精华内容
下载资源
问答
  • 设总体XXX ~ N(μ,σ2)N(μ, σ^2)N(μ,σ2),X1,X2,……,XnX_1,X_2,……,X_nX1​,X2​,……,Xn​是来自总体的样本,样本均值为X‾\overline{X}X,其中X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{...

    设总体XX ~ N(μ,σ2)N(μ, σ^2)X1X2XnX_1,X_2,……,X_n是来自总体的样本,样本均值为X\overline{X},其中X=1ni=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i则:
    E[i=1n(XiX)2]=E(i=1nXi2nX2)=(n1)σ2 E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \right]=E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2)=(n-1)σ^2
    证明:
         E[i=1n(XiX)2]E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \right]

    =E[i=1n(Xi22XiX+X2)]=E \left[ \sum_{i=1}^{n}(X_i^2-2X_i\overline{X}+\overline{X}^2) \right]

    =E[i=1nXi22Xi=1nXi+i=1nX2]=E \left[ \sum_{i=1}^{n}X_i^2-2\overline{X} \sum_{i=1}^nX_i+ \sum_{i=1}^n\overline{X}^2 \right]

    X=1ni=1nXiX\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,X ~ N(μ,σ2)N(μ,σ^2)

    i=1nXi=nXXi\sum_{i=1}^nX_i=n\overline{X},X_i ~ N(μ,σ2)i=12...nN(μ,σ^2),i=1、2、...、n

    EXi=μDXi=σ2,EX=1nEi=1nXi=μ,DX=1n2Di=1nXi=σ2nEX_i=μ,DX_i=σ^2, E\overline{X}=\frac{1}{n}E\sum_{i=1}^{n}X_i=μ,D\overline{X}=\frac{1}{n^2}D\sum_{i=1}^{n}X_i=\frac{σ^2}{n}

    ∴上式=E(i=1nXi22nX2+nX2)=E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2n\overline{X}^2+n\overline{X}^2)

    =E(i=1nXi2nX2)=E(\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline{X}^2)

    =i=1nEXi2nEX2=\sum_{i=1}^{n}EX_i^2-nE\overline{X}^2

    =i=1n(DXi+E2Xi)n(DX+E2X)=\sum_{i=1}^{n}(DX_i+E^2X_i)-n(D\overline{X}+E^2\overline{X})

    =n(σ+μ2)n(σ2n+μ2)=n(σ+μ^2)-n(\frac{σ^2}{n}+μ^2)

    =(n1)σ2=(n-1)σ^2

    展开全文
  • 简单抽样技术——样本均值是总体均值的无偏估计

    万次阅读 多人点赞 2019-07-13 21:26:34
    来一点废话,帮助大家理解概率的精髓: 1) 只要谈估计,那就是告诉我们一种方法,利用这个方法可以管中规豹似的获取某个统计量(这个统计量很可能...均值公式: 显然,它们是不一样的,一个是和元素出现的概率...

    来一点废话,帮助大家理解概率的精髓:

    1) 只要谈估计,那就是告诉我们一种方法,利用这个方法可以管中规豹似的获取某个统计量(这个统计量很可能限于人力物力无法真正获取,而我们又很想知道)。

    2) 只要是谈估计,那就告诉我们这个估计量本身也是个随机变量,它自身也存在统计特性;

    首先,要严格区分均值和期望两个概念!

    期望公式:

    E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p(i)

    均值公式:

    \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}

    显然,它们是不一样的,一个是和元素出现的概率相关,另一个是小学级别的简单粗暴的求平均。

    接下来,脑海中,我们可以假设有这么一个集合{y_{1},y_{2},...,y_{N}},大括号里就是这个集合的所有元素。

    总体均值就是求的整个集合的均值(假设集合大小是N):

    \bar{Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}

    显然\bar{Y}值在集合(也就是我们要研究的对象)和集合大小固定的情况下是一个固定的、并天然就存在的定数(它不是随机变量,好比是一个常数),尽管我们可能并不知道确切的值是多少!因为过我们可能由于费用问题无法将所有个体都进行统计然后求平均。因此,引入抽样的概念。样本均值\bar{y}就是从整个集合中抽取出n个,然后对其就平均:

    \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}y_{i} \delta {i}

    其中\delta {i}为抽样函数:

    \delta {i}= \begin{cases} 1 & \text{ if } y_{i}\ is\ selected\\ 0 & \text{ if } y_{i}\ is\ not\ selected \end{cases},并且

    \sum_{i=1}^{N}\delta _{i}=n

    这里额外进行解释:

