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  • 样本方差递推公式起源异变本源样本均值样本方差天演千古 起源 对于来自同一总体的随机样本 X1,X2,⋯ ,Xn−1X_1,X_2,\cdots,X_{n-1}X1​,X2​,⋯,Xn−1​,我们能够轻易地算出这个样本下的两个统计量:样本均值以及...

    起源

    对于来自同一总体的随机样本 X1,X2,,Xn1X_1,X_2,\cdots,X_{n-1},我们能够轻易地算出这个样本下的两个统计量:样本均值以及样本方差

    此时,样本均值为:Xˉn1=1n1i=1n1Xi\bar X_{n-1}=\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}X_i
    样本方差为:Sn12=1n2i=1n1(XiXˉn1)2S_{n-1}^2=\cfrac{1}{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})^2

    *[样本均值/样本方差]:应当注意的是此处样本均值和样本方差是随机变量而非一个固定的数。因为各个XiX_i都是随机变量,样本均值样本方差都是随机变量的函数,因此都是随机变量了。

    异变

    人类只要还活着,就必须向前进,不要停下来啊!

    ——沃·斯基硕德

    当抽了n-1个样本之后,不满足的人类在同样的总体中,再次使用随机抽样的方法抽得一个新的样本:XnX_n

    由于样本Xn是遵循随机抽样的原则抽出的样本。因此X1,…,Xn互相独立。并且都同分布于总体的分布。

    于是,一个有吸引力的问题诞生了:新抽取的样本,会怎样改变样本均值和样本方差呢?

    我们知道,再次抽取了一个样本后:
    样本均值变为:Xˉn=1ni=1nXi\bar X_{n}=\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
    样本方差变为:Sn2=1n1i=1n(XiXˉn)2S_{n}^2=\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X_{n})^2

    本源

    样本均值

    对于增加样本之后的样本均值,我们进行适当的展开:
    Xˉn=1n(i=1n1Xi+Xn)=n1nXˉn1+1nXn(1.1)\bar X_n=\cfrac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n-1}X_i+X_n)=\cfrac{n-1}{n}\bar X_{n-1}+\cfrac{1}{n}X_n \tag{1.1}

    由于只考虑样本均值的变化,我只希望出现Xˉn1\bar X_{n-1}以及Xˉn\bar X_n。不希望出现XnX_n。于是我们对上述公式进行变换:

    Xn=nXˉn(n1)Xˉn1(1.2)X_n=n\bar X_n-(n-1)\bar X_{n-1} \tag{1.2}

    样本方差

    由于样本方差的计算需要借助样本均值,所以有了(1.2)式之后,我们就能更好地观察增加一个样本对于方差的改变了。

    在这里,使用一个统计学推导过程中经常能用到的小技巧:

    Sn2=1n1i=1n(XiXˉn)2=1n1i=1n[(XiXˉn1)+(Xˉn1Xˉn)]2S_n^2=\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X_{n})^2 \\ =\cfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(X_i-\bar X_{n-1})+(\bar X_{n-1}-\bar X_n)]^2

    通过加一项减一项,我们成功地把样本方差与改变前后的样本均值联系起来。
    为了表述方便,我们把分数移到等式另一边,并做展开:

    (n1)Sn2=i=1n[(XiXˉn1)2+2(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)+(Xˉn1Xˉn)2](n-1)S_n^2=\sum_{i=1}^n[(X_i-\bar X_{n-1})^2+2(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\\+(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2]

    分配加和号:

    (n1)Sn2=i=1n(XiXˉn1)2+2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)+i=1n(Xˉn1Xˉn)2(2.0)(n-1)S_n^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})^2+2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\\+\sum_{i=1}^n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2 \tag{2.0}

    • 对于展开式的第一项,我们做如下处理:
      i=1n(XiXˉn1)2=i=1n1(XiXˉn1)2+(XnXˉn1)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})^2=\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})^2+(X_n-\bar X_{n-1})^2
      带入变换前的样本方差:
      i=1n(XiXˉn1)2=(n2)Sn12+(XnXˉn1)2(2.1)\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})^2=(n-2)S_{n-1}^2+(X_n-\bar X_{n-1})^2 \tag{2.1}

    • 观察中间的交叉项,由于Xˉn1Xˉn\bar X_{n-1}-\bar X_n与计数器ii没有关系,所以可以当做常数提出来:

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2(Xˉn1Xˉn)i=1n(XiXˉn1)=2(Xˉn1Xˉn)[i=1n1(XiXˉn1)+(XnXˉn1)]2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})\\=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)[\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})+(X_n-\bar X_{n-1})]



    我们把i=1n1(XiXˉn1)\sum_{i=1}^{n-1}(X_i-\bar X_{n-1})展开为:i=1n1Xi(n1)Xˉn1=(n1)Xˉn1(n1)Xˉn1=0\sum_{i=1}^{n-1}X_i-(n-1)\bar X_{n-1}=(n-1)\bar X_{n-1}-(n-1)\bar X_{n-1}=0。带回上式:

