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  • 本篇将结合一个例题,借助Excel工具和SPSS,分别从不同的拒绝域位置和利用不同的函数,多方法地总结双样本的F检验的思路和方法。

    本篇将结合一个例题,借助Excel工具和SPSS,分别从不同的拒绝域位置和利用不同的函数,多方法地总结双样本的F检验的思路和方法。
    参数假设检验的内容请参考《概率论与数理统计——参数假设检验》

    【例题】
    有A、B两个语料库,从中各抽取5篇,分别统计出每篇的句数,假设两个语料库的语篇句数是正态分布,以0.05的显著水平来检验两个语料库的语篇句数的变异程度是否一致。

    A 20 18 12 24 26
    B 24 22 18 22 14

    要想检验两个样本的变异程度是否一致,就要看二者的方差是否一致,显然采用F检验。

    解法一:双尾检验+比较统计量

    第一步

    根据问题的要求提出:

    H0σ1σ2=1      H1σ1σ21 原假设H_0:\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=1\ \ \ \ \ \ 备择假设H_1:\frac{\sigma_1}{\sigma_2} \neq 1

    第二步

    构造统计量:

    F=S12/S22σ12/σ22 F=\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}

    代入数据:

    F=42/3.5821=1.25 F=\frac{4^2/3.58^2}{1}=1.25

    第三步

    设定显著水平:
    α=0.05 \alpha=0.05

    第四步

    该检验是双尾检验,利用Excel的FINV()函数,求得两个临界点为:

    Fα2=9.065F1α2=0.104 F_\frac{\alpha}{2}=9.065 \\ F_{1-\frac{\alpha}{2}}=0.104

    比较可得:

    0.104<1.25<9.065 0.104<1.25<9.065

    即:

    F1α2<F<Fα2 F_{1-\frac{\alpha}{2}}<F<F_\frac{\alpha}{2}

    故,统计量位于接受域。因此,拒绝H1H_1,接受H0H_0
    结论为:95%的把握肯定, A、B语料库的语篇句数的变异程度一致。


    解法二:双尾检验+比较统计量的概率

    前三步参考解法一

    第四步

    该检验是双尾检验,利用Excel的FTEST()函数,求得双尾概率为:

    P(F)=0.83 P(F)=0.83

    FTEST(array1,array2)函数返回的是F检验array1 和 array2 中的方差没有显著差异的双尾概率。
    本方法的使用语句为:=FTEST({20,18,12,24,16},{24,22,18,22,14})。当然,在实际的操作中,可以将两个数组替换为对应的表格区域。

    比较可得:

    0.025<0.83<0.975 0.025<0.83<0.975

    即:

    P(F1α2)<P(F)<P(Fα2) P(F_{1-\frac{\alpha}{2}})<P(F)<P(F_\frac{\alpha}{2})

    故,统计量位于接受域。因此,拒绝H1H_1,接受H0H_0
    结论为:95%的把握肯定, A、B语料库的语篇句数的变异程度一致。


    解法三:左右单尾检验结合+比较统计量

    这个方法的思路是,进行两次单尾检验,从而检验出σ1σ21\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\le 1σ1σ21\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\ge 1同时显著成立,进而推导出σ1σ2=1\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=1显著成立。

    第一次检验:右单尾检验

    第一步

    根据问题的要求提出:

    H0σ1σ21      H1σ1σ2>1 原假设H_0:\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\le 1\ \ \ \ \ \ 备择假设H_1:\frac{\sigma_1}{\sigma_2} > 1

    第二步

    构造统计量:

    F=S12/S22σ12/σ22 F=\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}

    代入数据:

    F=42/3.5821=1.25 F=\frac{4^2/3.58^2}{1}=1.25

    第三步

    设定显著水平:
    α=0.05 \alpha=0.05

    第四步

    该检验是右尾检验,利用Excel的FINV()函数,求得临界点为:

    Fα=6.388 F_\alpha=6.388

    比较可得:

    1.25<6.388 1.25<6.388

    即:

    F<Fα F<F_\alpha

    故,统计量位于接受域。因此,拒绝H1H_1,接受H0H_0
    结论为:95%的把握肯定,σ1σ21\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\le 1