    1)显然,根据组合原理,从N个元素中抽取n个元素的种类一共是C_{N}^{n}中,也就是\bar{y}的值有C_{N}^{n}种可能。

    2)显然\bar{y}值会随着我们实际抽取到的n个样本的不同而不同,因此\bar{y}本身可以被视为随机变量,既然\bar{y}是随机变量,那么它就存在统计量,也就是说讨论\bar{y}的期望和方差是有意义的。

    3)这里给出的公式,可能和有些书上的写的不太一样,有些书直接写为\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i},严格意义说写的不够确切,符号y_{i}在总体均值和样本均值中都用到了,容易混乱,致使公式不清、概念不清。本文的样本均值公式体现了抽样概念,更加严格。

    在讨论样本均值的期望之前,我们先讨论样本和\sum_{i=1}^{N}y_{i} \delta {i}(其中,\sum_{i=1}^{N}\delta _{i}=n)的期望,我们令H=\sum_{i=1}^{N}y_{i} \delta {i},显然H也是个随机变量,也就是讨论E(H)的值。

    前面已经讨论过,从N个元素中抽取n个元素的形成的样本种类是C_{N}^{n}种,因为我们这里讨论的是简单随机抽样,因此每种不同h_{k}(即,H取值h_{k})的概率就是\frac{1}{C_{N}^n}=\frac{n!(N-n)!}{N!}

    E(H)=\frac{1}{C_{N}^{n}}\sum_{k=1}^{C_{N}^n}h_{k}

    为了确定E(H)求和公式中某个特定元素y_{i}(即,i取特定值,y_{i}的系数)的系数:

    所有包含y_{i}的抽样样本集合,肯定包含n-1个其他元素,那么这n-1个其他元素的组合数目就是E(H)求和公式中某个特定元素y_{i}的系数。这个剩余的n-1个元素可以来自剩余的N-1个元素,因此求和公式中存在y_{i}的系(个)数是C_{N-1}^{n-1}

    因此有:

    E(H)=\frac{n!(N-n)!}{N!}\frac{(N-1)!}{(n-1)!(N-n)!}\sum_{i=1}^{N}y_{i}

    =\frac{n}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}

    因此,我们可以得出这么一个结论:

    定理 1  样本和的期望是总体总值的\frac{n}{N}.

    那么,样本均值的期望就很好求了:

    E(\bar{y})=E(\frac{H}{n})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}=\bar{Y}

    由此,得出新的结论:

    定理 2 样本均值\bar{y}是总体均值\bar{Y}的无偏估计量

    讲一些方便理解的废话,既然研究了样本均值的期望,那么上面的两个定理的结论应当是限制在简单随机抽样的条件下得出来的。

    定理1的结论实际上在抽样理论中更容易被忽视,这个定理需要扩大脑思路,假如要求\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-6)^3\delta _{i}的期望:

    那么我们要将(y_{i}-6)^3整体看做样本,而不是把y_{i}看做样本,H=\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-6)^3\delta _{i}这个求和本身也是一个变量,它的期望可以根据定理1得出是样本总值\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-6)^3\frac{n}{N}:

    E(H)=\frac{n}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_{i}-6)^3

    定理2 则告诉我们当总体均值比较难以获取的时候,要估计总体均值可以拿样本均值来替代,这个样本均值在估计方法上还是无偏的。

    再回到问题本身,我们一般是无法知道整个集合的总值和均值的,定理2就是告诉我们存在无偏的估计方法,求总体均值,可以拿样本均值来估计总体均值,同样的,如果要估计总体值,只要将样本均值乘以N就可以的。

    我们可以得到下面的推论(很容易证明)

    推论 \hat{Y}=N\bar{y}是总体总值Y的无偏估计。

     

    拿多少样本来估计均值比较合理,这就得讨论样本均值的方差如何了。将会在另一篇文章中进行讨论。

     

     

    展开全文
  • 样本均值为,样本方差为,总体均值为,总体方差为,那么样本方差有如下公式: 很多人可能都会有疑问,为什么要除以n-1,而不是n,但是翻阅资料,发现很多都是交代到,如果除以n,对样本方差的估计不是无偏估计...