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2(Xˉn1Xˉn)(XnXˉn1)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)(X_n-\bar X_{n-1})

    本来挺优美的一个式子,因为XnX_n的捣乱不美观了,所幸我们在本源篇的开篇有一个(1.2)式,能够消掉Xn,保留我们大家都喜爱的Xˉn1,Xˉn\bar X_{n-1},\bar X_n

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2(Xˉn1Xˉn)[nXˉn(n1)Xˉn1Xˉn1]=2n(Xˉn1Xˉn)(XˉnXˉn1)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)\\=2(\bar X_{n-1}-\bar X_n)[n\bar X_n-(n-1)\bar X_{n-1}-\bar X_{n-1}] \\=2n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)(\bar X_{n}-\bar X_{n-1})

    于是得到:

    2i=1n(XiXˉn1)(Xˉn1Xˉn)=2n(Xˉn1Xˉn)2(2.2)2\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X_{n-1})(\bar X_{n-1}-\bar X_n)=-2n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2 \tag{2.2}

    • 最后一项,加和号里的式子和计数器完全无关,得到:
      i=1n(Xˉn1Xˉn)2=n(Xˉn1Xˉn)2(2.3)\sum_{i=1}^n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2=n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2 \tag{2.3}

    将(2.1),(2.2),(2.3)带回到(2.0)
    有:
    (n1)Sn2=(n2)Sn12+(XnXˉn1)22n(Xˉn1Xˉn)2+n(Xˉn1Xˉn)2(n-1)S_n^2=(n-2)S_{n-1}^2+(X_n-\bar X_{n-1})^2 -2n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2\\+n(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2

    进一步使用(1.2),划去Xn:

    (n1)Sn2=(n2)Sn12+(n2n)(Xˉn1Xˉn)2(§1)(n-1)S_n^2=(n-2)S_{n-1}^2+(n^2-n)(\bar X_{n-1}-\bar X_n)^2\tag{\S1}

    天演

    但是考虑实际时,我们在一次抽样后,算得Xˉn1,Sn12\bar X_{n-1},S_{n-1}^2之后,在进行一次抽样,得到了XnX_n

    如果按照上式的式子,要计算多抽一个样本之后的样本方差时,还得计算一次Xˉn\bar X_n,这增加了计算量。

    如果能用Xˉn1,Sn12,Xn\bar X_{n-1},S_{n-1}^2,X_n来表达Sn2S_n^2,那么一旦抽出一个新的样本,我们就可以立马根据过去的信息推断出新的样本方差,这看上去无疑更具吸引力。

    于是根据(1.1)式,就有:

    (n1)Sn2=(n2)Sn12+n1n(XnXˉn1)2(§2)(n-1)S_n^2=(n-2)S_{n-1}^2+\cfrac{n-1}{n}(X_n-\bar X_{n-1})^2 \tag{\S2}

    千古

    某位前辈通过努力得到了上式,留给千古之后的后人的东西,就是挖掘他的价值。上式作用有二:

    • 一在于可以通过新抽样的值立马算出新的样本方差,这一点与矩阵求逆的Sherman-Morrison公式有异曲同工之妙。
    • 二在于把样本方差表述为一个与自然数n一一对应的数列。这样涉及某些与样本方差相关的结论证明是时,可以通过该递推公式使用数学归纳法。
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  • 样本方差公式的无偏性证明过程,自己推导
  • 统计基础-样本方差公式

    千次阅读 2015-07-03 11:33:05
    样本方差公式定义如下。 后面的一个等式还好,有约分的痕迹,前面一个等式还是不容易一眼看出之间的关联,下面进行推导。 将算术均值的公式代入计算。 将逆向代入上式,得到最终结果。

    样本方差公式定义如下。

    后面的一个等式还好,有约分的痕迹,前面一个等式还是不容易一眼看出之间的关联,下面进行推导。

    将算术均值的公式代入计算。

    逆向代入上式,得到最终结果。

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  • 统计学基础之样本方差和总体方差

    千次阅读 2020-03-14 00:17:36
    样本方差公式分母为n-1的推导 参考资料:https://www.cnblogs.com/zzdbullet/p/10087196.html 1. 方差(variance)的定义 方差是用来度量随机变量和其数学期望(均值)之间的偏离程度的一个...