    第二次检验:左单尾检验

    第一步

    根据问题的要求提出:

    H0σ1σ21      H1σ1σ2<1 原假设H_0:\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\ge 1\ \ \ \ \ \ 备择假设H_1:\frac{\sigma_1}{\sigma_2} < 1

    第二步至第四步类比参考第一次检验

    最后可以得到结论为:95%的把握肯定,σ1σ21\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\ge 1

    综合两次的检验结果可得:95%的把握肯定,σ1σ2=1\frac{\sigma_1}{\sigma_2}= 1即 A、B语料库的语篇句数的变异程度一致。


    解法四:左右单尾检验结合+比较统计量的概率

    该解法的思路和解法三基本相同,只是在检验时,比较的是统计量的概率。
    统计量的概率可以通过FDIST()函数来实现。


    解法五:利用Excel的数据分析工具

    该解法的思路是利用Excel的数据分析工具,得到双尾概率的单侧概率,进而将单侧概率与α2\frac{\alpha}{2}比较,进而得出结论。

    点击Excel中的数据菜单,点击分析子菜单的数据分析按钮
    在这里插入图片描述

    然后在分析工具里选择F-检验 双样本方差,点击确定
    在这里插入图片描述

    然后在弹出的对话框里输入所要分析的两组数据的区域,并填写好参数α\alpha,选择好输出的位置,点击确定。
    注意,此时我们需要的是双尾的单侧概率,此时的参数α\alpha应当是实际的α2=0.025\frac{\alpha}{2}=0.025
    在这里插入图片描述

    然后会产生下面的表格:
    F-检验 双样本方差分析

    - 变量1 变量2
    平均 18 20
    方差 20 16
    观测值 5 5
    dfdf 4 4
    FF 1.25
    P(Ff)P(F\le f) 0.41701
    FF单尾临界 9.60453

    小数点的位数会根据单元格的数值格式的设定变化,并非产生的一定就是表中小数体现的位数。

    先解释一下表里面的数据的含义,均值和方差不必多数;这里的观测值是样本的个数;dfdf是自由度,为样本的个数减一;FF即根据公式构造的统计量的值;P(Ff)P(F\le f)FF的单侧概率,相当于FTEST({20,18,12,24,16},{24,22,18,22,14})/2的结果;FF单尾临界是指双尾检验的一尾的临界点。
    所以,比较可得:

    0.41701>0.025 0.41701>0.025
    故,拒绝H1H_1,接受H0H_0,即σ1σ2=1\frac{\sigma_1}{\sigma_2}= 1

    因此,有95%的把握肯定AB两个语料库的变异程度显著一致。


    解法六:利用SPSS进行F检验

    既然进行统计检验,当然少不了专业的SPSS。
    用SPSS检验的结果如下:
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-LKGTel1D-1588899351644)(%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E6%95%B0%E7%90%86%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E2%80%94%E2%80%94Excel%E5%A4%9A%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%A7%A3%E5%86%B3-%E5%8F%8C%E6%A0%B7%E6%9C%AC%E6%96%B9%E5%B7%AE%E7%9A%84F%E6%A3%80%E9%AA%8C.resource/4.png)]

    其中Sig>0.05Sig>0.05显然成立,因此可以判定两组数据的方差显著一致。

    在SPSS中检验出的结果是1,也就是表明两组数据方差非常一致,几乎没有差别。例题的数据只是一个示例,并不符合实际的数据情况。



    总结

    这六种方法主要是从不同的软件出发,分别利用双尾检验或左右单尾检验的方式完成F检验,其中涉及到使用不同的Excel函数和Excel工具,这些函数和工具各有千秋,可以根据实际需求选择合适的方案。

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  • 用SPSS求均值 方差 标准差小例题

    万次阅读 2018-11-02 18:52:44
    假设轮胎的寿命服从正态分布。估计某种轮胎的平均寿命,随机抽取12只轮胎组成一个样本,测得...(1)样本均值,样本方差,样本标准差 (2)求平均寿命的0.95置信区间。 1.输入数据 2.点击分析-比较平均值-单样本...