    设样本均值为,样本方差为,总体均值为,总体方差为,那么样本方差有如下公式:

        很多人可能都会有疑问,为什么要除以n-1,而不是n,但是翻阅资料,发现很多都是交代到,如果除以n,对样本方差的估计不是无偏估计,比总体方差要小,要想是无偏估计就要调小分母,所以除以n-1,那么问题来了,为什么不是除以n-2、n-3等等。所以在这里彻底总结一下,首先交代一下无偏估计。

    无偏估计

        以例子来说明,假如你想知道一所大学里学生的平均身高是多少,一个大学好几万人,全部统计有点不现实,但是你可以先随机挑选100个人,统计他们的身高,然后计算出他们的平均值,记为。如果你只是把作为整体的身高平均值,误差肯定很大,因为你再随机挑选出100个人,身高平均值很可能就跟刚才计算的不同,为了使得统计结果更加精确,你需要多抽取几次,然后分别计算出他们的平均值,分别记为:然后在把这些平均值,再做平均,记为:,这样的结果肯定比只计算一次更加精确,随着重复抽取的次数增多,这个期望值会越来越接近总体均值,如果满足,这就是一个无偏估计,其中统计的样本均值也是一个随机变量,就是的一个取值。无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。

        介绍无偏估计的意义就是,我们计算的样本方差,希望它是总体方差的一个无偏估计,那么假如我们的样本方差是如下形式:

    那么,我们根据无偏估计的定义可得:

        由上式可以看出如果除以n,那么样本方差比总体方差的值偏小,那么该怎么修正,使得样本方差式总体方差的无偏估计呢?我们接着上式继续化简:

    (Var(X^)为什么等于σ2/n?推导公式:D(X把)=D(1/n∑Xi)=1/n²D(∑Xi)=1/n²∑D(Xi)=(1/n²)nσ²=σ²/n   )

    到这里得到如下式子,看到了什么?该怎修正似乎有点眉目。

        如果让我们假设的样本方差乘以,即修正成如下形式,是不是可以得到样本方差是总体方差的无偏估计呢?

    则:

        因此修正之后的样本方差的期望是总体方差的一个无偏估计,这就是为什么分母为何要除以n-1。

    转载于:https://www.cnblogs.com/tobystudy/p/9485353.html

    展开全文
  • 统计基础-样本方差公式

    千次阅读 2015-07-03 11:33:05
    样本方差公式定义如下。 后面的一个等式还好,有约分的痕迹,前面一个等式还是不容易一眼看出之间的关联,下面进行推导。 将算术均值公式代入计算。 将逆向代入上式,得到最终结果。

    样本方差公式定义如下。

    后面的一个等式还好,有约分的痕迹,前面一个等式还是不容易一眼看出之间的关联,下面进行推导。

    将算术均值的公式代入计算。

    逆向代入上式,得到最终结果。

    展开全文
  • 今天看为了准备排队论考试复习了下概率论,看到... X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n   以下是我的理解(感性的认识): 要求总体分布的方差,而我们使用的是样本。计算的是样本值和样本均值的距离。但是如果...
  • 样本方差递推公式起源异变本源样本均值样本方差天演千古 起源 对于来自同一总体的随机样本 X1,X2,⋯ ,Xn−1X_1,X_2,\cdots,X_{n-1}X1​,X2​,⋯,Xn−1​,我们能够轻易地算出这个样本下的两个统计量:样本均值以及...
  • j=1...n,N个样本 i=1...c,C聚类 一、优化函数 FCM算法的数学模型其实是一个条件极值问题: 把上面的条件极值问题转化为无条件的极值问题,这个在数学分析上经常用到的一种方法就是拉格朗日乘数法...
  • 抽样分布

    2019-12-08 20:40:22
    样本均值公式: 样本方差公式: 两个样本平均值之差的分布 样本方差分布 两个样本方差比的分布
  • 其中原点矩和中心距在概率论书中都有相应的公式我们会套用即可 其中一阶原点矩就是数学期望,而用二阶样本中心距是来计算总体的方差的。了解到这些,在matlab编写代码时,对照概率论的书籍,就编写的非常愉快了。
  • 彻底理解样本方差为何除以n-1

    万次阅读 多人点赞 2017-09-06 00:10:35
    样本均值为,样本方差为,总体均值为,总体方差为,那么样本方差有如下公式: 很多人可能都会有疑问,为什么要除以n-1,而不是n,但是翻阅资料,发现很多都是交代到,如果除以n,对样本方差的估计不是无偏估计,...
  • C均值聚类

    2020-03-27 20:03:40
    文章目录1. 基本思路2. 样本在类间调整思路3. 具体步骤4. 初始化类的方法4.1 选择代表点4.2...假设第iii类样本集合τi\tau_iτi​的数目为NiN_iNi​,则该类样本均值向量为mi\boldsymbol{m_i}mi​的计算公式为: mi=...
  • 【Statistics】均值

