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  • 1. 概率是表示随机事件发生可能性大小的数量指标 2. 频率是特定事件发生次数与试验次数的比值...古典概率:事件所含样本点数目与样本空间样本点总数之比 5. 古典概率的性质(大于零小于等于1;样本空间的...

     

    1. 概率是表示随机事件发生可能性大小的数量指标

     

    2. 频率是特定事件发生次数与试验次数的比值,具有稳定性的同时具有不确定性(随机性)

     

    3. 频率不是概率,但在某种意义下,频率稳定与概率

     

    4. 古典概型:基本事件数量有限,发生的可能性相等

    古典概率:事件所含样本点数目与样本空间样本点总数之比

     

    5. 古典概率的性质(大于零小于等于1;样本空间的概率为1;互不相容事件和的概率等于各事件概率之和)

     

    6. 概率的客观性示例1、2——抛骰子及取小球

     

    7. 概率的客观性示例3——抛硬币

     

    8. 圆周率中各个数字出现的概率接近相等

     

    9. 示例5——赌马问题

     

    10. 示例6——抛双骰

     

    11. 示例7——古典概型的判断

     

    12. 示例8——鸽笼问题(生日在同一天问题)

     

    13. 思考题

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  • Housing price prediction 已知条件:给出了一组离散的(Size,Price...M: 样本点总数 模型表示: 根据离散点的分布情况我们建立线性函数h去拟合这些离散点 所以问题变成了怎么找到拟合情况下线性函数h,我...

    Housing price prediction

     

    已知条件:给出了一组离散的(Size,Price)点

    目标:通过这些已知的点去预测在未知Size时的Price

    问题分析与归纳:由于预测的Price变化量较大,可以建立连续函数去最大化的拟合已知的离散点,所以这是一个监督学习下的回归问题。

     

     

    输入x :size

    输出y:Price

    M: 样本点总数

    模型表示:

    根据离散点的分布情况我们建立线性函数h去拟合这些离散点

    所以问题变成了怎么找到拟合情况下线性函数h,我们可以通过下面的图来形象的表示我们的问题

    进一步的我们对我们假设的h线性函数进行分析

    所以问题变成了怎么去选择

    为了加深对这两个参数的理解,我们选取一些特殊点刻苦不同的参数线假设函数的曲线情况

    通过观察我们发现决定了函数与纵轴的交点位置, 决定了函数斜率走向

     

     

     

    要找出合适的 则需要对其附加额外的约束条件,我们发现我们的目标是 与 尽可能地接近,于是我们建立平方差函数来表示这种接近程度。

     也就是我们常说的代价函数

    所以问题就进一步演化为:

    还是和之前一样的思路,拿到一个函数,我们可以取一些特殊点来加深我们对这个代价函数的理解。

    这里我们假设 时,观察代价函数 变化情况

     

    如图所示,当代价函数只有一个参数时,是一个凸函数,当同时包含两个参数时代价函数如图所示: 

    为了更好的描述 与 之间的关系,我们采用等高线来描述这一变化情况

    如图所示,假设起点设为1(800,-0.1) 终点如图2(100,0.15)

    我们要做的就是让起点1不断地向2靠近即可,我们发现1在向2不断靠近的时候 在不断的减小, 不断地增大。

    即:1怎么向2靠近,应该迈多大的步伐。这里就要涉及到著名的梯度下降算法

    为了体现算法的普适性,这里选用较为复杂的代价函数,如图所示

      

    如图所示,当我们的起点不同,最后到达的终点不同,即不同的起点梯度下降算法会找到最优的局部最优解。

      还是一样根据之前的 与 之间的关系,我们设置不同的起点,观察梯度下降算法的变化情况。

    如图所示,当起点在右边时, >0,但不断向凸点靠近时,偏导数(即如图斜率)不断减小,从而 不断的减小得到更新。反之,同理。

     

    这里 a是学习率

     

    主要是控制朝着正确方向走的步伐。a越大,步伐越大,反之,越小。太大容易越过凸点,太小走的太慢。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 古典概型

    2018-09-30 17:55:08
    【例1】一部四册的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成 1,2,3,4 的...因此试验的样本点总数就是四部文册的一个全排列,为 . 由于文集按照“任意的”次序放到书架上去,因此每一种放法或...

    例1】一部四册的文集按任意次序放到书架上去,问各册自右向左或自左向右恰成 1,2,3,4 的顺序(用 A 表示)的概率是多少?

       

    此随机试验的结果是四本书在书架上的一种放法,而每一种放法对应于 1,2,3,4 的一种排列。也即是说 1,2,3,4 四部文册之间是有顺序的。因此试验的样本点总数就是四部文册的一个全排列,为 A_{4}^{4}= 4! .

    由于文集按照“任意的”次序放到书架上去,因此每一种放法或样本点的出现是等可能的,由此可知这是一个古典概型问题。A 包含的样本为 \left \{ 1,2,3,4 \right \}\left \{ 4,3,2,1 \right \} 两种, 因此 A 所包含的样本点数为2,所以

                                                                       P\left ( A \right )= \frac{2}{4!}= \frac{1}{12}.