    假设轮胎的寿命服从正态分布。估计某种轮胎的平均寿命,随机抽取12只轮胎组成一个样本,测得他们的寿命(单位:万千米)如下:4.68, 4.85, 4.32, 4.85, 4.61, 5.02, 5.20, 4.60, 4.58, 4.72, 4.38, 4.70
    试计算
    (1)样本均值,样本方差,样本标准差
    (2)求平均寿命的0.95置信区间。

    1.输入数据

    2.点击分析-比较平均值-单样本T检验

    3.点击选项输入置信区间百分比,然后继续确定即可。

    .

    4.结果如下

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  • 学习内容: 因子、水平、单因素方差分析、...观测值:每个因子水平下得到的样本数据 仅有一个因素的方差分析称为单因素方差分析,包含两个因素的方差分析称为双因素方差分析,两个以上的称为多因素方差分析。 例题 ...
    学习内容:

    因子、水平、单因素方差分析、双因素方差分析、协方差分析

    概述

    通过对数据误差来源的分析检验各总体的均值是否相等来判断分类型的自变量对数值型的因变量是否有显著影响。
    因素:即因子,所要检验的对象
    水平:又称处理,即因素的不同表现
    观测值:每个因子水平下得到的样本数据
    仅有一个因素的方差分析称为单因素方差分析,包含两个因素的方差分析称为双因素方差分析,两个以上的称为多因素方差分析。

    例题

    消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。为了对几个行业的服务质量进行评价,消费者协会在零售业,旅游业,航空公司,家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。一共抽取了23家企业,统计出消费者对总共23家企业投诉的次数,结果如下表所示:
    在这里插入图片描述
    消费者协会想知道这几个行业之间的服务质量是否有显著差异,实际是是判断行业对被投诉次数是否有显著影响,即要检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
    如果均值相等,则意味这服务质量没有显著性差异。
    如果均值不全相等,则意味着行业对被投诉次数是有影响的,服务质量是有显著性差异的。

    回顾方差分析的定义:是对数据误差来源的分析,来判断均值是否相等。所以在进行方差分析之前,需要考虑数据误差的来源

    误差分解

    组内误差:由于抽样的随机性所造成的随机误差,即来自水平内部的数据误差,反映一个样本内部数据的离散程度,只含有随机误差。例如:总体数据分布有[40,41,100,42]等,抽样时刚好抽到[40,100]。
    组间误差:来自不同水平之间的误差,这种误差包括抽样本身的误差和行业本身系统性因素造成的系统误差。例如:可能航空公司的投诉次数本身就比旅游业低。

    对于方差分析来说:数据的误差时用平方和表示的。即
    在这里插入图片描述
    总平方和(SST):反应全部数据误差大小的平方和,反应全部观测值的离散状况。
    组内平方和(SSE):反应组内误差大小的平方和,也称误差平方和或残差平方和,反映的是每个样本内各观测值的离散状况。
    组间平方和(SSA):反应组间误差大小的平方和,也称因素平方和,反映样本均值的差异。

    均方:各平方和除以他们所对应的自由度,也称为方差。
    此时:
    若原假设成立,组间误差中将只包含随机误差,组间均方与组内均方的数值就会很接近,比值就会接近于1。
    若原假设不成立,组间误差中将既包含随机误差又包含系统误差,组间均方会大于组内均方,他们之间的比值将大于1。
    当比值大于某种程度(α \alphaα)时,就可以说不同水平之间存在显著差异。
    这个比值服从分子自由度为n-1,分布自由度为n-k的F分布
    在这里插入图片描述

    解题

    上题中,因素是行业,水平是不同行业的不同表现,观测值是具体的被投诉次数。
    涉及两个变量:
    一个是分类型自变量,如行业
    一个是数值型自变量,如被投诉次数
    方差分析就是要研究行业对被投诉次数是否有显著影响

    步骤

    步骤和假设检验中的类似,区别是在于构建统计量的异同。

    第一步:建立原假设和备择假设
    分别使用ABCD来代替零售业,旅游业,航空公司,家电制造业。
    在这里插入图片描述
    第二步:选择合适的显著性水平
    默认为 α=0.05 \alpha=0.05α=0.05
    第三步:选择合适的抽样分布及其统计量
    方差分析适用的都是F分布和F统计量
    第四步:从总体中抽取随机样本,计算P值
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    第五步:进行判别,得出结论
    可以看到,在自由度(3,16)时,置信度为95%的值为3.24,2.92<3.24,所以我们接受原假设的概率为95%,所以接受原假设。所以行业对被投诉次数没有显著影响。

    ##############################################################
    @ 2020.01.13 木居居士的统计学小组 第十四周 打卡
    安利公益监督学习组织 - 【公众号】数据科学家联盟
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  • 仅有一个因素的方差分析称为单因素方差分析,包含两个因素的方差分析称为双因素方差分析,两个以上的称为多因素方差分析。 例题 消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。为了对几个...