    统计学基础之样本方差与总体方差



    参考资料:https://www.cnblogs.com/zzdbullet/p/10087196.html

    1. 方差(variance)的定义

    方差是用来度量随机变量和其数学期望(均值)之间的偏离程度的一个统计量。

    统计学中(所有样本)的总体方差公式:

    σ2=(Xμ)2N(1-1) \sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N} \tag{1-1}
    其中σ2\sigma^2是总体方差,XX是随机变量,μ\mu是总体均值(有时也用Xˉ\bar X表示),NN是总体样本数。这里提到的样本,是基于样本数量NN(几乎)无限的假设。对应的各个统计量,也是所有的样本所服从的分布的真实参数,是客观正真实的。

    2. 样本方差

    现实情况中,我们往往得不到所有的无限样本,而只能抽样出一定数量的有限样本。通过有限的样本来计算的方差,称为样本方差,公式如下:
    S2=1n1i=1n(XiXˉ)2(2-1) S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\tag{2-1}
    注意上式的系数和总体方差公式里面的系数不一样,分母是n1n-1。为什么不用nn作为分母呢?这是因为如果沿用总体方差的公式得到的样本方差,是对方差的一个有偏估计。用n1n-1作为分母的样本方差公式,才是对方差的无偏估计。

    3. 总体方差公式的有偏性证明

    1ni=1n(XiXˉ)2=1ni=1n[(Xiμ)+(μXˉ)]2=1ni=1n(Xiμ)2+2ni=1n(Xiμ)(μXˉ)+1ni=1n(μXˉ)2=1ni=1n(Xiμ)2+2(Xˉμ)(μXˉ)+(μXˉ)2=1ni=1n(Xiμ)2(μXˉ)2(3-1) \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[(X_i-\mu)+(\mu-\bar X)\right]^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)(\mu-\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+2(\bar X-\mu)(\mu-\bar X)+(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-(\mu-\bar X)^2\\ \tag{3-1} \end{aligned}
    换言之,除非正好有Xˉ=μ\bar X=\mu,否则一定会有
    1ni=1n(XiXˉ)2<1ni=1n(Xiμ)2(3-2) \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2<\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\tag{3-2}
    上式的右边是对方差的正确估计,左边是有偏估计。
    产生这一偏差的本质是因为均值用的是样本均值Xˉ\bar X。这将导致采样出来的样本之间不是完全相互独立的,自由度从nn降为了n1n-1。(注意,一个好的采样有两点要求:随机采样,并且样本之间是相互独立的)这是因为,给定Xˉ\bar X和任意n1n-1个样本,就能确定剩下的一个样本,也即只有n1n-1个样本是完全相互独立的,自由度为n1n-1

    4. 样本方差公式分母为n-1的推导

    在正式推导之前,先给几个公式作为铺垫:

    1. 方差计算公式:
      D(X)=E(X2)[E(X)]2(4-1) D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\tag{4-1}
    2. 均值的均值:
      E(Xˉ)=E(1ni=1nXi)=1nE(i=1nXi)=E(Xi)=Xˉ(4-4) \begin{aligned} E(\bar X)&=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)\\ &=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^{n}X_i)\\ &=E(X_i)\\ &=\bar X\tag{4-4} \end{aligned}
    3. 均值的方差
      D(Xˉ)=D(1ni=1nXi)=1n2D(i=1nXi)=1nD(Xi)(4-5) \begin{aligned} D(\bar X)&=D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right)\\ &=\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^{n}X_i)\\ &=\frac{1}{n}D(X_i)\\ \tag{4-5} \end{aligned}

    对于没有修正的方差计算公式,计算其期望:
    E(S2)=E(1ni=1n(xixˉ)2)=E(1ni=1n(xi)22n(Xi)(Xˉ)+1ni=1n(Xˉ)2)=E(1ni=1n(xi)22(Xˉ)2+(Xˉ)2)=E(1ni=1n(xi)2(Xˉ)2)=E((Xi)2)E((Xˉ)2)=D(Xi)+(E(Xi))2(D(Xˉ)+(E(Xˉ))2)(4-6) \begin{aligned} E(S^2)&=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-\frac{2}{n}(X_i)(\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\bar X)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-2(\bar X)^2+(\bar X)^2\right)\\ &=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2-(\bar X)^2\right)\\ &=E((X_i)^2)-E((\bar X)^2)\\ &=D(X_i)+\left(E(X_i)\right)^2-\left(D(\bar X)+\left(E(\bar X)\right)^2\right) \tag{4-6} \end{aligned}
    结合{4-4}和{4-5},可将{4-6}化简为
    E(S2)=D(Xi)1nD(Xi)=n1nD(Xi)=n1nσ2(4-7) \begin{aligned} E(S^2)&=D(X_i)-\frac{1}{n}D(X_i)\\ &=\frac{n-1}{n}D(X_i)\\ &=\frac{n-1}{n}\sigma^2\\ \tag{4-7} \end{aligned}
    要使样本方差的期望等于总体方差,就需要进行修正,也即给样本方差乘上nn1\frac{n}{n-1}
    因此得到修正后的样本方差公式:
    S2=nn1(1ni=1n(xixˉ)2)=1n1i=1n(xixˉ)2(4-8) \begin{aligned} S^2&=\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\right)\\ &=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\\ \tag{4-8} \end{aligned}
    推导完毕!

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  • 问题所在: 用到的样本方差公式: 推导过程 最后结果:

    问题所在:试推导取自总体X(期望为μ,方差为σ^2)的样本X1,X2...Xn的样本方差S^2的期望

    用到的样本方差公式:

    在这里插入图片描述

    推导过程在这里插入图片描述

    最后结果:

    在这里插入图片描述

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空空如也

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样本方差公式推导