    例2】箱中有5个白球及4个黑球,从中任取3个球,求下列事件的概率:

    (1)取到的都是白球;

    (2)取到2个白球1个黑球.

        

    本实验是从9个球中任取3个球,由于球形状相同,只有颜色不同,因此这是一个组合问题。从9个球中任取3个球,共有 C_{9}^{3} 种不同的取法,且每种取法的出现具有等可能性,因此属古典概型问题。

    (1)令 A = “取到的都是白球”。从5个白球中任取3个,那么 A 所包含的样本点数为 C_{5}^{3} ,所以

                                                                       P\left ( A \right )= \frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}}= \frac{5}{42}.

    (2)令 B = “取到2个白球1个黑球”。从5个白球中任取2个,从4个黑球中任取1个,那么 B 所包含的样本点数为C_{5}^{2}C_{4}^{1},所以

                                                                      P\left ( B \right )= \frac{C_{5}^{2}C_{4}^{1}}{C_{9}^{3}}= \frac{10}{21}.

    上例去球的方式称为“不放回抽取”,若将其改为“放回抽取”,即每次从箱中任取一球,记下球的颜色后放回箱中,再作第2次抽取,如此连取3次,则上例中事件 AB的概率为多少?

    (1)令 A = “取到的都是白球”。从9个球中任取一个白球的概率是 P_{1}= \frac{5}{9} ,放回抽取下一次,下一次取到白球的概率不变,所以

                                                               P\left ( A \right )= P_{1}\times P_{1}\times P_{1}= \left (\frac{5}{9} \right )^{3}= \frac{125}{729} .

    (2)令 B = “取到2个白球1个黑球”。从9个球中任取一个白球的概率是 P_{1}= \frac{5}{9} ,从9个球中任取一个黑球的概率是 P_{2}= \frac{4}{9} ,放回抽取下一次,下一次取到白球和黑球的概率都不变。但是这里有一个顺序问题,取到的黑球是在第1次、第二次、还是第三次抽取的时候取到的?所以有一个组合问题,应该是 C_{3}^{1}= 3 种情况,所以

                                                               P\left ( B \right )=C_{3}^{1} \times P_{1}\times P_{1}\times P_{2}= \frac{100}{243} .

    【例3】把10本不同的书随意放在书架上,求其中指定的5本书放在一起的概率。

    10本书是互不相同的,所以这是一个排列问题。10本书随意的放在书架上,那么一共有 A_{10}^{10}= 10! 种放法。

    现在需要将指定的5本书放到一起,意思就是不能让这指定的5本书分开。那么可以将这指定的5本书看做是一个整体,也即是看做一本书。那么6本书排列的数目是 A_{6}^{6}= 6! 种,指定的5本书自身内部的顺序也可以是任意的,那么5本书自身内部排列顺序的数目有 A_{5}^{5}= 5! 种,所以

                                                                           P\left ( A \right )= \frac{6!\times 5!}{10!}= \frac{1}{42} .

    【例4】设有 N 件产品,其中有 M 件次品,现从这 N 件中随机地取出 n 件(n\leq N),求 n 件中恰有 m 件(m\leq M)次品的概率。

    本题的关键思想是:抽取的 n 件产品中有 m 件次品,\left ( n-m \right ) 件非次品!

    非次品数目 + 次品数目 = 总的产品数目;

    总的产品数目为 N , 总的次品数目为 M ,则总的非次品数目为(N-M);

    总的事件数目是 C_{N}^{n} 种;

    抽出 n 件产品中恰有 m 件次品,那么非次品有(n-m)件;

    M 件次品中随机抽取 m 件次品的抽法有 C_{M}^{m} 种;

    从(N-M)件非次品中随机抽取(n-m)件非次品的抽法有 C_{N-M}^{n-m} 种;

    所以最终的概率为

                                                                  P_{A}= \frac{C_{M}^{m}\times C_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}.

    【例5】某班级有 n 个人(n\leq 365),问同时有两人的生日在同一天的概率是多少?

    由于每个人在一年365天的每一天过生日都是可能的,所以 n 个人可能的生日情况为 365^{n} 种,且每一种情况的出现具有等可能性,故属古典概型问题。

    A = “至少有两人的生日在同一天”,由于 A 所包含的样本点数不便直接计算,我们来考察其对立事件 \bar{A} ,因为 \bar{A} = “ n 个人的生日全不同”,所以 \bar{A} 所包含的样本点数为

                                                       365\times 364\times \times \cdots \left ( 365-n+1 \right )= \frac{365!}{\left ( 365-n \right )!}.

    解释:\bar{A} = “ n 个人生日全不同”,那么第1个人过生日的可能是365天中的任何一天,也就是365种可能;第2个人过生日的可能是除了第一个人生日那天的其余364天,也就是364种可能;以此类推,第 n 个人过生日有 \left ( 365-n+1 \right ) 种可能。

    因此

                                                                  P\left ( \bar{A} \right )= \frac{\frac{365!}{\left ( 365-n \right )!}}{365^{n}}= \frac{365!}{365^{n}\left ( 365-n \right )!}.

