8相关的参数,从而将重点放在对于根轨迹图的理解上。

    参考文献

    《自动控制理论》第三版. 邹伯敏主编。

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