    2019-10-01 15:46:00
    简单均值 设代表均值,代表样本各变量值,n代表变量个数,则简单的均值公式为: 其中表示所有的x的值得合计。 加权均值 设代表各组(分为k组)组中值,(其中i = 1,2,…k)代表各组次数,则加权均值计算公式为: 计算...
  • 课堂上的出来的结论:样本方差的和总体方差是不等的,而是存在一个无偏估计的系数(N-1)/N先给出概念定义和公式:设样本均值为,样本方差为,总体均值(期望)为,总体方差为,那么样本方差有如下公式:样本方差用来...
  • 效应值的计算:依赖于假设检验中使用的统计方法,如两样本均值之差除以标准差(如下),或两样本均值之差除以合并标准差,或卡方检验计算样本量 z检验样本量公式 为两样本均值之差; AB实验原假设(即两样本...
  • K-均值聚类算法

    2019-10-06 18:07:10
    从上述公式中可以看出,该公式刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度,E值越小簇内样本的相似度越高。 工作流程: k-均值算法的描述如下: 创建k个点作为起始质心(通常随机选择) 当任意一个点的簇...
  • 均值、方差、协方差

    2018-10-16 17:07:54
    协方差的意义和计算公式 协方差的意义和计算公式 ...很显然,均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是很有限的,而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例...
  • 样本方差的无偏估计样本均值和样本方差的公式为什么样本方差除以n−1n-1n−1而不是nnn呢?无偏估计证明用到的定理 设X1,...,XnX_1, ..., X_nX1​,...,Xn​是从期望为μ\muμ、方差为σ2\sigma^2σ2的总体中抽取的...
  • 均值又分为总体均值和样本均值: (1).总体均值:使用总体数据求得的均值   想必这个大家都耳熟能详,他其实反映的就是一组数据的平均值,他的公式也非常简单设一组数据为   X = (x1,x2,x3,x4,x5,……xn)那么他的...
  • 可以从上图看到,样本均值与总体均值不同,但是随着测量越来越多的数据,x-bar会越来越接近μ。 方差、标准差 方差和标准差,代表数据是如何在总体均值周围分布的,计算总体方差的公式: x-μ, 代表从每个数据
  • 学过概率统计的孩子都知道,统计里最基本的概念就是样本均值,方差,或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合,依次给出这些概念的公式描述,这些高中学过数学的孩子都应该知道吧,一带而过。 均值...
  • K均值聚类算法 1.算法思想 K-means算法是最普及的聚类算法,算法接受一个未...从上述公式中可以看出,该公式刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度,E值越小簇内样本的相似度越高。 2.算法流程 现在假设我们要把数...
  • 第十五课.K均值算法

    2021-02-03 11:47:34
    目录K均值算法原理K均值算法的改进:K-means++numpy实现K-means K均值算法原理 K均值(K-means)算法属于无监督学习中的聚类算法;聚类是根据样本特征向量...K均值聚类使用欧式距离的平方作为样本距离,计算公式如下
  • 怎样确定样本容量的理论解释

    千次阅读 2018-07-18 21:02:03
    研究随机问题时,基本都要用到抽样仿真,比较仿真结果与实验结果的偏差。...在给定的置信水平 1−α1−α1-\alpha 下, 设样本均值为 X¯¯¯¯X¯\overline{X},其误差 εε\varepsilon 由下列计算公式...
  • 首先,我们给定一个含有n个样本的集合,下面给出这些概念的公式描述: 均值: 标准差: 方差: (2)均值描述的是样本集合的中间点。 (3)标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。 (4...
  • 首先我们给你一个含有n个样本的集合,依次给出这些概念的公式描述,这些高中学过数学的孩子都应该知道吧,一带而过。 很显然,均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是很有限的,而标准差给我们...
  • 首先我们给你一个含有n个样本的集合,依次给出这些概念的公式描述,这些高中学过数学的孩子都应该知道吧,一带而过。 很显然,均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是很有限的,而标准差给我们描述的...
  • 样本方差为何除以n-1

    2019-10-11 00:19:51
    样本均值为,样本方差为,总体均值为,总体方差为,那么样本方差有如下公式: 很多人可能都会有疑问,为什么要除以n-1,而不是n,但是翻阅资料,发现很多都是交代到,如果除以n,对样本方差的估计不是无偏估计...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 674
精华内容 269
关键字:

样本均值公式