    概述

    通过对数据误差来源的分析检验各总体的均值是否相等来判断分类型的自变量对数值型的因变量是否有显著影响。
    因素:即因子,所要检验的对象
    水平:又称处理,即因素的不同表现
    观测值:每个因子水平下得到的样本数据
    仅有一个因素的方差分析称为单因素方差分析,包含两个因素的方差分析称为双因素方差分析,两个以上的称为多因素方差分析

    例题

    消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。为了对几个行业的服务质量进行评价,消费者协会在零售业,旅游业,航空公司,家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。一共抽取了23家企业,统计出消费者对总共23家企业投诉的次数,结果如下表所示:

    样本 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
    1 57 68 31 44
    2 66 39 49 51
    3 49 29 21 65
    4 40 45 34 77
    5 34 56 40 58

    消费者协会想知道这几个行业之间的服务质量是否有显著差异,实际是是判断行业对被投诉次数是否有显著影响,即要检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。
    如果均值相等,则意味这服务质量没有显著性差异。
    如果均值不全相等,则意味着行业对被投诉次数是有影响的,服务质量是有显著性差异的。

    回顾方差分析的定义:是对数据误差来源的分析,来判断均值是否相等。所以在进行方差分析之前,需要考虑数据误差的来源

    误差分解

    组内误差:由于抽样的随机性所造成的随机误差,即来自水平内部的数据误差,反映一个样本内部数据的离散程度,只含有随机误差。例如:总体数据分布有[40,41,100,42]等,抽样时刚好抽到[40,100]。
    组间误差:来自不同水平之间的误差,这种误差包括抽样本身的误差和行业本身系统性因素造成的系统误差。例如:可能航空公司的投诉次数本身就比旅游业低。

    对于方差分析来说:数据的误差时用平方和表示的。即:
    SST=SSE+SSA SST = SSE + SSA
    总平方和(SST):反应全部数据误差大小的平方和,反应全部观测值的离散状况。
    组内平方和(SSE):反应组内误差大小的平方和,也称误差平方和或残差平方和,反映的是每个样本内各观测值的离散状况。
    组间平方和(SSA):反应组间误差大小的平方和,也称因素平方和,反映样本均值的差异。

    均方:各平方和除以他们所对应的自由度,也称为方差。
    此时:
    若原假设成立,组间误差中将只包含随机误差,组间均方与组内均方的数值就会很接近,比值就会接近于1。
    若原假设不成立,组间误差中将既包含随机误差又包含系统误差,组间均方会大于组内均方,他们之间的比值将大于1。
    当比值大于某种程度(α\alpha)时,就可以说不同水平之间存在显著差异。
    这个比值服从分子自由度为n-1,分布自由度为n-k的F分布
    F=MSAMSEF(k1,nk) F = \frac{MSA}{MSE} \sim F(k-1,n-k)

    解题

    上题中,因素是行业,水平是不同行业的不同表现,观测值是具体的被投诉次数。
    涉及两个变量:
    一个是分类型自变量,如行业
    一个是数值型自变量,如被投诉次数
    方差分析就是要研究行业对被投诉次数是否有显著影响

    步骤

    步骤和假设检验中的类似,区别是在于构建统计量的异同。

    第一步:建立原假设和备择假设
    分别使用ABCD来代替零售业,旅游业,航空公司,家电制造业。
    H0:μA=μB=μC=μD H_0 : \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D H1: H_1 : 四个行业的投诉均值不全相等
    第二步:选择合适的显著性水平
    默认为 α=0.05\alpha=0.05
    第三步:选择合适的抽样分布及其统计量
    方差分析适用的都是F分布和F统计量
    第四步:从总体中抽取随机样本,计算P值