    于是,由概率的公式可得(对立事件的概率之和为1),

                                                            P\left ( A \right )= 1-P\left ( \bar{A} \right )= 1-\frac{365!}{365^{n}\left ( 365-n \right )!}.

    【例6】袋内有 a 个白球与 b 个黑球。每次从袋中任取一个球,取出的球不再放回去。接连取 k 个球(k\leq a+b),求第 k 次取得白球的概率。

    思想:这道题的思想是先满足第 k 次取球的条件,然后再满足前 \left ( k-1 \right ) 次的情况。

    考虑到取球的顺序,本试验的样本点总数应为 a+b 个球中选 k 个球的全排列数,即 A_{a+b}^{k}

    我们可以人为的先从 a 白球中任意取出一个白球,保留起来,保证第 k 次抽取时,至少有一个白球存在。

    那么从 a 个白球中任意取出一个球的取法有 C_{a}^{1}= a 种;

    k-1 次取球可从余下的 a+b-1 个球中任取 k-1 个球,所以样本点数为  aA_{a+b-1}^{k-1}

    因此

                                                                        P\left ( A \right )= \frac{aA_{a+b-1}^{k-1}}{A_{a+b}^{k}}= \frac{a}{a+b}.

    值得注意的是,这个结果与 k 无关,即取得白球的概率与先后次序无关。

    【例7】从1~200的正整数中任取一数,球此数能被6或8整除的概率。

    A = “取到的数能被6整除”,B = “取到的数能被8整除”,则 AB 就表示“取到的数既能被6整除又能被8整除”,即“能被24整除”。

    由于 A 所包含的样本点数为33;B所包含的样本点数为25;AB 所包含的样本点数为8.于是根据广义加法定理,所求概率为

                                              P\left ( A\cup B \right )= P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( AB \right )=\frac{33}{200}+\frac{25}{200}-\frac{8}{200}= \frac{1}{4}.

    【例8】设有 n 个人,每个人都等可能地被分配到 N 个房间中的任何一间去住(n\leq N),求下列事件的概率:

    (1)指定的 n 个房间各有一个人住;

    (2)恰好有 n 个房间,其中各住一人.

    这是一个“分房间”的问题。

    因为每一个人有 N 个房间可供选择,所以 n 个人住的方式共有 N^{n} 种,它们是等可能的;

    (1)在第一个问题中,指定的 n 个房间各有一个人住。第一个人可以选择的房间数目为 n 种,第二个人可以选择房间数目为 \left ( n-1 \right ) 种,以此类推。所以 n 个人选房间的选择方法有 n!

    所以

                                                                                P_{1}= \frac{n!}{N^{n}}.

    (2)在第二个问题,由于 n 个房间是任意的(相对于第一个问题,房间没有指定),所以相对于第一个问题,需要从 N 个房间中选出 n 个房间,选择的方法有 C_{N}^{n} 种;

    剩下的思路和第一个问题相同,所以

                                                                             P_{2}= \frac{C_{N}^{n}n!}{N^{n}}.

    --------------------- 本文来自 PursueLuo 的CSDN 博客 ,全文地址请点击:https://blog.csdn.net/PursueLuo/article/details/81279302?utm_source=copy

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  • 评价指标 真实标签(列)/ 预测... (分母为预测为正样本样本总数) (分母为标签为正样本样本总数) Precision作为纵轴,Recall作为横轴画PR图,PR曲线与坐标轴之间的面积即Average Precision (AP),多个PR...

    评价指标

    真实标签(列)/ 预测标签(行) 正样本 负样本
    正样本 TP FN
    负样本 FP TN

     

    PR曲线,AP和mAP

     Precision = \frac{TP}{TP+FP}  (分母为预测为正样本的样本总数)

    Recall = \frac{TP}{TP+FN}(分母为标签为正样本的样本总数)

    Precision作为纵轴,Recall作为横轴画PR图,PR曲线与坐标轴之间的面积即Average Precision (AP),多个PR曲线下的面积的平均值即mAP。PR曲线主要聚焦于正样本分析,适合正样本少的情况,一般来说,优于ROC曲线。

    ROC曲线,AUC

    TPrate = \frac{TP}{TP+FN}(分母为标签为正样本的样本总数)

    FPrate = \frac{FP}{FP+TN}(分母为标签为负样本的样本总数)

    以TPrate为纵轴,FPrate为横轴画ROC图,ROC曲线与横轴面积即AUC。ROC曲线适用于类别不均衡的样本集,在类别改变时曲线也不发生大的变动,用于评估整体分类器的性能,但是对于评估结果过于乐观。

    混淆矩阵

    横轴是模型预测的类别数量统计,纵轴是数据真实标签的数量统计。对角线,表示模型预测和数据标签一致的数目,所以对角线之和除以测试集总数就是准确率。

    准确率

    accuracy = \frac{true prediction}{all samples}

     

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