    1.计算每种行业的样本均值(XA,XB,XC,XD\overline{X_A},\overline{X_B},\overline{X_C},\overline{X_D}),以及所有样本的均值XZ\overline{X_Z}
    XA=57+66+49+40+345=49.2 \overline{X_A} = \frac{57+66+49+40+34}{5} = 49.2 XB=47.4\overline{X_B} = 47.4XC=35\overline{X_C} = 35XD=59\overline{X_D} = 59XZ=47.65 \overline{X_Z} = 47.65

    2.计算组间方差MSA、组内方差MSE以及F值

    组间平方和:
    SSA=i=1kni(XiXZ)2 SSA = \displaystyle \sum^{k}_{i = 1}{n_i(\overline{X_i} - \overline{X_Z} )^2} SSA=1456.55 SSA = 1456.55
    组内平方和:
    SSE=i=1kj=1ni(XijXi)2 SSE = \displaystyle \sum^{k}_{i = 1} \sum^{n_i}_{j= 1}{(X_{ij} - \overline{X_i})^2}SSE=2656 SSE = 2656
    MSA=SSAk1=1456.55/(41)=485.5 MSA = \frac{SSA}{k-1} = 1456.55/(4-1) = 485.5MSE=SSAnk=2656/(204)=166 MSE = \frac{SSA}{n-k} = 2656/(20-4) = 166 F=MSAMSE=485.4/166=2.92F(3,16) F = \frac{MSA}{MSE} = 485.4/166 = 2.92,自由度为F(3,16)
    3.查询F分布表
    α=0.05\alpha=0.05时,分布表如下:

    在这里插入图片描述
    第五步:进行判别,得出结论
    可以看到,在自由度(3,16)时,置信度为95%的值为3.24,2.92<3.24,所以我们接受原假设的概率为95%,所以接受原假设。所以行业对被投诉次数没有显著影响。

    参考

    应统考研知识点之方差分析基本原理
    应用统计考研432统计学核心考点之单因素方差分析
    统计学——单因素方差分析

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    千次阅读 2020-02-24 13:05:38
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  • 接下来先讲知识点,再给大家上例题及往年真题。 一、随机变量 我在这里就是把他理解为一个变化的量,然后满足随机过程的表达式(这样理解可能不太对)。 (1)随机过程的数字特征 1.随机过程的均值或称数学期望 它...
  • square distribution, χ²-distribution,或写作χ²分布),已知样本X都是服从正态分布的样本,而且方差未知,那么,检验X的均值就会用到t分布,其他的情况也类似,可以看看数理统计相关内容例题: 以X^2分布为...
  • 导读第一章第二章第三章例题3.2-3.5 ...利用rand()产生0—r-1的随机数,并计算样本的平均值和标准方差。3.3输出整型,3.4改变r,3.5将随机数改为随机位。 #include<stdlib.h> #include"stdio.h" #i
  • 4. 成对数据均值差,单个正态总体方差的区间估计 5. 两个正态总体参数的区间估计 1. 置信区间、置信限 根据具体样本观测值,点估计提供一个明确的数值。 但这种判断的把握有多大,点估计本身并没有告诉人们,为...
  • 统计学6

    2017-10-30 16:51:00
    例题3-4 根据这组数据91 69 75 78 81 96 92 88 86一个班级中,随机抽取9名学生,计算9名学生英语考试分数的方差和标准差? s2=(xi-x)2/n s2=(xi-x)2/(n-1)无论是样本还是总体,计算平均值都应该除以你计算的个数,而...
  • P18页,例题1.1.8 二章 随机过程和随机序列 (1)定义 设随机实验的样本空间 ,对于空间的每一个样本 ,总有一个时间函数 与之对应( ),对于空间的所有样本 ,可有一族时间函数 与其对应,这族时间函数称为随机过程...
  • 书中众多的例题及详解可进一步强化对理论和方法的理解。 内容截图: 第1章 变量和图形 第2章 频数分布 第3章 均值,中位数,众数以及其他表示集中趋势的度量 第4章 标准差和其他表示离差的度量 第5章 矩,偏度和...

空空如也

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样本方差例题